2023年浙江省杭州市中考数学二模试卷

2023年浙江省杭州市中考数学二模试卷

一.选择题：有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，则屋牙的相反数为（）

2023

2.第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000

平方米，数据216000用科学记数法表示为（）

A.2.16X105B.21.6X104C.2.16X104D.216X103

3.下列计算正确的是（）

A-=aB.=±ac,=|a|D,=a2

4.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每

个肉粽x元，则可列方程为（）

A.10x+5（x-1）=70B.10x+5（x+1）=70

C.10（x-1）+5x=70D.10（x+1）+5x=70

5.如图所示,将含角45。的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若/1=70°,

则/2的度数为（）

D.95°

6.若a<\,则下列不等式中一定成立的是（）

A.ax<ayB.xi<y2C.x+a<y+lD.x-a>y-1

7.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（)

A.2,2,2B.1,1,8C.1,2,2D.1,1,1

8.如图，在正五边形48CDE中，若BP=1,贝iJPE=（)

A

C.D.遍+1

NA0B=2NB0C,则下列说法中正确的是（)

B.四边形048c内接于

C.AB=2BCD.ZOHA+ZHOC=90°

10.明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度

（忽略掉头等时间）.明明从A地出发，同时亮亮从B地出发.图中的折线段表示从开

始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则

B.第二次相遇时距离B地800米

C.出发25分时两人第一次相遇

D.出发35分时两人相距2000米

二.填空题：有6个小题，每小题4分，共24分.

11.（4分）要使代数式刀工有意义，则x应满足的条件是

Vx-3

12.（4分）计算：tan60°-sin60°=.

13.（4分）现有四张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1,2,3,4.从

中随机抽取一张卡片，那么抽取的卡片上的数字不大于2的概率

是.

14.（4分）若扇形的圆心角为120。，半径为尚，则它的弧长为.

15.（4分）如图菱形ABC。的边长为4,NA=60°,将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落

在边的中点G处，则BF=.

16.（4分）如图在四边形ABCO中，AB〃C£>且NC=90°,AD=AB,CD=4,AC=8,

则沁=

'△BAD

三.解答题：有7个小题，共66分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：一^■一要甲、乙两位同学

完成的过程分别如下：

（1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第步开始出现

错误；乙同学的解答从第步开始出现错误；

（2）请重新写出此题的正确解答过程.

_2x-2-x+5空一小=2x-2-x-5第二步

(x+l)(x-l)第一步

=x-7第三步

—_____x+S____笛=#

(x+1)(X-1)

18.(8分)在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了A：青年大学习；

B：学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学

生可以任选一项活动参加.为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样

调查，根据收集的数据绘制了如所示两幅不完整的统计图：

(1)在这次抽样调查中，一共抽取了名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参

加同一项活动的概率.

19.(8分)如图，在RtZ\ABC中，。为斜边AC的中点，E为BD上一点,F为CE中点,

若DF=2.

(1)求证：DE为NAO尸的角平分线；

20.如图，己知反比例函数yi=S(cK0)和一次函数先=区+6�)的图象相交于点4

1X

(-2,3),B(3,a).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)将一次函数以向下平移5个单位长度后得到直线力，当以＞%＞力时，求x的取值

范围.

21.如图，四边形A8C。是0。的内接四边形，点尸是CO延长线上的一点，且4。平分/

BDF,AE_LC£)于点E.

(1)求证：AB=AC.

(2)若BC=11,DE=2,求C£)的长.

22.(12分)在正方形ABC。中，E为对角线8。上的一点，

(1)如图1,过点E做EGLCO,EFLBC,连结AE,FG,请猜想AE与FG的关系，

并证明.

(2)如图2,连结EC,过点E作EC的垂线交AB于点P,在BC上找到一点Q,使得

BP=BQ；

①求证：△EQC为等腰三角形；

②连结PC,若果［，且。E=&,求PC的长(用女表示).

ADAD

BFCBQC

图1图2

23.(12分)已知二次函数-4znr+,"-2,且与x轴交于不同点A/、N.

(1)若二次函数图象经过点A(3,0),

①求二次函数的表达式和顶点坐标；

②将抛物线在0WxW5之间的那部分函数图象沿直线x=5翻折，将抛物线翻折前后的这

两部分合记为图象F,若直线y=Ax+〃过点C(15,1),且与图象厂恰有两个交点，求

〃的取值范围；

(2)若相＜0,当仞\^4时:求实数，〃的取值范围.

