2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质52．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④．【分析】根据正五边形的性质得出各角、各边之间的关系，然后由各角之间的关系以及相似三角形的判定与性质，菱形的判定分别证明即可．【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB=(5−2)×180°在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=180°−108°同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，∴∠ACE＝∠BCD－∠BCA－∠DCE＝108°－36°－36°＝36°，∴∠ACE＝∠DCE，即CF平分∠ACD，故①正确；②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，∴AFDF∵ACDE∴AFDF即AF≠2DF，故②错误；③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，∴AB∥FC，∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，∴∠DAB＝∠EAB－∠EAD＝108°－36°＝72°，∵∠ABC＝108°，∴∠ABC＋∠DAB＝108°＋72°＝180°，∴AF∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是菱形，故③正确；④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴DEAD∵DE＝AE＝AB，∴ABAD即AB2＝AD•EF，故④正确；综上，正确的结论是：①③④；故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．相似三角形的判定与性质47．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【答案】C【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD＋∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE＋∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴ADDE∵BD＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴AD2.4∴AD＝3，故选：C．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．相似三角形的判定与性质19．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3.6．【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴BDBA∴BD6∴BD＝3.6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．相似三角形的判定与性质44．（2023•云南）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA•AC＝DC•AB．设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系．【分析】（1）通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB＝∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；（2）设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．【解答】解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OA，∵DA•AC＝DC•AB，∴DADC∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，∴OA∥CD，∴∠OAE＝∠CDE＝90°，∴OA⊥DE，又∵OA为半径，∴AE与⊙O相切；（2）如图，∵OA∥CD，∴△AOE∽△DCE，∴AOCD设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，∴aCD∴CD=43∵△ABC∽△DAC，∴BCAC∴AC2＝BC•CD=83a∵△ABC∽△DAC，∴S△ACDS△ABC=（AC∴S2=23S∴m=2【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．相似三角形的判定与性质50．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F、N是线段BF上的点，BN＝2NF：M是线段DE上的点，DM＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（）A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积【答案】D【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出FBED=FDECD，由已知得出NFME=BFDE，则FDEC=NFME，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△【解答】解：如图所示，连接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴FBED∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴NF=13BF∴NF∴FDEC又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴S△MCC故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．相似三角形的判定与性质41．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1 B．32 C．2 【答案】C【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴BE＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．42．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为15．【答案】15．【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．【解答】解：如图，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴阴影梯形的面积=12（HK+GF=1＝15．故答案为：15．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．相似三角形的判定与性质48．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k，若AD＝DF，则CFFA=k【答案】k2【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC=12k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF=12k2•【解答】解：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴ABEC∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴BEBC∴EC=12∵BCAB=∴BC＝k•AB，∴EC=12k•∴AB1∴CF=12k2•∴CFFA故答案为：k2【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．49．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S【答案】52【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得AECD【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AEBE∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD∴S△ADF故答案为：52【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．相似三角形的判定与性质45．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．【答案】（1）见解析；（2）3．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴ACBD∴6BD∴BD＝3．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．相似三角形的判定与性质48．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝22；⑤EP•DH＝2AG•BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，对每个选项的结论逐一判断，即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠BFA，在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE=90°∠BFA=∠AED∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE．故①正确；∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE．故②正确；当CM⊥FM时，∠CMF＝90°，∵∠AMF＝∠ABF＝90°，∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直线上，∴∠MCF＝45°，∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，由翻折的性质可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，∴BC∥MH，HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF＝MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BF＝a，在Rt△AED中，DE=A∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，∴△AHD∽△FHB，∴FHAH∴AH=2∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，∴△AGE∽△ABF，∴AEAF∴EG=55BF=∴DG=ED−EG=455∵∠BHF＝∠DHA，∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA=DG故④错误；∵△AHD∽△FHB，∴BHDH∴BH=13BD=∵AF⊥EP，根据翻折的性质可得：EP=2EG=2∴EP•DH=255a•423a=81015a2，2AG∴EP•DH＝2AG•BH，故⑤正确．综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．49．（2023•黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH=3FG若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．【答案】如图②；FH=2FG，证明见解析；如图③；FH＝FG【分析】如图②；连接AH，CE，AF，根据等腰直角三角形的性质得到AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根据相似三角形的性质得到CE=2FH，根据三角形中位线定理得到CE如图③；连接AH，CE，AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，根据相似三角形的性质得到CE＝2FH，根据三角形中位线定理得到CE＝2FG，于是得到FH【解答】解：如图②；FH=2FG证明：连接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=1∴∠CAH＝∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAC，AHAC∴△AHF∽△ACE，∴FHCE∴CE=2FH∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG，∴FH=2FG如图③；FH＝FG，证明：连接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，∵点F，H分别是DE，BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=1∴∠HAF＝∠EAC，AHAC∴△AHF∽△ACE，∴FHCE∴CE＝2FH，∵点F，G分别是DE，DC的中点，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．相似三角形的判定与性质50．（2023•绥化）如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（）①AB2＝BF•AE②S△BGF：S△BAF＝2：3③当AB＝a时，BD2﹣BD•HD＝a2A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】①根据题意可得∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，则cos∠ABF＝cos∠EAD，即BFAB=ADAE，又AB＝AD，即可判断①；②设正方形的边长为a，根据勾股定理求得AF，证明△GAB∽△GED，根据相似三角形的性质求得GE，进而求得FG，即可判断②；过点H分别作BF，AE的垂线，垂足分别为M，N根据②的结论求得BH，勾股定理求得【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，∵BF⊥AE，∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，∴cos∠ABF＝cos∠EAD，即BFAB又AB＝AD，∴AB2＝BF•AE．故①正确；设正方形的边长为a，∵点E为边CD的中点，∴DE=a∴tan∠ABF=tan∠EAD=1在Rt△ABE中，AB=A∴AF=5在Rt△ADE中，AE=A∴EF=AE−AF=5∵AB∥DE，∴△GAB∽△GED，∴AGGE∴GE=1∴FG=AE−AF−GE=5∴AFFG∴S△BGF：S△ABF＝2：3．故②正确；∵AB＝a，∴AD＝AB＝a，∴BD2＝AB2+AD2＝2a2，如图所示，过点H分别作BF，AE的垂线，垂足分别为M，N，如图，又∵BF⊥AE，HM⊥BF，HN⊥AE，∴四边形FMHN是矩形，∵FH是∠BFG的角平分线，∴HM＝HN，∴四边形FMHN是正方形，∴FN＝HM＝HN，∴BF=2AF=255∴MHBM设MH＝b，则BF＝BM+FM＝BM+MH＝3b+b＝4b，在Rt△BMH中，BH=B∵BF=2∴25解得：b=5∴BH=10∴BD2﹣BD•HD＝2a2−2a×22a＝故③正确．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．51．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BDCE的值为45【答案】45【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到ADAB∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到BDEC【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=A∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴BDEC故答案为：45【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．相似三角形的判定与性质40．（2023•苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC=5，BC＝25，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【分析】（1）根据圆周角定理得∠BDE＝∠BAC，进而可以证明结论；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为G，证明△DBE∽△ABC，得BDAB【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵BC所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，∵∠ACB＝90°，AC=5，BC＝25∴AB=A∵CG⊥AB