北京海淀区明光中学2022年高二数学文模拟试题含解析

北京海淀区明光中学2022年高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时

且的解集为 （

） A．（－2，0）∪（2，+∞） B．（－2，0）∪（0，2） C．（－∞，－2）∪（2，+∞） D．（－∞，－2）∪（0，2）

参考答案：A略2.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如下左图的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙,则下列结论正确的是()A.X甲<X乙；乙比甲成绩稳定

B.X甲>X乙；甲比乙成绩稳定C.X甲>X乙；乙比甲成绩稳定

D.X甲<X乙；甲比乙成绩稳定参考答案：AX甲=81X乙=86.83.若点P(1,1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0

B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0

D．2x－y－1＝0参考答案：D4.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是(

)A．

B．或

C．

D．

参考答案：D5.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.命题p：函数在(1,+∞)上是增函数.命题q：直线在轴上的截距大于0.若为真命题，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据二次函数的性质，求得命题为真命题时，，命题为真命题时，，再根据为真命题，即都是真命题，即可求解.【详解】由二次函数的性质，可得函数在是增函数，则，即，即命题为真命题时，则；由直线在轴上的截距为，因为截距大于0，即，即命题为真命题时，则；又由为真命题，即都是真命题，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距，以及简单的复合命题的真假判定与应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0参考答案：C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．【解答】解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得a＜0；若方程有两个负的实根，则必有，故0＜a≤1．②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．故选C．8.如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那这个数列的通项公式是()A．an＝2(n2＋n＋1)

B．an＝3·2nC．an＝3n＋1

D．an＝2·3n

参考答案：D略9.从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成角，则二面角A-PB-C的余弦值是（）A

B

C

D

参考答案：A10.设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CF：几何概型．【分析】（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．【解答】解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形则构成三角形的概率p=．（2）由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6﹣x﹣y，则全部结果所构成的区域为：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面区域为三角形OAB；若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，则还要满足，即为，所表示的平面区域为三角形DEF，由几何概型知所求的概率为：P==二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则

参考答案：312.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为

▲

．参考答案：－1 13.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，当时，则的面积为

.参考答案：14.将二进制数101101(2)化为八进制数，结果为____________.参考答案：55(8)略15.与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是

参考答案：16.曲线在点处的切线的斜率是_______；参考答案：略17.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如图坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，∴D1（0，0，5），B（3，4，0），A（3，0，0），C（0，4，0），∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．∴cos＜，＞==﹣．∴AC与BD1所成角的余弦值．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（为参数）（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（Ⅱ）若过且与直线l垂直的直线与曲线C相交于两点A，B，求.参考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线的普通方程；（Ⅱ）求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线直角坐标方程：，由曲线的参数方程为（为参数），则，整理得，即椭圆普通方程为．（Ⅱ）直线的参数方程为，即（为参数）把直线的参数方程代入得：，故可设，是上述方程的两个实根，则有又直线过点，故由上式及的几何意义得：.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.（本题满分12分）如图，空间四边形中，，是与的公垂线段，且．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成的角的大小．参考答案：（1）由已知可得平面．又中，知，又为在平面内的射影，（2）连结，作于，连结．由知，平面，[学优高考网gkstk]所以平面平面，又，平面故与平面所成的角为．≌，又为等边三角形．记，则．在中，，故在中，，故与平面所成的角为．20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，，，平面ABCD，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．参考答案：(Ⅰ)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.…………3分又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，21.已知曲线．（1）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（2）求满足斜率为1的曲线的切线方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，切线的方程，代入点P坐标，解方程可得切点的横坐标，进而得到切线的方程；（2）设出切点，可得切线的斜率，求得切点的横坐标，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）设切点为（m，n），函数的导数为y′=x2，可得切线的斜率为k=m2，切线的方程为y﹣n=m2（x﹣m），即为y﹣m3﹣=m2（x﹣m），代入点P，可得4﹣m3﹣=m2（2﹣m），化简为m3﹣3m2+4=0，解得m=﹣1或2，即有切线的斜率为1或4，可得切线的方程为y=4x﹣4或y=x+2：（2）设切点为（x0，y0），可得切线的斜率为k=x02=1，解得x0=±1，切点为（1，），（﹣1，1），所求切线的方程为y﹣=x﹣1或y﹣1=x+1，即有3x﹣3y+2=0或x﹣y+2=0．22.如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明AE⊥BC．PA⊥AE．说明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AEF的一个法向量为，求出平面AFC的一个法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连结AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中点，如图，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值为．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，