2023年浙江省杭州市观城教育集团中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题：有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，则^的相反数为（）

2023

【分析】根据相反数的意义可得.

解：根据相反数的意义得出：7TL的相反数是-7^77，

20232023

故选：

【点评】本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义.

2.第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000

平方米，数据216000用科学记数法表示为（）

A.2.16X105B.21.6X104C.2.16X104D.216X103

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

解:216000=2.16X105.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“XI"的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及“的值.

3.下列计算正确的是（）

A-=aB.J7^=±ac,=|a|D,=a2

【分析】二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当〃的值

不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号.

解：的值不确定，可取任意实数，

故选：C.

【点评】主要考查了二次根式的化简.在化简的过程中要注意：底=同.其中〃可取

任意实数.

4.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每

个肉粽x元，则可列方程为()

A.lOx+5(x-1)=70B.10x+5(x+1)=70

C.10(x-1)+5x=70D.10(x+1)+5x=70

【分析】设每个肉粽X元，则每个素粽(x-1)元，根据总价=单价X数量，结合购买

10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

解：设每个肉粽X元，则每个素粽(x-1)元，

依题意得：10x+5(x-1)=70.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一

次方程是解题的关键.

5.如图所示,将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若Nl=70°,

则N2的度数为()

60°C.50°D.95°

【分析】根据平角的定义求出N3,再依据平行线的性质，即可得到N2.

AZ3=180°-60°-Zl=50°,

VZ4=45°,

AZ2=Z3+Z4=50°+45°=95°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等.

6.若xVy,a<\9则下列不等式中一定成立的是（）

A.ax<ayB./〈产C.x+aVy+lD.x-a>y-1

【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可.

解：已知xVy,a<\,

当«<0时，ax>ay,

则A不符合题意；

若x=-2,y=l时，x2>y2,

则B不符合题意；

因xVy,«<1,贝lJ%+aVy+l,

则。符合题意；

若x=-2,y=l,。=0,

则x-a<y-1,

则。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

7.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）

A.2,2,2B.1,1,8C.1,2,2D.1,1,1

【分析】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可.

解：4、・.・2+2+2=6>5,

・・.此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故此选项符合题意；

B、Vl+l+5=7<8,

・・・此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；

C、71+2+2=5,

・・・此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；

D、Vl+1+1=3<5,

・・・此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.

8.如图，在正五边形A8CQE中，若BP=1,则PE=()

A.2B.遮+]C.—D.J5+I

22

【分析】根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出PE2

=BP"(BP+PE),代入求解即可.

解：•.•正五边形ABCQE的对角线AC、BE相交于点尸，

*180_=]08。，

5

AB=AC=AE,

：.NABP=ZAEP=ZBAP=ZBCP=—―—=36°,

2

；NP4E=108°-36°=72°,NAPE=36°+36°=72°,

：.ZPAE=ZAPE,

：.AE=PE,

•.,/APB=NB4E=108°,NABP=ZEBA=36°,

/\ABP^/\EBA,

.AB_BE

,•瓦一初

：.AB2=AP'BE,

即PE2=BP>(BP+PE),

：.PE2=1X(1+PE),

解得「/=上返(取正值)，

2

故选：B.

【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及一

元二次方程，掌握正多边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提.

9.如图，A,B,C是OO上三个点，ZAOB=2ZBOC,则下列说法中正确的是()

B.四边形0A8C内接于

C.AB=2BCD.ZOBA+ZBOC=90°

【分析】过。作O£)_LAB于D交。。于E,由垂径定理得到踊=谶，于是得到定=谶

=BC，推出AE=BE=BC,根据三角形的三边关系得到280A8,故C错误；根据三角

形内角和得到N0区4=工(180°-NAOB)=90°-ABOC,ZOCA=—(180°-Z

22

Q

AOC)=90°-^ZBOC,推出NO8A#NOC4,故A错误；由点4,B,C在。。上，

而点O在圆心，得到四边形OA8C不内接于。0,故B错误;根据余角的性质得到N0R4+

ZBOC=90°,故。正确；

解：过。作OOJ_AB于。交。。于E,

则窟=前

：.AE=BE,ZAOE=Z.BOE=^-^AOB,

■:NA0B=2NB0C,

：.ZAOE=ZBOE=ZBOC,

­■•AE=BE=BC-

:.AE=BE=BC,

：.2BC>AB,故C错误；

'：OA=OB=OC,

：.ZOBA^—(180°-ZAOB)=90°-ZBOC,

2

12

ZOCA=—(1800-ZAOC)=90°-—ZBOC,

22

J.ZOBA^ZOCA,故A错误；

♦.•点A,B,C在G)O上，而点。在圆心，

四边形0A8C不内接于OO,故B错误;

NBOE=NBOC=,NAOB,

；/BOE+NOR4=90°,

：.ZOBA+ZBOC=90°,故。正确;

故选：D.

