2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）切线的判定与性质

切线的判定与性质43．（2023•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是AB延长线上一点，连接CF，AD，∠FCD＝2∠DAF．（1）求证：CF是⊙O切线；（2）若AF＝10，sinF=23，求【答案】（1）证明见解析；（2）85【分析】（1）先根据垂径定理得出CB=DB，进而得出∠COB＝∠DOB，再根据圆周角定理得出∠DOB＝2∠DAF，结合已知∠FCD＝2∠DAF得出∠FCD＝∠COB，根据CD⊥AB得出∠COB＋∠OCE＝90°，于是有∠FCD＋∠（2）在Rt△OCF中，根据∠F的正弦值设出OC＝2x，OF＝3x，再根据OF的长即可求出x的值，然后证得∠OCE＝∠F，即可求出OE的长，根据勾股定理求出CE的长，最后根据垂径定理即可求出CD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CB=∴∠COB＝∠DOB，∵∠DOB＝2∠DAF，∴∠COB＝2∠DAF，∵∠FCD＝2∠DAF，∴∠FCD＝∠COB，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，∴∠COB＋∠OCE＝90°，∴∠FCD＋∠OCE＝90°，即∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，又OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O切线；（2）解：如图，连接OC，由（1）知OC⊥CF，∴sinF=OC设OC＝2x，则OF＝3x，∴OA＝OC＝2x，∵AF＝10，∴OA＋OF＝10，即2x＋3x＝10，解得，x＝2，∴OC＝4，∵OC⊥CF，∴∠OCE＋∠FCE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠F＋∠FCE＝90°，∴∠F＝∠OCE，∴sinF＝sin∠OCE，在Rt△CEO中，sin∠OCE=OE即OE4∴OE=8由勾股定理得，CE=O∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CD=2CE=8【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，熟知经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的判定与性质16．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠C＝30°，CD＝23，求BD的长．【答案】（1）证明见解答；（2）BD的长是23．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝23，所以BD＝CD＝23．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝23，∴BD＝CD＝23，∴BD的长是23．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明OD∥AC是解题的关键．17．（2023•辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE=45，求【答案】（1）详见解答；（2）245【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得OE⊥EF即可；（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°＝∠FOE＋∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1，∵sin∠AFE=4∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=∴AC=45×∴BC=A【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．切线的判定与性质34．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若sin∠P=13，BP＝4，求【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：∵sin∠P=13=OEOP，BP∴OEOE+4∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB+BP＝8，在Rt△APD中，sin∠P=AD∴AD=13AP∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC﹣AD＝4−8∴CD的长为43【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．35．（2023•凉山州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理．【分析】（1）连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根据∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；（2）连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得DE【解答】（1）证明：连接OA，如图：∵AB⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴∠FAD+∠ADF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADF，∴∠FAD+∠OAD＝90°，∵∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接AC，AO，如图：∵CD为⊙O直径，∴∠CAD＝90°，∴∠C+∠ADC＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∴∠C＝∠FAD，∵∠EAD＝∠FAD，∴∠C＝∠EAD，∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP，∴APCP∵PA＝4，PD＝2，∴4CP解得CP＝8，∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，∴⊙O的半径为3；∴OA＝3＝OD，∴OP＝OD+PD＝5，∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，∴△OAP∽△DEP，∴DEOA=PD∴DE=6∴⊙O的半径为3，DE的长为65【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．36．（2023•武威）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sinB=35时，求【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵CO平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO＝∠D，∴∠D＝∠OCD，∴OC∥DE，∴∠OCE＝∠E＝90°，∵OC是圆的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sinB=AC∴AC＝6，∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，∴sin∠ACE＝sinB=AE解得：AE＝3.6，∴CE=A【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．切线的判定与性质38．（2023•广西）如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．【答案】（1）证明见解答；（2）PA的长是12．【分析】（1）由切线的性质得PA⊥OA，而PO平分∠APD，OB⊥PD，所以OB＝OA，则点B在⊙O上，即可证明PB是⊙O的切线；（2）由OA＝OB＝4，OC＝5，得AC＝OA+OC＝9，BC=OC2−OB2=3，由PAAC=OB【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，∴OB＝OA，∴点B在⊙O上，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC=O∵∠A＝90°，∴PAAC=OBBC∴PA=43AC∴PA的长是12．【点评】此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明OB＝OA是解题的关键．39．（2023•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CD＝12，tan∠ABC=34，求⊙【答案】（1）见解析；（2）15﹣35．【分析】（1）连接OE，由题意得到OD＝OE，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，求得∠OED＝∠CDE，根据平行线的判定定理得到OE∥CD，根据∠ACB＝90°，得到OE⊥AC，于是得到结论；（2）过D作DF⊥AB，根据角平分线的小知道的CD＝DF，根据勾股定理得到BD=DF2+BF2=【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC；（2）解：过D作DF⊥AB，∵AD平分∠A＝BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF，∵CD＝12，tan∠ABC=3∴BF=DF∴BD=D∴BC＝CD+BD＝32，∴AC＝BC•tan∠ABC＝24，∴AD=AC2∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴EOCD∴EO12解得EO＝15﹣35，∴⊙O的半径为15﹣35．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝120°，CD＝23，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．【答案】（1）见解答．（2）23−【分析】（1）连接OC，由AB是直径，可得∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，再证∠OCA＝∠A＝∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，即可证明．（2）由圆周角定理求得∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝∠120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=tan60°，CD∴23OC=∴阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形BOC=12×2【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．切线的判定与性质35．（2023•随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠AFD=1①求⊙O的半径；②求线段DE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）①⊙O的半径为3；②线段DE的长为2．【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠D＝90°，根据已知易得CE=CB，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，最后利用平行线的性质可得∠OCF＝∠（2）①过点O作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理可得AG＝EG＝1，再根据垂直定义可得∠AGO＝∠DGO＝90°，从而可得∠D＝∠AGO＝90°，进而可得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin∠AOG＝sin∠AFD=13，最后在Rt△②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得OC＝DG＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：连接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵点C是BE的中点，∴CE=∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，∴AG＝EG=12∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin∠AFD=1∴sin∠AOG＝sin∠AFD=1在Rt△AGO中，AO=AG∴⊙O的半径为3；②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四边形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，∴线段DE的长为2．