2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）正方形的性质

正方形的性质40．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为2dm2．【答案】2．【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解．【解答】解：如图所示，依题意，OD=22AD＝22，OE=1∴图中阴影部分的面积为OE2＝（2）2＝2（dm2），故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．正方形的性质43．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD=2其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH=12EF＝CH，可得②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABF＝90°，∵DE＝BF，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，∵∠DAE+∠EAB＝90°，∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，∵AG⊥EF，∴EH＝FH，∴AH=12Rt△ECF中，∵EH＝FH，∴CH=12∴AH＝CH；故①正确；③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SSS），∴∠ADH＝∠CDH＝45°，∵△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFK＝∠EDH＝45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴∠BKF＝∠CEH，∴∠AKF＝∠DEH，∴∠FAB＝∠DHE，故③正确；②∵∠ADH＝∠AEF，∴∠DAE＝∠DHE，∵∠BAD＝∠AHE＝90°，∴∠BAE＝∠AHD，∵∠DAE与∠BAG不一定相等，∴∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，故②不正确；④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，∴△AKF∽△HED，∴AKEH∴AK•DH＝AF•EH，在等腰直角三角形AFH中，AF=2FH=2∴AK•HD=2故④正确；∴本题正确的结论有①③④，共3个．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．正方形的性质44．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（）A．3（3−1） B．3（33−2） C．6（3−1） 【考点】正方形的性质．【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A（0，6），D（6，6），C（6，0），直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），可得直线AM解析式为y=m−6mx+6，即得P（6，12m−36m），由PM＝PC，有（m﹣6）2+（m−12m−36m）2＝（12m−36m）2，解得m＝9+33（不符合题意，舍去）或m＝9﹣33，故M（9﹣33，9﹣3【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD边长为6，∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y=m−6m在y=m−6mx+6中，令x＝6得y∴P（6，12m−36m∵PM＝PC，∴（m﹣6）2+（m−12m−36m）2＝（12m−36m∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（12m−36m）2＝（12m−36m）整理得m2﹣18m+54＝0，解得m＝9+33（不符合题意，舍去）或m＝9﹣33，∴M（9﹣33，9﹣33），∴AM=(9−33)故选：C．方法2：∵PM＝PC，∴∠PMC＝∠PCM，∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，∵∠DPA+∠PAD＝90°，∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，∴PD=AD3=23∴CP＝CD﹣PD＝6﹣23，在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，∴CM=3CP＝63由正方形对称性知AM＝CM＝6（3−故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．45．（2023•巴中）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点G在AD上，GF与CD交于点H，tan∠ABG=12，正方形ABCD的边长为8，则BH的长为【考点】正方形的性质；解直角三角形．【分析】根据同角的余角相等可得∠DGH＝∠ABG，进而得到tan∠DGH＝tan∠ABG=12，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝4，于是可求得BG=AG2+AB2=45，DG＝4，在Rt△DGH中，【解答】解：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴∠A＝∠BGF＝∠D＝90°，∴∠AGB+∠DGH＝90°，∵∠AGB+∠ABG＝90°，∴∠DGH＝∠ABG，∴tan∠DGH＝tan∠ABG=1∵正方形ABCD的边长为8，∴AB＝AD＝8，在Rt△ABG中，AG＝AB•tan∠ABG＝8×1∴BG=A∴DG＝AD﹣AG＝4，在Rt△DGH中，DH＝DG•tan∠DGH=4×1∴GH=D在Rt△BGH中，BH=B故答案为：10．【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、勾股定理，利用同角的余角相等推出∠DGH＝∠ABG，再根据锐角三角函数和勾股定理求出相应线段的长度是解题关键．正方形的性质39．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（）A．2 B．3 C．1 D．2【考点】正方形的性质；角平分线的性质．【分析】连接AF，根据正方形ABCD得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．【解答】解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC=2AB＝22∴∠BEC＝∠BCE，∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF=12∠ABE＝∠∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，在△BAF与△BEF中，AB=EB∠ABF=∠EBF∴△BAF≌△BEF（SAS），∴∠BFE＝∠BFA＝45°，∴∠AFC＝∠BAF+∠BFE＝90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF=12AC故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE＝45°是解题的关键．40．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，AF=AG∠FAE=∠GAE∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．正方形的性质41．（2023•怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3．则点P到直线AB的距离为3．【考点】正方形的性质．菁优网版权所有【分析】过点P作PF⊥AB于点F，根据正方形的性质易得△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形AFPE为正方形，以此即可求解．【解答】解：过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠PAE＝45°，∴△AEP为等腰直角三角形，AE＝PE＝3，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四边形AFPE为正方形，∴AE＝PF＝3，∴点P到直线AB的距离为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．正方形的性质41．（2023•绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∵OE＝OF、OB＝OD，∴DF＝EB，∵对称，∴DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，E1F2＝E2F1．∵对称∴∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E1DB＝60°，同理∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1，∵E1F2＝E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO＝OB，∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形．如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB＝4，则DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝23，连接AE，AO，∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，∴△ABO是等边三角形，∵E为OB中点，∴AE⊥OB，BE＝1，∴AE=2根据对称性可得AE∴AD2＝12，DE12=∴AD∴ΔDE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，四边形E1E2F1F2是矩形．