2022年湖南省郴州市致远中学高二数学文下学期摸底试题含解析

2022年湖南省郴州市致远中学高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.假设100件产品中有3件次品，从中任取5件，至少有2件次品的抽法概率为（

）A． B．C． D．参考答案：B2.以下四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为

“若,则”;②设函数，

则对于任意实数和，“＜0”是“)＜0”的充要条件；③命题“”,则命题的否定为“”;④在中,是的充分不必要条件;其中真命题为(

) A.①

B.①②

C.①②③ D.①②③④参考答案：C略3.设全集，集合，，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用补集的定义求出，再利用交集的定义得出集合.【详解】，，，因此，，故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，要充分理解补集和交集的定义，在求解无限数集之间的运算时，可以利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.4.已知≥0，≤0，≥0，则的最小值是（

）A.9

B.4

C.3

D.2参考答案：A5.过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，则双曲线的离心率为A．

B．2

C.

D.参考答案：D6.下列命题是真命题的是

（

）A.“若，则”的逆命题；

B.“若，则”的否命题；C.“若，则”的逆否命题；

D.“若，则”的逆否命题参考答案：D略7.，则M，N两个集合关系正确的是

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.有一个长方体容器,装的水恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面，沿将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是，翻转过程中水和容器接触面积为,则下列说法正确的是

（

）A．是棱柱，逐渐增大

B．是棱柱，始终不变C．是棱台，逐渐增大D．是棱台，始终不变参考答案：B9.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(

)（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D10.复数z＝在复平面上对应的点位于()

A．第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是____参考答案：【分析】将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.【详解】不等式的解集为，且画出图像知：故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.12.已知空间向量=（2，－3，t），=（－3，1，－4），若·=，则实数=________.参考答案：－213.某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为___________万元．参考答案：10略14.若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5=．参考答案：122【考点】二项式定理的应用．【分析】分别令x=1x=﹣1，得到两个式子，再把这两个式子相减并除以2，可得a1+a3+a5的值．【解答】解：∵（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x5，令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35①，令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1②，把①﹣②并除以2，可得a1+a3+a5==122，故答案为：122．15.已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为．参考答案：【考点】K5：椭圆的应用；F3：类比推理．【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．16.已知圆M:(x+)2+y2=36，定点N:(，0)，点P为圆M上的动点，点G在MP上，点Q在NP上，且满足，=0，则点G分轨迹方程为__________．参考答案：解：由为中点可得，，则，而点坐标为，则，则，且，，则轨迹方程为．17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，，的面积为，则

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx﹣x2≤0，分当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，当x＞1时，，令φ（x）=lnx+﹣1，利用其导数可得φ（x）＞0，即可得出（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=令g（x）=2ax2﹣x﹣1，x∈（0，+∞）（1）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）当a＞0时，方程2ax2﹣x﹣1=0有两根，且x1＞0，x2＜0，此时当）时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，）为减函数，在（）为增函数；所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（），递减区间为（0，）．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，x2lnx﹣f（x）=x2lnx+x+lnx﹣x2，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，所以f（1）=0为f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx﹣x2≤0，故当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，当x＞1时，，令φ（x）=lnx+﹣1，则φ'（x）=﹣，所以φ（x）在（1，+∞）为增函数，可得出φ（x）＞0，又因lnx＞0，x2＞0，所以，故当x＞1时，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0，综上所述，当a=1时，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．19.如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、 和、，为坐标原点．设直线、的斜率分别为、．（i）证明：；（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：椭圆方程为，、设则，，…………2分（ii）记A、B、C、D坐标分别为、、、设直线：

：联立可得

…………4分，代入，可得

…………6分同理，联立和椭圆方程，可得

…………7分由及（由（i）得）可解得，或，所以直线方程为或所以点的坐标为或

…………10分20.(本小题满分12分)已知函数（1）求的单调递增区间；（2）在中，内角A,B,C的对边分别为，已知，成等差数列，且，求边的值.参考答案：（1）令的单调递增区间为（2）由，得∵，∴，∴由b,a,c成等差数列得2a=b+c∵，∴，∴由余弦定理，得∴，∴21.已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．解答： 解：（1）=．∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即，解得a=0．又当a=0时，f′（x）=x（x﹣2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，∴f′（x）=≥0，在[3，+∞）上恒成立．①当a=0时，f′（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，∴2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为．∵a＞0，，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．由g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．∵a＞0，