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文档简介
北京海淀区明光中学2022年高二数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时
且的解集为 (
) A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2)
参考答案:A略2.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如下左图的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙,则下列结论正确的是()A.X甲<X乙;乙比甲成绩稳定
B.X甲>X乙;甲比乙成绩稳定C.X甲>X乙;乙比甲成绩稳定
D.X甲<X乙;甲比乙成绩稳定参考答案:AX甲=81X乙=86.83.若点P(1,1)为圆的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为()A.2x+y-3=0
B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0
D.2x-y-1=0参考答案:D4.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是(
)A.
B.或
C.
D.
参考答案:D5.已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:C6.命题p:函数在(1,+∞)上是增函数.命题q:直线在轴上的截距大于0.若为真命题,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】根据二次函数的性质,求得命题为真命题时,,命题为真命题时,,再根据为真命题,即都是真命题,即可求解.【详解】由二次函数的性质,可得函数在是增函数,则,即,即命题为真命题时,则;由直线在轴上的截距为,因为截距大于0,即,即命题为真命题时,则;又由为真命题,即都是真命题,所以实数的取值范围是,故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距,以及简单的复合命题的真假判定与应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0参考答案:C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.【分析】首先,对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论,然后在二次项系数不为0时,分两根一正一负和两根均为负值两种情况,最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1,再利用上述过程可逆,就可以下结论充要条件是a≤1.【解答】解:①a≠0时,显然方程没有等于零的根.若方程有两异号实根,则由两根之积小于0可得a<0;若方程有两个负的实根,则必有,故0<a≤1.②若a=0时,可得x=﹣也适合题意.综上知,若方程至少有一个负实根,则a≤1.反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根,因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.故选C.8.如果数列{an}的前n项和Sn=an-3,那这个数列的通项公式是()A.an=2(n2+n+1)
B.an=3·2nC.an=3n+1
D.an=2·3n
参考答案:D略9.从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成角,则二面角A-PB-C的余弦值是()A
B
C
D
参考答案:A10.设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A、B除外),将线段AB分成了三条线段,(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.参考答案:【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;CF:几何概型.【分析】(1)本题是一个古典概型,若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4;1,2,3;2,2,2共3种情况,其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形,得到概率.(2)本题是一个几何概型,设出变量,写出全部结果所构成的区域,和满足条件的事件对应的区域,注意整理三条线段能组成三角形的条件,做出面积,做比值得到概率.【解答】解:(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:1,1,4;1,2,3;1,3,2;1,4,1;2,1,3;2,2,2;2,3,1;3,1,2;3,2,1;4,1,1共10种情况,其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形则构成三角形的概率p=.(2)由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x,y,则第三条线段长度为6﹣x﹣y,则全部结果所构成的区域为:0<x<6,0<y<6,0<6﹣x﹣y<6,即为0<x<6,0<y<6,0<x+y<6所表示的平面区域为三角形OAB;若三条线段x,y,6﹣x﹣y,能构成三角形,则还要满足,即为,所表示的平面区域为三角形DEF,由几何概型知所求的概率为:P==二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则
参考答案:312.如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为
▲
.参考答案:-1 13.已知是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,当时,则的面积为
.参考答案:14.将二进制数101101(2)化为八进制数,结果为____________.参考答案:55(8)略15.与曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程是
参考答案:16.曲线在点处的切线的斜率是_______;参考答案:略17.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,则异面直线BD1与AC所成角的余弦值为.参考答案:【考点】异面直线及其所成的角.【分析】建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AC与BD1所成角的余弦值.【解答】解:建立如图坐标系,∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,∴D1(0,0,5),B(3,4,0),A(3,0,0),C(0,4,0),∴=(﹣3,﹣4,5),=(﹣3,4,0).∴cos<,>==﹣.∴AC与BD1所成角的余弦值.故答案为:.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为(为参数)(Ⅰ)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(Ⅱ)若过且与直线l垂直的直线与曲线C相交于两点A,B,求.参考答案:(Ⅰ),(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求得直线的直角坐标方程,消去参数,即可求得曲线的普通方程;(Ⅱ)求得直线的参数方程,代入椭圆的方程,利用直线参数的几何意义,即可求解.【详解】(Ⅰ)由直线极坐标方程,根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线直角坐标方程:,由曲线的参数方程为(为参数),则,整理得,即椭圆普通方程为.(Ⅱ)直线的参数方程为,即(为参数)把直线的参数方程代入得:,故可设,是上述方程的两个实根,则有又直线过点,故由上式及的几何意义得:.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及参数方程与普通方程的互化,以及直线参数的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.(本题满分12分)如图,空间四边形中,,是与的公垂线段,且.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成的角的大小.参考答案:(1)由已知可得平面.又中,知,又为在平面内的射影,(2)连结,作于,连结.由知,平面,[学优高考网gkstk]所以平面平面,又,平面故与平面所成的角为.≌,又为等边三角形.记,则.在中,,故在中,,故与平面所成的角为.20.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,,,平面ABCD,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.参考答案:(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,所以∠CDB=30°.因此∠ADB=90°,即AD⊥BD.…………3分又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED,所以BD⊥平面AED.…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD,所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CB=1,21.已知曲线.(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)设切点为(m,n),求出导数,求得切线的斜率,切线的方程,代入点P坐标,解方程可得切点的横坐标,进而得到切线的方程;(2)设出切点,可得切线的斜率,求得切点的横坐标,由点斜式方程即可得到所求切线的方程.【解答】解:(1)设切点为(m,n),函数的导数为y′=x2,可得切线的斜率为k=m2,切线的方程为y﹣n=m2(x﹣m),即为y﹣m3﹣=m2(x﹣m),代入点P,可得4﹣m3﹣=m2(2﹣m),化简为m3﹣3m2+4=0,解得m=﹣1或2,即有切线的斜率为1或4,可得切线的方程为y=4x﹣4或y=x+2:(2)设切点为(x0,y0),可得切线的斜率为k=x02=1,解得x0=±1,切点为(1,),(﹣1,1),所求切线的方程为y﹣=x﹣1或y﹣1=x+1,即有3x﹣3y+2=0或x﹣y+2=0.22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AE⊥平面PAD;(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.参考答案:【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)通过证明AE⊥BC.PA⊥AE.说明PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD.(2)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH,EH.由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.(法一)在Rt△ESO中,求出cos∠ESO的值即可.(法二)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面AEF的一个法向量为,求出平面AFC的一个法向量,利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.∵E为BC的中点,∴AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE.而PA?平面PAD,AD?平面PAD且PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD.(2)解:设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH,EH.由(1)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中,AE=,∴当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,∠EHA最大.此时tan∠EHA===,因此AH=1.又AD=2,∴∠ADH=30°,∴PA=ADtan30°=.(8分)(法一)∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连结ES,则∠ESO为二面角E﹣AF﹣C的平面角,在Rt△AOE中,EO=AE?sin30°=,AO=AE?cos30°=.又F是PC的中点,如图,PC==,∴AF=PC=,sin∠SAO==,在Rt△ASO中,SO=AO?sin∠SAO=,∴SE===,在Rt△ESO中,cos∠ESO===,即所求二面角的余弦值为.(12分)(法二)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,∴A(0,0,0),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,
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