数理统计随机变向量及其分布

数理统计主讲教师：李金波Email：中国矿业大学数学系2015.09

一、随机变量的定义

二、离散型随机变量及其分布

三、几种常见的分布

四、随机变量函数的分布随机变（向）量及其分布

设随机试验的样本空间

一.随机变量及其分布上的实值单值函数，是定义在样本空间我们不仅关心取什么值，更关心它取值的概率大小。例如希望知道集的概率，其中X是任一实数。因为我们只在事件上定义了概率，讨论概率，当然要求是事件，即定义1是定义在上的单值实函数，如果对任一实数x，设为一个概率空间，则称为随机变量。1.随机变量随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母

等.2、分布函数的概念定义1设

是一个随机变量，是任意实数,称函数为的分布函数。上的概率.分布函数的值就表示

落在区间分布函数的另一种定义是：称为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变量有影响，此种定义给出的分布函数是左连续的，前一种是右连续的。对于连续行随机变量的分布没有任何影响。3性质1）非降函数，即若，则2）3）

右（左）连续4.几个常用的概率公式1.2.3.4.（2）分布函数是一个普通实值函数（1）分布函数完整描述了随机变量的统计规律性5.随机变量的分类

例如：“抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等1）离散型随机变量2）连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如：“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间定义

若随机变量X的全部可能取值是有限个或无限可列多个,则称此随机变量是离散型随机变量。例

扔一均匀硬币三次，出现正面的次数离散型随机变量

二、离散型随机变量的定义分布律也可用如下表格的形式表示定义

设随机变量X的所有可能取值为满足kp则称pk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

常用的离散型随机变量1.

(0—1)分布定义

若随机变量X的分布律为（0—1）分布的分布律也可写成（2）二项分布3）泊松分布称服从参数为的泊松分布,记为其中是常数,若随机变量

的分布律泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用①排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客人数②生物存活的个数③放射的粒子数解例1

求分布函数当时,当时,当时,已知随机变量

的分布律合并可得图形特点：阶梯状、右连续非降函数、不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P{X=0},P{X=1},P{X=2}一、定义其中被积函数,称为概率密度函数或概率密度。如果随机变量

的分布函数为则称

为连续型随机变量

连续型随机变量②对于连续型随机变量，改变在个别点上的函数值不会改变的取值①

概率密度的性质1.2.面积为1o3.4.在的连续点处，则对连续型r.vX,有例2.试求:2)解1)连续型随机变量

的分布函数3)4次独立观察

,求3次落入(0.25,0.75)1)概率密度中的概率.2)或设表示落入内的次数3)则几种常见的分布一、均匀分布分布函数为:1.若X的概率密度为则称

服从(a,b)上的均匀分布，记作例3解二、指数分布若随机变量

具有概率密度则称

服从参数为的指数分布.记为

的分布函数(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两解

电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布例4(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？令：B={等待时间为10-20分钟}三、正态分布的正态分布,或高斯分布.所确定的曲线称为正态曲线若X具有概率密度则称

服从参数为记为条关于对称的钟形曲线.特点是:正态分布的密度曲线是一正态分布的图形特点决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度的中心位置“两头小,中间大,左右对称”正态分布的分布函数标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示

的分布函数是若,则

~N(0,1)设

,定理若车门高度应如何确定?例6公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在0.01以下来设计的,由设男子身高问解:

设车门高度为厘米,例7.解:落在以外的概率可以忽略不计.

随机变量的函数的分布随机变量的函数(分布律或分布密度）。一、离散型随机变量函数的分布当X为离散型随机变量时，也是离散型随机变量。求Y的分布律是容易的。并且在X的分布律已知的情况下，注：1、设互不相等时，则事件由2、当则把那些相等的值合并起来并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。例1

设随机变量的分布律为的分布律解解

的分布律。所以二.连续型随机变量函数的分布解题思路随机变量。例2

设X

的概率密度为求Y=2X+8的概率密度

解设Y的分布函数为例3

设X的概率密度解

由题意可知的取值范围为设

X具有概率密度,求的概率密度求导可得例4

解

其概率密度为：则

Y=X2

的概率密度为：例如,设设是定义在概率空间如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示

(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy

的二维正态分布，记为定义若二维随机变量的概率密度为其中都是常数,且，则称服从参数为定义2:设是二维随机变量,对于任意实数,称为

的分布函数或联合分布函数。边际分布同理可得几何表示