3.3 方差和标准差 初中浙教版八年级数学下册教学设计

方差和标准差【学习目标】1.经历方程概念的形成过程，了解方差和标准差的概念.2.会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度.3.能用样本的方差来估计总体的方差.【学习重点】方差的概念和计算.【学习难点】方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解.【学习过程】一、知识引领（一）前面已经学习了平均数、中位数和众数的概念和计算方法，它们都是用来表示一组数据的集中程度.1.平均数：2.中位数：一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.3.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.（二）如果从以上现有知识，从两位射击手中选择一位参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手呢？甲、乙两人的测试成绩统计如下：第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数78889乙命中环数1061068表3-3【思考1】分别算出甲、乙两人的平均成绩.我们发现，甲、乙两人的平均成绩一样，那么怎样比较他们的射击水平呢？【思考2】根据这两人的成绩，尝试在图3-1中画出折线统计图（甲画成实线、乙画成虚线）.甲、乙两人射击成绩的折线统计图【思考3】现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？分析：从统计图上看，甲射手的成绩比较稳定，乙射手的成绩波动较大.两者平均成绩相同.至于挑选哪一位射手参赛比较适宜，没有标准答案，要根据比赛情况分析而定.如果在需要成绩发挥稳定，而其他选手水平不很高的情况下，选甲较适宜；如果其他选手水平都较高，乙射手有希望得高分，尽管成绩不稳定，但仍有可能获胜，则选乙较适宜.【思考4】用什么特征值来衡量一组数据的稳定性？乙两位射击成绩的平均数相同，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大.在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标.【思考5】甲、乙两名射击手每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？请直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和.我们发现他们的成绩偏差和也是相等的，都为零.显然，这样计算求得的数据并不能判断出哪一个偏离程度较低，不妨再计算其偏差的平方和.甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=2.乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=16.所以，数据的离散程度越小，数据越稳定.即甲射击手偏离程度较低，要稳定.【思考6】上述偏差的平方和的大小还与什么有关？还与射击的次数有关，为了在比较两组样本容量不同的数据的偏离平均数的程度时，也能准确应对，还需要求出各偏差的平方和的平均数.【总结1】用各偏差平方和的平均数来衡量数据的稳定性.1.方差的概念：一般地，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.2.方差的意义：方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.方差反映的是一组数据的离散程度.3.方差计算的数学公式为：4.方差的求法：求平均数→求各数与平均数的差→再平方→最后再求和的平均数.注意强调方差的单位为原单位的平方（环2）.二、知识巩固例为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.哪块地小麦长得比较整齐？解∵<∴甲地的小麦长的比较整齐.【总结2】一般地，一组数据的方差的算术平方根，称为这组数据的标准差.即：注意：标准差用“S”表示，其单位为原单位.