初中数学120大招-78 全等模型-倍长中线模型

全等模型—倍长中线模型知识点管理知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究倍长中线模型三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。题型一：求三角形中线取值范围【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在中，，中线，则边的取值范围（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·全国）如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．【详解】如图，延长至点E，使，连接．∵为的边上的中线，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．【变式1-2】（2021·武汉一初慧泉中学八年级月考）已知AD是△ABC的中线，AD=6，CA=5，则边AB的取值范围是______．【答案】7<AB<17【分析】作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=6，∴AE=6+6=12，∵12+5=17，12-5=7，∴7＜CE＜17，即7＜AB＜17．故答案为：7＜AB＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．【变式1-3】（2021·全国）△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD长度的范围是__________．【答案】1＜AD＜7【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【详解】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，故1＜AD＜7．故答数为：1＜AD＜7．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．【变式1-4】（2021·陕西城固·七年级期末）如图，在中，是边上的中线，过作的平行线交的延长线于点．若，，试求的取值范围．【答案】4＜AE＜8【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案．【详解】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD．∵AB∥CE，∴∠BAD=∠E，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC=6，∴AD=DE，在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即6-2＜AE＜6+2，∴4＜AE＜8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．

题型二：利用倍长中线证明线段、角相等【例题2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB分别是与的中线，且，．求证：．【答案】见解析【详解】解析：过点B作交CE的延长线于点F，由点E为AB中点，得到，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到与全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，即，再由，根据点B为AD中点，得到，利用外角性质及等量代换得到，利用SAS得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证．答案：证明：如图，过点B作交CE的延长线于点F．∵CE是的中线，，∴，，，在和中，∵∴（AAS），∴，，∴，又∵，CB是的中线，∴，∵，∵，∴，在和中，∵∴（SAS），∴．易错：证明：在和中，∴（ASA）．错因：写错证明方法．满分备考：遇到三角形的中线，可通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形解决问题．变式训练【变式2-1】（2019·呼和浩特市实验中学八年级期中）（1）是的中线，，则的取值范围是__________．（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，是的中线，交于，交于，且，求证：．【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）根据倍长中线法将AD延长一倍，再证△ADC≌△GDB，根据三角形的三边关系即可求出AG的取值范围，从而求出AD的取值范围；（2）由（1）中结论：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根据等腰三角形的性质和判定即可得到BG=BF=AC.【详解】（1）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB∴AC=BG=6在△ABG中∴∴（2）将AD延长至G，使AD=DG，连接BG，如下图所示：由（1）中结论：△ADC≌△GDB∴AC=BG，∠CAD=∠G又∵，∴，∴∵∴∴BG=BF=AC【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.【变式2-2】（2020·湖南长沙市·月考）如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：、【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合等腰三角形的性质进行论证．【详解】延长到，使，连结∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.【变式1-3】（2021·陕西碑林·交大附中分校七年级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．【答案】问题背景：SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE＝6．【分析】问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE，∵MN＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．

类倍长中线模型【例题3】（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解：（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三边关系，【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接，∵AD为中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，由D为BC中点，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，FD=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键，变式训练【变式3-1】（2021·广东广州市·月考）如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【分析】通过补长EG，转换成倍长中线模型【详解】延长到点，使得，连结∵是的中点∴在和中，∴∴，∵∴∴∴∵∴∴∴为的角平分线.【变式3-2】（2021·湖北随州市·八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．【分析】延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．【详解】（3），延长到，使，连接，，，，，，点在一条直线上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．【变式3-3】（江苏省南京玄武外国语学校、十三中科利华集团校2019-2020学年八年级下学期期中数学试题）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．（感悟）解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（解决问题）受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE＋CF＞EF，【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题；【详解】解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．综合提升变式练综合提升变式练一、填空题1．（2022·安徽亳州·八年级期末）如图，在△ABC中，AD为中线，．（1）若，AD长度为a，则a的取值范围为________；（2）若，，则AC的长度为________．【答案】