【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作

出辅助线是解题的关键.

10.明明和亮亮都在同一直道A、8两地间做匀速往返走锻炼.明明的速度小于亮亮的速度

（忽略掉头等时间）.明明从A地出发，同时亮亮从B地出发.图中的折线段表示从开

始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间X（分）的函数关系的图象，则

B.第二次相遇时距离8地800米

C.出发25分时两人第一次相遇

D.出发35分时两人相距2000米

【分析】C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相

遇的时间，进而得出C选项错误；

A、当》=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程+时间可求出亮亮

的速度及两人的速度和，二者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；

B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度X第二次相遇的时间-A、8两地间

的距离，即可求出第二次相遇时距离B地800米，8选项正确；

D.观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的

距离=明明的速度X出发时间，即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，。选

项错误.

解：•••第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3X2800米，且二者速度

不变，

，c=60+3=20,

.•.出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；

亮亮的速度为2800+35=80（米/分），

两人的速度和为2800+20=140（米/分），

明明的速度为140-80=60（米/分），A选项错误；

第二次相遇时距离8地距离为60X60-2800=800（米），8选项正确；

出发35分钟时两人间的距离为60X35=2100（米），。选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题

的关键.

二.填空题：有6个小题，每小题4分，共24分.

11.（4分）要使代数式云？有意义，则x应满足的条件是x>3.

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可

得x-3>0,解之即可求出x的范围.

解：要使代数式云？有意义，则x-3>0,

解得x>3.

故答案为：x>3.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中

的被开方数是非负数.

12.（4分）计算：tan60°-sin60°=近.

一2一

【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可.

解：原式=正-卑=（1-^）愿=与，

故答案为：近.

2

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握30°、45。、60°角的

各种三角函数值.

13.（4分）现有四张形状、大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1,2,3,4.从

中随机抽取一张卡片，那么抽取的卡片上的数字不大于2的概率是4.

一2-

【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的卡

片的数字之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：共有4种情况，摸出的卡片的数字不大于2的有2种,

二摸出的卡片的数字不大于2的概率为：今=《，

42

故答案为：

【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.（4分）若扇形的圆心角为120。，半径为得，则它的弧长为n

【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长.

解：,••扇形的圆心角为120。，半径为日,

3

...它的弧长为：12071XT=K,

~~180~

故答案为：n.

n兀r

【点评】本题考查弧长的计算,解答本题的关键是明确弧长的计算公式/=

180

15.（4分）如图菱形ABCO的边长为4,/A=60。，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落

在AB边的中点G处，则BF=1.2

【分析】过点F作尸AB于点H,由菱形的性质和已知条件得出,再设

HB=x,则BF=2x,CF=4-2x=GF,百x,在RtaFGH中，依据勾股定理得到

方程（J§x）2+（2+x）2=（4-2%）2,求得x的值即可得到8F的长.

解：如图所示，过F作交AB的延长线于点”,

VZA=60°,AD//BC,

AZHBF=60°,ZBFH=30°,

设BH=x,则BF=2xfCF=4-2x=GF,FH=j^x,

・・・G是AB的中点，

：.BG=2,GH=2+xf

222

RtZXFGH中，FH+GH=GFf

(V3X^2+(2+x)2=(4-2元)2,

解得x=0.6,

：.BF=2x=\2.

【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，解题时设要求的

线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适

当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

16.（4分）如图在四边形ABC。中，A5〃CD且NC=90°,AD=AB9C£>=4,4c=8,

则沁=一遍」

'△BAD

【分析】过点。作。E〃BC,则可求得四边形3CDE是矩形，从而有CD=BE,BC=DE,

利用勾股定理可得（AB-4）2+BC2=A#,AB2+BC2=AC2,则可求得A8=4A/^-4，再

根据图形可得△BCO与△BA。等高，利用三角形的面积公式进行求解即可.

