湖南省岳阳市第十二中学2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试卷

2023-2024学年湖南省岳阳十二中九年级（下）入学数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝22．（3分）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则（）A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定 C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定3．（3分）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于（）A．1 B． C． D．4．（3分）线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP（）A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+45．（3分）怎样移动抛物线就可以得到抛物线（）A．左移1个单位、上移2个单位 B．左移1个单位、下移2个单位 C．右移1个单位、上移2个单位 D．右移1个单位、下移2个单位6．（3分）如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m（）A．10m B． C． D．7．（3分）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49（）A． B． C． D．8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝（2，0），下列说法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中说法正确的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）已知＝，则的值是．10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，则cosA的值为．11．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，则DF的长为．12．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4）1的坐标是．13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为3A时Ω．14．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数（K为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为．15．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，∠AED＝∠BAC，若四边形BCED的面积为7．16．（3分）如图，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，则AP+OP的最小值等于．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）（1）计算：2sin30°+tan45°+sin245°+cos245°；（2）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．18．（6分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．20．（8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）（不完整）：请根据图中提供的信息完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了名学生，并在图中补全条形统计图．（2）如果全校有3600名学生，那么全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有多少人？21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3），B（n，2）（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面积．22．（8分）2023年杭州亚运会胜利闭幕，本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一位，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件．（1）求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．（2）从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，每降1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？23．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）24．（10分）综合与实践如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿CA方向向终点A匀速运动（1）求AQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当t＝3秒时，求△APQ的面积．（3）如图2，连结BQ，当△BPQ为直角三角形时25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（﹣1，0）、B（4，0）两点，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，分别交直线BC、BM于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；（3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列是关于x的一元二次方程的是（）A． B．x（x+6）＝0 C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2【解答】解：A、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；B、该方程是关于x的一元二次方程；C、当a＝0时，故本选项不符合题意；D、该方程是关于x的一元三次方程；故选：B．2．（3分）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则（）A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定 C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定【解答】解：∵s甲2＝0.002、s乙4＝0.03，∴s甲2＜s乙3，∴甲比乙的产量稳定．故选：A．3．（3分）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵∠A为锐角，且sinA＝，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°＝，故选：D．4．（3分）线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP（）A．4﹣4 B．8+8 C．8﹣8 D．4+4【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，∴BP＝AB＝﹣7．故选：A．5．（3分）怎样移动抛物线就可以得到抛物线（）A．左移1个单位、上移2个单位 B．左移1个单位、下移2个单位 C．右移1个单位、上移2个单位 D．右移1个单位、下移2个单位【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位（x+1）2﹣7，故选：B．6．（3分）如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m（）A．10m B． C． D．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度，∴，∴（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得，，故选：C．7．（3分）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49（）A． B． C． D．【解答】解：如图，∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即AC2+（5+AC）2＝132，整理得，AC4+7AC﹣60＝0，解得AC＝4，AC＝﹣12（舍去），∴BC＝＝12，∴sinα＝＝，cosα＝＝，∴sinα•cosα＝×＝，故选：B．