高等数学空间解析几何

3°平面曲线弧长

⑴曲线：y=f(x)a<x<bs=fbJl+f2(x)dx

Ja/

⑵[、='义a<t<PS=JBZ(t)+y2(t)dt

ly=yu)Ja

⑶r=r(o)a<e<ps=]：y/r2(d)+r,2(Q)d9

例求下类平面曲线的弧长

1.曲线y=ln(l-X?)相应于0<x的一段

2.心形线[=2(1+8$0)的全长(a>0)

3.摆线[x=l-c°stovtv27r的一拱

y=t-sint

解：Ly，=Tgy2=Y

1-x21-x2

1

=------1-In-------

21-xo

=——4-In3

2

2.rf(0)=-asin0

[[2(。)+。2⑹=42+2a2cosB+a'cos'B+a，sin?®dO

0

=V2aVl+cos0=2acos—

2

2兀Q

2acos—d0

02

r九0r2兀

2aJ()cos^dG-Jcos—dO

2

0"02K

=2a2sin--2sin—=8a

2。2n

4.S=J0兀Jx，2(t)+y"(t)dt=J(JJ(sin炉+(1-costQdt

r2兀2

=fosin-dt

2

r2nt

=2\sin-dt

Jo2

2n

=8

0

4°向变力沿直线作功,液体的水压力P137

空间解析几何

1°向量及其线性运算P149—P152

向量的坐标表达式及其运算P153—P154

2°向量的数量积的向量积a=axi+ayj+azk=^ix,ay,az)

⑴向量积a-b=|a||b|cosa,bjb=bxi4-byj+bzk=|bx,by,bz

=同=|b|(a)B|a|=如+aj+a；

性质:P155

a-b=ab4-ab+ab

八x八xvyvyL7，z

A_>—a-b

应用：(i)a-b=arccos-

lab

(ii)|a|=a-a=a2

(iii)a_Lb<->a-b=0

例1、习题4,1选择题(1)(2)(3)

2填空题(3)(4)(5)

(AA__

例2、设同=5,同=2,a-b=-,M|2a-3b|=2V19

\7

解：|2a-3b|2=(2a-3b)-(2a-3b)=4|a|2-|2a-b|+9b2=76

/.|2a-3b|=2V19

(2)向量积

axb=c

/A_\

|c|=|axb|=|a||b|sin(a,b)

c±a,c±bHPaxb±a,axb±b,右手定则

即(豆xb)-a=0,(axb)«b=0

性质P155注意云=

jk

axb=axayaz

bxbybz

应用⑴SAABC=^|ABXAC|

(ii)a//b<^axb=()

(iii)如LLE,b±c,贝"c//(axb)

即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

例3、习题4,5,2(4)

A

例4、设知量9,6满足1.6=3,axb={l-1.1},则获兀

二(衾

3°平面及其方程

已知平面兀过点Mo(Xo、y。、z0),ii={A,B,c}为兀的法矢量。

1>点法式:A(x-xo)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

2>一般式：Ax+By+Cz+D=O,A、B、C不全为零。

3>截距式：-+^+-=1,a,b,分别为平面在x轴、y轴、z轴

abz

上的截距。

兀兀

］_1_2—1fij-Ln2

兀］〃兀

2—■//n2

点Mo(x。、y。、Zo)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为

|Ax+By+Cz+D|

d=---0/00-1

7A2+B2+C2

例1、习题4.13

求通过点P(2,-1,T),Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的

平面方程。

解:QP={1-3-4},已知平面的法矢量再={2,3,-5}

ijk

QPxnt=1-3-4=27i-3j+9k

23-5

取齐={-9,-1,3}

所求平面为:9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0

即：9x-y+3z~16=0

例2、习题4、11

解:(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0

将点M,(2,-l,0),M2(3,0,5)分别代入得

2-B+D=0->B=-1

,平面方程为：x-y-3=0

3+D=0->D=-3

解法二：n±k,n±M(M2

|ijk

kxM^M7=001=-T+jMXn={-l,1}

15

-(x-2)+(y+l)=0得平面方程：x-y-3=0

⑵设平面方程为y+Cz+D=。即1+不=1

C

-55.

-D=5C=­•y+—z—5=0n

-2=2得22

CD=-52y+5z-10=0

4°直线及其方程

<1>空间直线的一般方程

[A]X+B]y+C]Z+D]=O

L：

A2xB2y4-C2z+D2=0

〈2>点向式(对称式)

直线过点Mo(X。、y0>Zo),3={m,n,p}为L方向向量

则L：=L=ZZ也=三包

mnp

x=x()+mt

<3>参数式L：«y=y。+ntt为参数

z=x0+pt

LI//L2<-»哥〃S2

Li_LL2Sj_LS)

5。直线与平面关系

<1>L/77c<->s±n即sfi=0

ARC

<2>L±TT―s//n—=-=-

mnp

<3>点P到直线L的距离，L的方向向量S={m,n,p},M0为L上一点

M^Pxsl

例3、习题42、⑺、(8)

解⑺直线xzZ=y±l=£±l即所求平面法向量

-131

n={-1,3,1}

由点法式-(x-l)+3(y-2)+(z+l)=0

即x-3y-z+3=0

(8)设平面方程为x+By+Cz=O,n={l,B,C},n,={4,-1,2)

n,-n=0得4-B+2C=0-B=1

3

点(6,-3,2)代入平面，得：6-3B+2C=0C=一一

2

所求平面2x+2y-3z=0

(4＞平面束方程

A[X+B[y+C]Z+D]=0

直线L：•

A2X+B2y+C2z+D2=0

则A]X+B1y+Gz+D]+X(A2x+B2y+C2z+D2)=0

为过直线L的除平面A2X+Bzy+C2Z+D2=0外的平面束方程

例一平面过直线L：?x+：y-2z：5:0,且在z轴有截距-3,求

x-2y+z+7=0

它的方程

解：过直线L的平面束方程为：3x+4y-2z+5+Mx-2y+z+7)=0

即(X+3)x+(4-2X)y+(A,-2)z+7A.+5=0

据题意五±1=3X=--

九-24

入=-口代入平面束方程，得：x+38y-19z-57=0

4

习题4,2,(9)

例已知两直线方程L]:±」=匕==

10-1

L2.—=^=-,则过L1且平行L2的平面方程是

2,211

x-3y+z+2=0

&力[x+z-4=0f]

解：L1：、03=1，0,-1

y-2=oIJ

过与的平面束方程：x+z-4+X(y-2)=0

HPx+Zy+z—4-2Z=0n=^1,X,1}

由平行L2・・・s-n=0得4=-3

所求方程为：x-3y+z+2=0

2x-y-2=0

例已知平面冗：y+2z-2=0直线L:<

3y-2z+2=0

(1)直线L和平面》是否平行？

(2)如直线Z,与平面乃平行，则求直线L与平面灯的距离，如不平

行，则求L