【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．切线的判定与性质44．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π【答案】（1）见解答．（2）2−π【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论，（2）根据S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°，∵点E是弧DF的中点．∴∠DOE＝∠EDF=12∠∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°∴OE⊥BC，∵OE是半径，∴BC是⊙O的切线，（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，∴△OEB是等腰三角形，设BE＝OE＝x，则OB=2x∴AB＝x+2x∵AB=2BC∴x+2x=2（2解得x＝2，∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2−【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．切线的判定与性质19．（2023•乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sinE=23，⊙O的半径为3，求【答案】（1）证明见解答；（2）AD的长是85【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23，则CE＝CA=23AB=23×6＝4，CF=23CE=2【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∵AD＝AE，∴∠E＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴直线AE是⊙O是的切线．（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴CAAB=sinB＝sinE∵OA＝OB＝3，∴AB＝6，∴CE＝CA=23AB∴CF=23CE=2∴AF＝BF=C∴AD＝AE＝2AF＝2×4∴AD的长是85【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．切线的判定与性质15．（2023•张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cosB=35，求【答案】（1）见解答；（2）907【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：【解答】（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=90【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．切线的判定与性质21．（2023•湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）52．【分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在⊙O上，即可得证；（2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，垂径定理得出BH＝HC=12BC＝3，勾股定理得OH＝4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△【解答】（1）证明，∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD，又∵AD＝CD，∴△ABD≌△CED（AAS），∴AB＝CE．∴四边形ABCE是平行四边形．∴AE∥BC．作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线．∴点O在AH上．∴AH⊥AE．即OA⊥AE，又点A在⊙O上，∴AE为⊙O的切线；（2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB，∵AH为BC的垂直平分线，∴BH＝HC=12∴OH=O∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，∴AB＝AC=A∴CD=12AC∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH∴△CMD∽△CHA，又AD＝CD，∴DMAH∴MH=12HC=32，DM∴BM＝BH+MH＝3+3∴BD=B∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB，∴△FCD∽△ABD，∴FCAB∴FC3∴FC＝52．【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．切线的判定与性质38．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝5，tan∠ADB=3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π​【答案】（1）证明见解析；（2）50π9【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题；（2）连接OF，DE，由tan∠ADB=3，得到∠ADB＝60°，由直角三角形的性质求出AD长，由锐角的余弦求出AE长，得到圆的半径长，由OD∥AB，推出阴影的面积＝扇形OAF【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB，∴∠ODC＝∠B＝90°，∴半径OD⊥BC于点D，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OF，DE，∵∠B＝90°，tan∠ADB=3∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，在Rt△ADE中，AD＝10，∵cos∠DAE=AD∴AE=20∴OA=12AE∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF，∴S阴影＝S扇形OAF=60π×(【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明OD∥AB；推出S阴影＝S扇形OAF．39．（2023•张家界）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cosB=35，求【答案】（1）见解答；（2）907【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；（2）由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：【解答】（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=90【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．切线的判定与性质40．（2023•常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE．DE的长．【答案】（1）详见解答；（2）DE=185，EC【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆心角、弦、弧之间的关系可得∠CAE＝∠OCA，进而得到OC∥AE，再根据平行线的性质得出OC⊥EC即可；（2）利用相似三角形的性质，勾股定理以及圆心角、弧、弦之间的关系进行计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C是BD的中点，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AE，∵AE⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝6，AC＝8，∴AB=B又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△AEC∽△ACB，∴ECCB即EC6∴EC=24∵点C是BD的中点，即BC=∴CD＝BC＝6，∴DE=6答：DE=185，EC【点评】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系，掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理以及圆心角、弦、弧之间的关系是正确解答的前提．切线的判定与性质32．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；菱形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）连接OA，则∠OAF＝∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF＝90°，由菱形的性质得AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；（2）由OAAD=58，AD＝2AG，得OAAG=54，设AG＝4m，则OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG=OA2−AG2=3【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA，∴∠OAF＝∠OFA，∵AG＝GD，∴OF⊥AD，∴∠AGF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵OAAD=58，∴OA2AG∴OAAG设AG＝4m，则OA＝5m，∴OF＝OA＝5m，∵∠AGO＝90°，∴OG=OA2∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，∵∠AED＝∠AGF＝90°，∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，∴tan∠ADB＝tan∠AFG=AG∴tan∠ADB的值是2．【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．33．（2023•达州）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．​【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠PAB＝∠ACB，∴∠BAC＝∠PAB．∵AB＝BC，∴AB=∴OB⊥AC，∴∠BAC+∠ABO＝90°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠PAB＝90°，∴∠PAO＝90°，即OA⊥AP，∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴AO＝AB．由（1）知：∠BAC＝∠BCA，∵∠BCA＝∠D，∴∠BAC＝∠D．∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴ABBE∴AB2∴AB2＝12，∴AB＝23，∴OA＝23．在Rt△OAP中，∵tanP=OA∴AP=2【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．34．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；垂径定