当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F2F2是菱形，∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．正方形的性质42．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（）A．43 B．83 C．12 D．16【答案】B【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积．【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，又∵S正方形AMEF＝16，∴AM2＝16，∴AM＝4，在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，∴AM=1即BC＝2AM＝8，在Rt△ABC中，AB＝4，∴AC=B∴S△ABC故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．正方形的性质33．（2023•广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为2．【答案】2．【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出MN=12AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE=AB2+BE2=4+BE2，证明出当BE【解答】解：如图所示，连接AE，∵M，N分别是EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN=1∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AE=A∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，∵点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，∴此时AE=4+∴MN=1∴MN的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．正方形的性质38．（2023•天津）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=5（1）△ADE的面积为3；（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为13．【答案】13．【分析】（1）过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM＝DM=12AD=32，根据勾股定理得到EM=AE2−AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥【解答】解：（1）过E作EM⊥AD于M，∵EA=ED=52．∴AM＝DM=12AD∴EM=A∴△ADE的面积为12故答案为：3；（2）过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴EF⊥BC，∴四边形ABPM是矩形，∴PM＝AB＝3，AB∥EP，∴EP＝5，∠ABF＝∠NEF，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，在△ABF与△NEF中，∠ABF=∠NEFBF=EF∴△ABF≌△NEF（ASA），∴EN＝AB＝3，∴MN＝1，∵PM∥CD，∴AN＝NG，∴CD＝2MN＝2，∴AG=A故答案为：13．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．39．（2023•内江）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，△BPC是等边三角形，则阴影部分的面积为12−43【答案】12−43【分析】过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，先利用60°角的正弦值求出PF的长，即可求出等边△BPC的面积，再求出PE的长，即可求出△PCD的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，过点P作PF⊥BC于点F，∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BCD＝90°，∵△BPC是等边三角形，∴PC＝BC＝4，∠PCB＝60°，在Rt△PFC中，sin60°=PF即32∴PF=23∴S△BPC∵∠BCD＝90°，∠PCB＝60°，∴∠PCE＝30°，∴PE=1∴S△PCD∵S正方形ABCD∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△BPC﹣S△PCD=16−43=12−43故答案为：12−43【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键．正方形的性质35．（2023•广东）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒．素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；（2）证明（1）中你发现的结论．【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）证明过程见解答．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解；（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；（2）∵A1C1为正方形对角线，∴∠A1B1C1＝45°，设每个方格的边长为1，则AB=1AC＝BC=1∵AC2+BC2＝AB2，∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠A1B1C1．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．正方形的性质30．（2023•绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．（1）求证：∠DAG＝∠EGH；（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．【答案】见解答．【分析】（1）直接由平行公理的推理即可解答．（2）先连接CG，然后根据正方形的性质得出△ADG≌△CDG，从而得到∠DAG＝∠DCG．再证明∠EGH＝∠DCG＝∠OEC即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，∴∠ADE＝∠GEC＝90°，∴AD∥GE，∴∠DAG＝∠EGH．（2）解：AH⊥EF，理由如下．连结GC交EF于点O，如图：∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，又∵DG＝DG，AD＝CD，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCG．在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC，由（1）得∠DAG＝∠EGH，∴∠EGH＝∠OEC，∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF．【点评】本题考查正方形的性质与全等三角形的性质，熟悉性质是解题关键．正方形的性质37．（2023•杭州）在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED=13，求（2）求证：AE•CF＝1．（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．【答案】（1）DF=1（2）见解析过程；（3）DE=1【分析】（1）通过证明△DEF∽△CBF，由相似三角形的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CFB，可得ABCF（3）设EG＝ED＝x，则AE＝1﹣x，BE＝1+x，由勾股定理可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴△DEF∽△CBF，∴DEBC∴13∴DF=1（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，又∵∠A＝∠BCD＝90°，∴△ABE∽△CFB，∴ABCF∴AE•CF＝AB•BC＝1；（3）解：设EG＝ED＝x，则AE＝AD﹣AE＝1﹣x，BE＝BG+GE＝BC+GE＝1+x，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，∴1+（1﹣x）2＝（1+x）2，∴x=1∴DE=1【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．正方形的性质33．（2023•大连）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为3104【答案】310【分析】过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，首先证四边形CMFN为正方形，再设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，BE＝5，EM＝2﹣a，然后证△EFM和△EAB相似，由相似三角形的性质求出a，进而在Rt△AFN中由勾股定理即可求出DF．【解答】解：过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝90°，BC＝AB＝CD＝3，∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠ACB＝∠B＝90°，∴四边形CMFN为矩形，又∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，∴FM＝FN，∴四边形CMFN为正方形，∴FM＝FN＝CM＝CN，设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，∵CE＝2，∴BE＝BC+CE＝5，EM＝CE﹣CM＝2﹣a，∵∠B＝90°，FM⊥CE，∴FM∥AB，∴△EFM∽△EAB，∴FM：AB＝EM：BE，即：a：3＝（2﹣a）：5，解得：a=3∴FN=CN=3∴DN