2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）垂径定理的应用

垂径定理的应用15．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【答案】26．【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE=12AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r－1）2＋52，求出【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE=12AB∵CE＝1寸，∴OE＝（r－1）寸，∵OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝（r－1）2＋52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接OA构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．垂径定理的应用40．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为16cm．【答案】16．【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴AC=BC=1由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，AC=OA∴AB＝2AC＝16cm，故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．垂径定理的应用38．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=37【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R﹣7）2＝R2解得R=1565故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．39．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，则AC的长为（）A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm【答案】B【分析】先根据垂径定理求出AD的长，由题意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比计算出AC所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC的长即可．【解答】解：如图所示：∵OB⊥AC，∴AD=12AC＝1503m，∠AOC＝2在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，∴(1503)2+（OA﹣150）2解得：OA＝300m，∴sin∠AOB=AD∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴AC的长=120×300π180=200故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．垂径定理的应用43．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（）A．π4km B．π2km C．【答案】B【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四点共圆，∴∠AOB＝α＝60°，∴圆曲线