初中数学120大招-100 面积比例问题

面积比例问题一、方法突破除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．策略一：运用比例计算类策略二：转化面积比如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则．更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．“A”字型线段比：．“8”字型线段比：．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：．面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行．二、典例精析例一：已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．（2）在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代入A点坐标，可得解析式为：．当x=3时，y=5，故点B坐标为（3,5），∴直线AB的解析式为：y=2x-1．（2）铅垂法表示△ACD的面积：设点D坐标为，过点D作DP⊥x轴交AB于P点，则P点坐标为，线段DP=-m²+9，，面积公式表示△MCD的面积：过点D作DQ⊥MC交MC于点Q，则DQ=1-m，，解得：m=5或-1．考虑D点在A、M之间的抛物线上，故m=-1．D点坐标为（-1,5）．例二：如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1）解析式为，对称轴为直线x=1．（2）连接CP，可将四边形CBPA分为△CAP和△CBP．即或．考虑△CAP和△CBP共底边CP，记CP与x轴交于点M，则①AM：BM=5：3，点M坐标为，根据C、M坐标求解直线CM解析式：，联立方程：，解得：（舍），．故P点坐标为（4，-5）．②AM：BM=3：5，点M坐标为，根据C、M坐标求解直线CM解析式为：，联立方程：，解得：（舍），．故P点坐标为（8，-45）．例三：如图，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标．【分析】（1）解析式：（2）显然△COF和△CDF共高，可将面积之比化为底边之比．，思路1：转化底边之比为“A”字型线段比在y轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时OC：CE=3：2）过点E作BC的平行线交x轴于G点，EG与抛物线交点即为所求D点，根据平行线分线段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直线EG解析式为：y=-x+5，与抛物线联立方程，得：，解得：，．故D点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D作DG∥y轴交BC边于点G，则，又OC=3，故点G满足DG=2即可．这个问题设D点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D作DG∥x轴交BC于点G，则，又OB=3，∴DG=2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D坐标为，根据OF：DF=3：2，可得F点坐标为，点F在直线BC上，将点坐标代入直线BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D点坐标如何得到F点坐标．三、中考真题对决1．（2021•百色）已知为坐标原点，直线与轴、轴分别交于、两点，点关于直线的对称点是点，连接交轴于点．（1）求证：；（2）求经过、、三点的抛物线的函数表达式；（3）当时，抛物线上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）证明：与轴、轴分别交于、两点，，，由对称得，，四边形是矩形，，，，；（2）解：设，由对称可得，，，，在中，，，，，，设经过、、三点的抛物线的函数表达式为：，把，，，代入得：，解得：．经过，，三点的抛物线的函数表达式为：；（3）解：存在，过点作轴于，，，，，设中边上的高为，，，，，，，点的纵坐标为0或4，①时，，解得：，；②时，，解得：，（舍去），存在，点的坐标为，或，或，．2．（2021•牡丹江）抛物线经过点和点．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）若过顶点的直线将的面积分为两部分，并与轴交于点，则点的坐标为．注：抛物线的顶点坐标解：（1）把点和点代入得：，解得：，，，顶点．（2）取线段的三等分点、，连接、交轴于点、，则：，，点，点，，，轴于点，，设直线的解析式为：，把点，代入，得：，解得：，直线的表达式为：，当时，，，．故答案为：，，．3．（2021•徐州）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、4，直线与轴交于点，连接、．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有个．解：（1）点、在的图象上，、的横坐标分别为、4，，，设直线的解析式为，，解得，直线为；（2）在中，令，则，的坐标为，，．（3）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点、，此时△的面积和△的面积等于的面积的一半，所以这样的点共有4个，故答案为4．4．（2021•黑龙江）已知抛物线经过点和点，与轴交于点，为第二象限内抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）如图，连接，，，．交于点，当时，求出点的坐标．解：（1）将点和点代入函数解析式，可得，解得：，，又，抛物线的顶点坐标为；（2）如图，过点作轴，由，当时，，点坐标为，设直线的解析式为，将，代入，可得：，解得：，直线的解析式为，，，，又轴，，，，解得：，在中，当时，，点坐标为．5．（2021•贵港）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴是直线，连接．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点的直线与抛物线相交于另一点，当时，求直线的表达式；（3）在（2）的条件下，当点在轴下方时，连接，此时在轴左侧的抛物线上存在点，使．请直接写出所有符合条件的点的坐标．解：（1）抛物线的对称轴为，，，点的坐标为，，抛物线的解析式为，点在抛物线上，，，，抛物线的解析式为；（2）Ⅰ、当点在轴上方时，如图1，记与的交点为点，，，直线垂直平分，点在直线上，点，，直线的解析式为，当时，，点，点点关于对称，