初中数学120大招-114 函数思想

函数思想【规律总结】函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。【典例分析】例1、如图，点G是边长为1的正方形ABCD的边BC上的动点，以BG为边长作正方形BEFG，其中A，B，E三点在同一条直线上，连结A，G，延长AG交CE的连线于点H，则AG×GH的最大值为__________．【答案】1【解析】【分析】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，函数方程思想.掌握相似三角形的判定和性质得二次函数是解本题的关键．

先根据正方形的性质和SAS证明△EBC≌△GBA得∠BCE=∠BAG，再证明△BGA∽△HGC，设BG=x，则CG=CB-x=1-x，根据相似三角形的对应边成比例得AG×GH的函数解析式，最后根据二次函数的最值即可解答．

【解答】

解：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形ABCD，A，B，E三点在同一条直线上，

∴BE=BG，∠EBG=∠GBA=90°，BC=BA，

∴△EBC≌△GBA，

∴∠BCE=∠BAG，

∵∠BGA+∠BAG=90°，∠BGA=∠HGC，

∴∠HGC+∠BCH=90°，

∴∠GHC=90°，

∴∠GHC=∠GBA=90°，

又∠BGA=∠HGC，

∴△BGA∽△HGC，

∴BGHG=AGCG，

设BG=x，则CG=CB-x=1-x，

∴AG×GH=BG×CG=x(1-x)=-x2+x=-x-122+14

∵a=-1<0例2、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，直线y=-2x+3经过点C，与x轴交于点D．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t0<t<3①求▵PCD的面积的最大值．②是否存在点P，使得▵PCD是以CD为直角边的直角三角形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)直线y=-2x+3与x轴、y轴的交点坐标分别为：C(0,3)，D(32,0)，

∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，

∴设所求抛物线的函数关系式为：

y=a(x+1)(x-3)，

把点C(0,3)解得a=-1，∴所求抛物线的函数关系式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；

(2)①过点P作PE⊥y轴于点F，交DC于点E，

由题意，设点P的坐标为(t,-t2+2t+3)，则点E的纵坐标为-t2+2t+3．

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3，得x=t2-2t2

∴点E的坐标为(t2-2t2,-t2+2t+3)，

∴PE=t-t2-2t2=-t2+4t2

∴S△PCD=12PE⋅CO

=12×-t2+4t2×3

=-34t-22+3

∵a=-34<0，且0<t<3，

∴当t=2时，△PCD的面积最大值为3；

②△PCD是以CD为直角边的直角三角形分两种情况：

(Ⅰ)若∠PCD=90°，如图2，过点P作PG⊥y轴于点G，

则△PGC∽△COD，

∴PGCO=CGDO，即t3=-t2+2t1.5，整理得2t²-3t=0，解得【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标．

(1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；

(2)①如图1，作辅助线PF，设点P的坐标为(t,-t2+2t+3)，则点E的纵坐标为-t2+2t+3，表示PE的长，根据三角形面积公式可得S与t【好题演练】一、选择题如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°<θ<90°)，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是(    )

(1)EF=(2)S四边形OEBF：S正方形ABCD(3)BE+BF=(4)在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=(5)OG⋅A.(1)(2)(3)(5) B.(1)(3)(4)(5) C.(2)(3)(4)(5) D.(1)(2)(3)(4)【答案】A【解析】【分析】

此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．

(1)由四边形ABCD是正方形，∠EOF=90°，易证得△BOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；

(2)由(1)易证得S四边形OEBF=S△BOC=14S正方形ABCD，则可证得结论；

(3)由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=2OA；

(4)首先设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；

(5)易证得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG⋅OB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论．

【解答】

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

∴△BOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=2OE；

故(1)符合题意；

(2)∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOF=S△BOF+S

∵BC=1，

∴OH=12BC=12，

设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=12BE⋅BF+12CF⋅OH=12x(1-x)+12(1-x)×12=-12(x-14)2+932，

，

∴当x=14时，S△BEF+S△COF最大；

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=1

二、填空题如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B、C点).将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA.则以下结论中正确的有____(写出所有正确结论的序号)．

①∠NAP=45°；②当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；③四边形AMCB的面积最大值为10；④线段AM的最小值为25⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4【答案】①③⑤【解析】【分析】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．

①正确，先判断出Rt△APE≌Rt△APB，即可得出结论；

②错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题；

③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；

④错误，作MG⊥AB于G，因为AM=MG2+AG2=16+AG2，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5；

⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，列出关于PB的方程即可解决问题．

【解答】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB，

由折叠知，∠AEN=∠B=90°，AE=AB，

∴AD=AB=AE，∠D=∠AEN=90°，

在Rt△ADN和Rt△AEN中，AN=ANAD=AE,

∴Rt△ADN≌Rt△AEN，

∴∠DAN=∠EAN，

在Rt△APE和Rt△APB中，

∴Rt△APE≌Rt△APB，

∴∠EAP=∠BAP，

∵∠DAN=∠EAN，∠BAD=90°，

∴∠PAN=45°，

故①正确；

当PB=PC=PE=2时，

由折叠知，ND=NE，

设ND=NE=y，

在Rt△PCN中，(y+2)2=(4-y)2+22，

解得y=43，

∴NE≠EP，故②错误；

设PB=x，则CP=4-x，

∵△CMP∽△BPA，

∴PBCM=ABPC，

∴CM=14x(4-x)，

∴S四边形AMCB=12[4+14x(4-x)]×4=-12x2+2x+8=-12(x-2)2+10，

∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确；

作MG⊥AB于G，

∵AM=MG2+

如图，在ΔABC，∠BAC=45∘，∠ACB=60∘，BC=43-4，D是BC边上异于点B，C的一动点，将▵ABD沿AB翻折得到▵ABE，将▵ACD沿AC翻折得到▵ACF，连接EF，则四边形EBCF

【答案】18-8【解析】【分析】

本题主要考查翻折的性质、全等三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角的定义、二次函数的综合应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；解题时设CD=x，则BD=43-4-x，由将△ABD沿AB翻折得到▵ABE，将▵ACD沿AC翻折得到▵ACF，可知▵ABE≌▵ABD，▵ACF≌▵ACD，由此可得BE=BD，CF=CD，然后分别过点E、F做EN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，由三角形内角和定理、邻补角的定义易得∠EBN=30°，∠FCM=60°，进而可得EN、BN、CM、FM的大小，最后由四边形EBCF面积等于梯形ENMF的面积减去ΔEBN，再减去ΔCFM的面积得出关于x的函数，由二次函数函数的性质求解即可；

【解答】

解设CD=x，则BD=43-4-x，

∵将△ABD沿AB翻折得到△ABE，将△ACD沿AC翻折得到△ACF，

∴△ABE≌△ABD，△ACF≌△ACD，

∴∠ABE=∠ABD，∠ACF=∠ACD=60°，

BE=BD=43-4-x，CF=CD=x，

如图，分别过点E、F做EN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，

，，

∴∠ABC=75°，∠EBN=30°，∠FCM=60°，

∴EN=12BE,BN=32BE,

CM=12CF,MF=32CF,

∵NM=NB+BC+CM，

∴NM=32BE+BC+12CF如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F.设DE=x，BF=y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为____．

【答案】y=【解析】解：在矩形中，AD//BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴DEBC=DFBF，

∵BD=BC2+CD2=10，BF=y，DE=x，

∴DF=10-y，

∴x8=10-yy，化简得：y=80x+8，

∴y关于三、解答题如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，直线y=-2x+3经过点C，与x轴交于点D．

(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0<t<3).求△PCD的面积的最大值；(3)在(2)的条件下是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)直线y=-2x+3与x轴、y轴的交点坐标分别为：C(0,3)，D(32,0)，

∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，

∴设所求抛物线的函数关系式为：

y=a(x+1)(x-3)，

把点C(0,3)解得a=-1，∴所求抛物线的函数关系式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；

(2)过点P作PE⊥y轴于点F，交DC于点E，

由题意，设点P的坐标为(t,-t2+2t+3)，则点E的纵坐标为-t2+2t+3．

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3，得x=t2-2t2

∴点E的坐标为(t2-2t2,-t2+2t+3)，

∴PE=t-t2-2t2=-t2+4t2

∴S△PCD=12PE⋅CO

=12×-t2+4t2×332，t2=0(舍去)

∴点P32，154)

(Ⅱ)若∠PDC=90°，如图3，过点P作PH⊥x轴于点H，

则△PHD∽△DOC

PHDO=DHCO，即-1.5=t-1.53，

整理得

4t2-6t-15=03+694，t2=3-694(舍去)．

∴点P的坐标为(3+694,32，154)或(3+694,【解析】本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形相似的性质和判定以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的性质和判定，善于用方程的思想求点的坐标．

(1)利用待定系数法求抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图1，作辅助线PF，设点P的坐标为(t,-t2+2t+3)，则点E的纵坐标为-t2+2t+3，表示PE的长，根据三角形面积公式可得S与t的关系式，配方后可得最值；如图，OA=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，甲小虫由点A以2cm/s的速度向点B爬行，同时乙小虫由点O以3cm/s的速度沿OC爬行，当甲小虫到达点B时两只小虫同时停止爬行．(1)设小虫运动的时间为xs，两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积为ycm2(不妨设甲小虫到达点O时，y=0)，求y(2)当小虫运动的时间为多少时，两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积等于450c(3)请直接说明y随x的变化而变化的情况．【答案】解：(1)当甲小虫位于点O左侧，即0≤x<25时，y=12(50-2x)⋅3x=-3x2+75x；当甲小虫位于点O右侧，即25<x≤50时，y=12(2x-50)⋅3x=3x2-75x，

综上，y与x之间的函数关系式为；

(2)当0≤x<25时，令-3x2+75x=450，

解得x=10或15，

当25<x≤50时，令3x2-75x=450，

解得x=30或-5(不合题意，舍去)，

故当小虫运动的时间为10s，15s或30s时，两小虫所在位置与点O组成的三角形的面积等于450cm2；【解析】本题主要考查二次函数的综合题，一元二次方程的应用，注意分类讨论．

(1)可分三种情况列函数关系式：