8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝（2，0），下列说法：①abc＞0；②a+b＝0；④若（﹣2020，y1），（2022，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；⑤b＞m（am+b），（其中m≠）；其中说法正确的是（）A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为，∴，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜7，故①错误；∵b＝﹣a＞0，∴a+b＝0，故②正确；∵抛物线过点（8，0），∴4a+3b+c＝0，故③错误；∵抛物线的对称轴为，∴点（﹣2020，y1）与点（2021，y1）对称，∵a＜8，2021＜2022，∴y1＞y2，故④正确；当时，函数有最大值，当x＝m时，y＝am7+bm+c，∵，∴，即，故⑤正确．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）已知＝，则的值是．【解答】解：由分比性质，得＝＝，故答案为：．10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，则cosA的值为．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，∴AB＝＝＝13，∴cosA＝＝，故答案为：．11．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，DE＝6，则DF的长为15．【解答】解：∵l1∥l2∥l8，∴＝＝，∵DE＝5，∴EF＝9，∴DF＝EF+DE＝9+7＝15．故答案为：15．12．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4）1的坐标是（4，8）或（﹣4，﹣8）．【解答】解：∵△ABC和△A1B1C5的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，而点A的坐标为（3，4），∴点A对应点A1的坐标为（4×2，2×5）或（﹣2×2，即（7，8）或（﹣4．故答案为（2，8）或（﹣4．13．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若蓄电池电流为3A时12Ω．【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，∵过（4，9），∴k＝6×9＝36，∴I＝，当蓄电池电流为3A时，8＝，解得：R＝12．故答案为：12．14．（3分）若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数（K为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为y3＞y1＞y2．【解答】解：∵k2+1＞2，∴反比例函数（k为常数）的图象位于一，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，∴点A（﹣2，y5）、点B（﹣1，y2）位于第三象限，C（5，y3）位于第一象限，∴y2＜y8＜0，y3＞3，∴y3＞y1＞y8，故答案为：y3＞y1＞y2．15．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，∠AED＝∠BAC，若四边形BCED的面积为79．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∵AD＝，∴，∴，∴，∵四边形BCED的面积为7，∴S△ABC＝16，∴S△ADE＝9．故答案为：2．16．（3分）如图，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，则AP+OP的最小值等于4．【解答】解：如图，连接AC交OB于点M，过点A作AG⊥OC于点G，∵四边形ABCO是菱形，边长为5，∴AC⊥OB，OA＝AB＝BC＝CO＝3OB＝8，，∴AM＝MC＝＝＝，∴AC＝4AM＝2，∵MH⊥OC，AC⊥OB，∴，∴×8×＝，∴MH＝2，∵sin∠MOH＝＝＝＝，即PG＝OP，∴AP+OP＝AP+PG，∴当A，P，G三点共线且AG⊥OC时OP取最小值，∵菱形ABCO的面积＝，∴AG＝＝＝4，∴AP+OP的最小值是4．故答案为：4．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）（1）计算：2sin30°+tan45°+sin245°+cos245°；（2）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．【解答】解：（1）2sin30°+tan45°+sin245°+cos545°＝2×+1+1＝7；（2）原方程可化为x2﹣4x+5＝0，∵a＝1，b＝﹣3，x＝，∴Δ＝b2﹣4ac＝6，∴原方程有两个相等的实根，x1＝x2＝﹣＝2．18．（6分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴△ABC∽△ADE．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥2，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x4＝6，x1x6＝2m+1，而7x1x2+x3+x2≥20，所以2（7m+1）+6≥20，解得m≥5，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤2．20．（8分）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）（不完整）：请根据图中提供的信息完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了200名学生，并在图中补全条形统计图．（2）如果全校有3600名学生，那么全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有多少人？【解答】解：（1）在这次问卷调查中，一共抽查学生：80÷40%＝200（名），跳绳人数为200﹣80﹣30﹣40＝50（人），补全条形统计图如下：故答案为：200；（2）3600×＝540（人），答：全校学生中最喜欢“踢毽”活动的学生约有540人．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3），B（n，2）（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把A（1，3）代入，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（n，2）代入y＝，∴B（，2），把A（1，6），2）代入y＝kx+b，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+5；（2）观察图象，关于x的不等式kx+b＜；（3）令y＝0，即﹣3x+5＝0，解得：x＝，∴C（，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×5﹣．22．（8分）2023年杭州亚运会胜利闭幕，本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一位，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件．（1）求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率．（2）从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，每降1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？【解答】解：（1）设4月份到6月销售量的月平均增长率为a，则192（4+a）2＝300，解得：，（舍去），答：4月份到8月份销售量的月平均增长率为25%；（2）设定价为x元，利润为y元，则y＝（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝﹣20x2+2300x﹣60000，对称轴为，∵﹣20＜0，∴当x＝57.5时，y有最大值，∴定价为57.6元时利润最大．23．（8分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈5×0.90＝1.80m，∴CD＝6OD＝3.6m，答：遮阳宽度CD约为6.6米；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tana＝，∴AH＝，当∠α＝65°时，AH＝≈，当∠α＝45°时，AH＝，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝4.6m．24．（10分）综合与实践如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿CA方向向终点A匀速运动（1）求AQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当t＝3秒时，求△APQ的面积．（3）如图2，连结BQ，当△BPQ为直角三角形时【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，∴AC＝＝＝8，∵CQ＝6×t＝t，∴AQ＝AC﹣CQ＝8﹣t，∴AQ的长为8﹣t．（2）如图7，作PD⊥AC于点D，∵t＝3秒，∴AP＝2t＝8×3＝6，AQ＝5﹣t＝8﹣3＝5，∵＝＝sinA＝＝，∴PD＝AP＝，∴S△APQ＝AQ•PD＝＝9，∴△APQ的面积是8．（3）如图2，△BPQ为直角三角形，则∠APQ＝90°，∵＝cosA＝＝＝，∴AP＝AQ，∴2t＝（8﹣t），解得t＝；如图4，△