云南省昆明市自平实验中学高二数学文下学期摸底试题含解析

云南省昆明市自平实验中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是

（）参考答案：B

2.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为

(

)A.4

B.8

C.9

D.12参考答案：A略3.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为A.17或－1

B.－17或1

C.－1

D.1参考答案：B略4.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C． D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．5.已知{an}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B略6.化简方程=10为不含根式的形式是

A.

B.

C.

D.参考答案：C

略7.某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．45参考答案：A考点： 频率分布直方图；收集数据的方法．

专题： 概率与统计．分析： 根据小长方形的面积=组距×求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可．解答： 解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则，故选A．点评： 用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，，即，属于基础题．8.“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(

)．A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.下列方程中表示圆的是

（）A．

B．C．

D．参考答案：C略10.已知F是椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到．【解答】解：由于PF⊥x轴，则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，y2=b2（1﹣）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2﹣c2）=a2+ac，即有（3a﹣4c）（a+c）=0，则e=．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的横坐标为4，则|AB|=

．参考答案：12【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4，则丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12，则丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（4，y0），过A，B，M做准线的垂直，垂足分别为A1，B1及M1，由中点坐标公式可知：x1+x2=2×4=8，∴丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12∴丨AA1丨+丨BB1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，∴丨AB丨=12，故答案为：12．12.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于__.参考答案：120013.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则

.参考答案：-2略14.如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．参考答案：x+2y﹣8=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】若设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），代入椭圆方程+=1，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线的中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于中档题．15.设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为

．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨设y=0，，则x1?x2?x3…?xn=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案为：﹣1．16.已知是双曲线上的一点，是C的两个焦点，若，则的取值范围是

．参考答案：由题意，,.

17.如图,某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为

米。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤11）元时，每天多卖出的件数与x2+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）由题意设出每天多卖出的件数k（x2+x），结合售价降低3元时，一天可多卖出36件求得k的值，然后写出商品一天的销售利润函数；（Ⅱ）利用导数求出函数的极值点，求得极值，比较端点值后得到利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3．又每件商品的利润为（20﹣9﹣x）元，每天卖出的商品件数为69+3（x2+x）．∴该商品一天的销售利润为f（x）=（11﹣x）[69+3（x2+x）]=﹣3x3+30x2﹣36x+759（0≤x≤11）．（Ⅱ）由f′（x）=﹣9x2+60x﹣36=﹣3（3x﹣2）（x﹣6）．令f′（x）=0可得或x=6．当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x06（6，11）11f′（x）

﹣0+0﹣

f（x）759↘极小值↗极大值975↘0∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元19.已知等比数列首项为3，公比，对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，(Ⅰ)求的前10项之和；(Ⅱ)设为数列的第项，，求参考答案：解析：（1）,即数列的前10项之和为155.(2)===，（错位、分组）20.设函数f（x）=（x+a）ex，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与直线ex﹣y=0平行．（1）求a的值；（2）求y=f（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据两直线平行的条件，求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率k，求出函数f（x）的导函数f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；（2）将（1）中的a代入原式，求出f（x）的导函数f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）的单调增区间，令f′（x）＜0，得出y=f（x）的单调减区间．【解答】解：（1）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与直线ex﹣y=0平行，直线ex﹣y=0的斜率为e，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为k=e．∵函数f（x）=（x+a）ex的导函数为f′（x）=ex（1+x+a），令x=1，∴f′（1）=k=e，即e（2+a）=e，解得a=﹣1；（2）f（x）=（x﹣1）ex，∴f′（x）=ex?x，令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0，∴y=f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为（0，+∞）．21.（本小题满分8分）如图，PCBM是直角梯形，，，，，又，，面ABC，直线AM与直线PC所成的角为，求二面角的平面角的余弦值。参考答案：在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有A（，，0），设（0，0，），（），

则M（0，1，），=，，

由直线AM与直线PC所成的角为，得，即，解得（0，1，1），，设平面MAC的一个法向量为，则，取，得=（1，，－）。

6分平面ABC的法向量为，，又二面角M－AC－B为锐角，二面角M－AC－B的平面角余弦值为。8分22.已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.参考答案：（I）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点