解：过点。作。E〃8C,如图，

'：AB//CD,

，四边形BCDE是平行四边形，

•:NBCD=90°,

二四边形3C0E是矩形，

：.CD=BE,BC=DE,NOE4=90°,NABC=90°,

（AB-BE）2+DE2=AD2,AB2+BC2=AC2,

•：AD=AB,CD=4,AC=8,

（AB-4）2+BC2=AB2®,AB2+BC2=M@,

②-①得：SAB-16=64-AB2,

解得：AB=4&-4,A8=-4&-4（不符合题意，舍去），

••,SAABD=/AB・£）E，S^BCD—■^-DC*BC-

.SABCD5AB.DE前4a一4

•母后元、4

故答案为：^6-1-

【点评】本题主要考查勾股定理，矩形的判定与性质，三角形的面积，解答的关键是作

出适当的辅助线.

三.解答题：有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：一^•一笋甲、乙两位同学

x+1*2-1

完成的过程分别如下：

（1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第二步开始出现

错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误;

（2）请重新写出此题的正确解答过程.

甲同学乙同学

2x+52_x+5

x+1x2-lx+1x2-l

2(x-1)x+52(x-1)_________x+5第一

第一

(x+1)(x-1)(x+1)(X-1)(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

步步

_2x-2-x+5

第二步=2x-2-x-5第二步

(x+1)(X-1)

=x-7第三步

一

x+3第三步

(x+1)(X-1)

【分析】（1）观察解答过程，找出错误步骤，分析错误原因即可；

（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序计算即可.

解：（1）甲同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是未遵守去括号法则，当括号

前面是减号时，去括号，括号内的加号变减号，减号变加号，所以第二步分子中的“+5”

应为“-5”；

乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误原因是与等式混淆，丢掉了分母;

故答案为：二

2(x-1)x+5

（2）原式=

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

2x-2-x-5

(x+1)(x-1)

x-7

(x+1)(x-1)

【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的混合运算法则和运

算顺序.

18.（8分）在中国共青团成立一百周年之际，某区各中小学持续开展了4青年大学习;

B-.学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学

生可以任选一项活动参加.为了解学生参与活动的情况，在全区范围内进行了一次抽样

调查，根据收集的数据绘制了如所示两幅不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次抽样调查中，一共抽取了200名学生:

(2)补全条形统计图；

(3)小杰和小慧两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求出她们俩参

加同一项活动的概率.

【分析】(1)由。的人数除以所占的比例即可；

(2)求出C的人数，补全条形统计图即可；

(3)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4

种，再由概率公式求解即可.

解：(1)在这次调查中，一共抽取的学生为：40+W^'=200(名)，

360

故答案为：200；

(2)C的人数为：200-20-80-40=60(名)，

补全条形统计图如下：

A

4

人数(8,

80----------

60------------------------------

4()-----------------------------------------

20-------

()—-—_—LJ—_>

ABCD类别

(3)画树状图如下:

开始

ABCD

^ZT\^T\

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中陈杰和刘慧参加同一项活动的结果有4种，

,小杰和小慧参加同一项活动的概率为3=1.

164

【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以

不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.掌握公式：

概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.

19.（8分）如图，在RtZSABC中，D为斜边AC的中点，E为8。上一点，尸为CE中点,

若AE=AQ,DF=2.

（1）求证：为/AOF的角平分线；

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到/AEO=NAQE,根据三角形中位线定理得到

DF//AE,根据平行线的性质得到根据角平分线的定义即可得到结论；

（2）根据三角形中位线定理得到AE=2O尸=4,求得AO=4,根据直角三角形的性质即

可得到结论.

【解答】（1）证明：•.•AE=A£>,

二/AE£）=NADE,

为斜边AC的中点，F为CE中点，

.♦.3尸是aACE的中位线，

：.DF//AE,

：./AE£）=NFDE,

：.NADE=NFDE,

.♦.DE为NAOF的角平分线；

(2)解：为斜边4c的中点，F为CE中点，DF=2,

：.AE=2DF=4,

'：AE=AD,

：.AD=4,

在RtZiABC中，。为斜边AC的中点，

：.BD=—AC=AD=4.

2

【点评】本题考查三角形的中位线定理，直角三角线斜边上的中线和斜边的关系，解答

本题的关键是求出AO的长.

20.如图，已知反比例函数y1=2(cK0)和一次函数y2=fcv+%(%#0)的图象相交于点4

1x

(-2,3),B(3,a).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)将一次函数比向下平移5个单位长度后得到直线力，当先＞力〉乃时，求x的取值

范围.