3【分析】（1）延长中线AD到E，使，可证△ACD≌△EBD（SAS），得，根据三角形的三边关系可得，求解即可；（2）延长AD，使，连接CF，可证△ABD≌△FCD（SAS），得，，在Rt△AFC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可求．【详解】解：（1）如图1，延长中线AD到E，使，∵AD是三角形的中线，∴，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴，∵，，第三边上的中线为a，∴，即，∴．故答案为：．（2）如图2，延长AD，使，连接CF，∵AD为中线，∴，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（SAS），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了延长中线构成全等三角形，及全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是延长中线作辅助线构造全等三角形．2．（2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．【答案】1＜AD＜7【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案为：1<AD<7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．（2021·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是_____．【答案】2＜AD＜7【分析】延长中线利用全等，使AD与已知两边满足三角形的三边关系．【详解】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：9﹣5＜AE＜9+5，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7．【点睛】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定（SAS），三角形的三边长度关系；延长三角形的中线证明全等是常用的解题方法，要熟练掌握．二、解答题4．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析(1)解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．(2)AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，0在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．5．（2022·广西贵港·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点O，，AE平分BF，AF平分∠DAE．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图1，过点F作，FP与AE交于点P，先证明再证明从而可得结论；（2）如图2，过点F作，FP与AE交于点P，连接EF，PB，证明，结合，证明△BEP∽△AEB，可得，从而可得结论.(1)证明：如图1，过点F作，FP与AE交于点P，∴，∵AE平分BF，即，又，∴△POF≌△EOB，∴，，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵AF平分∠DAE，∴，∴，∴．(2)如图2，过点F作，FP与AE交于点P，连接EF，PB．∵，AF平分∠DAE，，∴△AEF≌△ADF，∴，又在中，，又由（1）知：△POF≌△EOB，四边形BEFP是平行四边形，∴，∴，又，∴△BEP∽△AEB，∴，∴，又，∴．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，“熟练运用以上知识，作出适当的辅助线”是解本题的关键.6．（2022·湖南长沙·八年级阶段练习）已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．【答案】见解析【分析】先通过延长CD到F使DF=CD，连接AF，构造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性质可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代换和等角对等边就可推出AE=BC．【详解】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，如图∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能正确构造出全等三角形是做出本题的重点．7．（2020·海南·海口市第七中学八年级期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．(1)求证：△ABD≌△ECD证明：延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中点定义）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．【答案】(1)对顶角相等；BD；SAS(2)(3)【分析】（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ABD≌△ECD；（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根据全等三角形的性质解答．(1)延长AD到点E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（对顶角相等）CD＝BD（中点定义）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案为：对顶角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案为；(3)延长AD交EC的延长线于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件．8．（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；(3)求证：CE＝AB．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．(1)解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•DE，即×3×4＝×5×CD，解得：CD＝；(2)证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，∵CD⊥AB，∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；(3)证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，∴∠CAF＝∠ACB＝90°，∵AC＝CA，∴△ACF≌△CAB（SAS），∴CF＝AB，∵CF＝2CE，∴CE＝AB．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．【答案】(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∵，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，∵CD是AB边上的中线，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．10．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．【答案】见解析【分析】延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，证明△ADC≌△GDB（SAS）得到AC=BG且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性质得到AE=EF，继而证明BG=BF，据此解题．【详解】证明：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF∴∠EFA=∠EAF∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∵AC=BG∴BF=AC【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、等角对等边等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．11．（2021·山东威海·七年级期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE．根据______可以判定______，得出______．这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）8．【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案为：；；；；（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．12．（2020·北京·八年级单元测试）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE=EF．求证：AC=BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）见解析【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE=EF可以进一步证得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG，从而证明结论；②作BG=BF交AD的延长线于点G，利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，证出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图①，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，∵AD为△ABC中线，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG，∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA，∵∠BFG=∠G，∠G=∠CAD，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∴AC=BF；②如图②，作BG＝BF交AD的延长线于点G，∵BG=BF，∴∠G=∠BFG，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠EAF，在△ADC和△