【分析】(1)将点4的坐标代入反比例函数的表达式求出c即可；然后再将点B的坐标

代入反比例函数的解析式求出点B的坐标，进而可用待定系数法求出一次函数的表达式；

(2)先根据平移求出直线门的表达式，然后画出直线力，观察函数的图象即可得出x

的取值范围.

解：(1)将4(-2,3)代入y1=£，得：c=-6,

1x

...反比例函数的表达式为：y户心，

1X

对于y=—攵，当x=3时，y=-2,

1X

・••点8的坐标为(3,-2),

设一次函数的表达式为：y^kx+b,

-2k+b=3

将A(-2,3)、8(3,-2)代入)，2=履+万，得:

3k+b=-2‘

解得:k=-l

b=l

...一次函数的表达式为:y2—~x+1，

(2)将一次函数y2=-x+l向下平移5个单位长度后得到直线力=-x-4,

画出直线乃=-X-4,

由函数的图象可知：当),2>力>)'3时，X的取值范围是：x<-2或0<x<3.

【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，交点，一次函数的平移等，解

答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式；难点是根据函数性质，结合函数

的图象求不等式的解集.

21.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，点尸是C£>延长线上的一点，且AD平分N

BDF,AE_LCD于点E.

(1)求证：AB=AC.

(2)若BD=11,DE=2,求CD的长.

【分析】(1)根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答；

(2)过点A作AG_LBD,分别证明也RtZXAGO和RlZ\AEC咨RtZSAGB,根据

全等三角形的性质计算.

【解答】（1）证明：・・・AO平分NBQR

・,.ZADF=ZADB,

VZABC+ZADC=180°,ZADC+ZADF=\SOQ,

・•・ZADF=ZABC,

・.・ZACB=ZADB9

：.ZABC=ZACB,

：.AB=AC；

（2）解：过点A作AG_LB。，垂足为点G.

,.・A。平分N8ORAE1.CF,AGLBD,

：.AG=AEfZAGB=ZAEC=90°,

在Rt/\AED和RtAAGD中，

fAE=AG

IAD=AD，

ARtAAED^RtAAGD,

：.GD=ED=2f

在RtAAEC和RtAAGB中，

fAE=AG

IAB=AC,

ARtAAEC^RtAAGB（HL）,

:.BG=CE,

：.BG=BD-GD=11-2=9,

:・CE=BG=9,

：.CD=CE-DE=9-2=1.

BC

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四

边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键.

22.（12分）在正方形ABCO中，E为对角线BO上的一点，

（1）如图1,过点E做EGJ_CD,EFVBC,连结4E,FG,请猜想AE与FG的关系，

并证明.

（2）如图2,连结EC,过点E作EC的垂线交AB于点P,在BC上找到一点Q,使得

BP=BQ；

①求证：AEQC为等腰三角形；

②连结PC,若需《，且。E=&，求PC的长（用上表示）.

图2

【分析】（1）结论：AE^FG,AEA.FG.连接EC,延长AE交FG与点/,交CD于点

K.分别证明E4=EC,FG=EC,可得结论；

（2）①过点E作EMA.AB于点M,EN_LBC于点N,分别证明EP=EC,EQ=EP,可

得结论；

②延长ME交CQ与点K.则四边形EKCN是矩形，证明CQ=2,BQ=k,利用勾股定

理求解.

【解答】（1）解：结论：AE=FG,AELFG.

理由：连接EC,延长AE交FG与点J,交CD于点K.

AD

:四边形ABC。是正方形,

：.BA=BCfZABE=ZCBE=45°,ZBCD=90°,

♦：BE=BE,

:.AABEqACBE(SAS),

：.AE=CEfZBAE=ZBCEf

♦:EG上CD,EF上CB,

：・NEGC=NEFC=NFCG=90°,

・・・四边形£FCG是矩形，

:・FG=CE,

：.AE=FGf

•；EG=FC,ZGEF=ZCFE=90°,EF=FE,

：./\GEF^/\CFE(SAS),

:./ECF=NEGF,

•・・/BAE=/EGF,

・.・AB〃C£>,

:・/BAE=/EKG,

：.ZEGF=ZEKG,

•:/GEK+NEKG=90。,

：.ZGEK+ZEGJ=90Q,

AZEJG=90°,

：.AE_LFG；

(2)①证明：过点E作£MJ_A8于点M,ENLBC于点、N,

•・,四边形ABC。是正方形,

: