浙江省宁波市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

2022学年第一学期九年级期末测试数学试题卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

试题卷I

一、选择题（每题4分，共40分）

1.一个选择题有A、3、C、。四个答案，其中只有一个是正确，小马不知道哪个答案是正确的，就随

机选了一个，小马选择正确的概率为（）

11

A.0B.：C.-D.1

24

【答案】C

【解析】

【分析】根据一共有4个答案，那么就用4种等可能性的结果，其中只有1个正确答案，那么只有一种是

正确的结果，由此利用概率公式计算即可.

【详解】解：；一共有4个答案，其中只有1个正确答案，

：.P（小马选择正确的概率）=-,

4

故选C.

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式.

2.在平面直角坐标系中，将抛物线丁=k-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线

的解析式是（）

A.y=（%+2『+2：B.y=（x-2）~-2C.y=（x-2）'+2D.y=（%+2『-2

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案.

【详解】由抛物线y=4向右平移2个单位，得：y=（x—2）2—4；再向上平移2个单位，得：

y=（%-2）2-4+2=（%-2『一2,所以A、C、D错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键.

3.如图，圆的两条弦AB,相交于点E,且A£>=C5，NA=40。，则/。班的度数为（）

A

C.70°D.80°

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆周角定理得到NA=NC=40。，由三角形外角的性质即可得到结论.

【详解】解：,..AD=CB，

ZA=ZC=40°,

：.ZAEC=1800-ZA-ZC=180o-40o-40o=100°

/DEB=/AEC=100。,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

4.在平面直角坐标系中，已知点E(3,-6),F(-6,9),以原点O为位似中心，把△EOF缩小为原来

的工，则点尸的对应点尸'的坐标是()

3

A.(1,-2)B.(-2,3)

C.(1,-2)或(-1,2)D.(-2,3)或(2,-3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.

【详解】：以原点。为位似中心，把AEOF缩小为原来的』，F(-6,9),

3

点尸的对应点〃的坐标为(-6x!，9x-)或(-6x(-』)，9x(-1)),即(-2,3)或(2,-

3333

3),

故选：D.

【点睛】本题考查了图形的位似换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相

似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.

5.抛物线y=5(x+l)2—3的顶点坐标为()

A.(1,-3)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

【答案】D

【解析】

【分析】已知抛物线的顶点式产。小力产+左，可直接写出顶点坐标.

【详解】解：由y=5(x+l)2—3,

根据广〃(x-/i)2+左，顶点坐标是(h,k),

可知y=5(x+l)2—3顶点坐标为(-1,-3).

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a(xd)2+匕顶点坐标是Qh,k),对称轴是x=/z,把完全平方项的底数

中的常数当作顶点坐标的横坐标是本题的易错点，顶点坐标横坐标应当是能使完全平方项底数为0的x的

值.

6.如图，在正方形43。。各边上分别截取4石=3尸=。6=。"，且

AAFQ=ZBGM=ZCHN=ZDEP=45°,若四边形"NP。的面积为加.四边形E4EQ面积为邑，

「432

当AF=5亚,且F=时，则AE的长为()

、241

A.272B.3C.4D.3也

【答案】A

【解析】

【分析】如图，分别延长BA、PE交于R,QF、CB交于S,MG、DC交于T,NH、AD交于U,得到则

△尺。口,△SMG,△力都是全等的等腰直角三角形，若将上述四个等腰直角三角形拼成一个

新正方形，则新正方形面积与正方形ABCD面积相等，由题意得△^^△55尸,4久6,4如”也是全

等的等腰直角三角形，得至"△梃=；$正方形跖附，根据已知推出SAMESSAROF，相似比为刎2,设

AE=AR=x，根据相似列方程，即可求解.

【详解】解：如图，分别延长BA、PE交于R,QF、CB交于S,MG、DC交于T,NH、AD交于U,

则△R。尸,△SMG,477VH,4UPE都是全等的等腰直角三角形，若将上述四个等腰直角三角形拼成一

个新正方形，则新正方形面积与正方形ABCD面积相等，

由题意得△氏4E,4SBF,△TCG,△UDH也是全等的等腰直角三角形，

,,S^RAE=WS正方形MNP。，

..员2

.s241,

.S4KAE_8

._8

-二-49，

,*>^/\RAESS丛RQF,

.PE2V2

-------------,

RF7

设AE=AR=_r,则尺7=缶，

41x_272

x+5y[l~7，

解得x=20.

R卜

4

B

故选：A

【点睛】本题考查了正方形与等腰直角三角形拼图，相似性质等知识，根据拼图得出S△胡相

似比为述是解题关键.

7

7.如图，线段AB经过。的圆心，AC,分别与〔。相切于点C，D.若AC=BD=2/，

NA=30°,则CD的长度为()

c.史乃

A.兀B.—71D.2»

33

【答案】B

【解析】

【分析】连接OC、OD,根据切线的性质得到NACO=90°,ZBDO=90°,证明△ACOg^BDO,根

据全等三角形的性质得到/BOD=/AOC=60°,根据正切的定义求出OC,根据弧长公式计算，得到答

案.

【详解】连接OC、OD,

VAC,BD分别是。。的切线，

.,.ZACO=90°,NBDO=90°,

：NA=30°,

.-.ZAOC=60°,

在△ACO和△BDO中，

AC=BD

<ZACO=ZBDO,

OC=OD

.'.△ACO^ABDO(SAS)

.•.ZBOD=ZAOC=60°,

.\ZCOD=60°,

在RtAACO中，OC=AOtanA=2,

60TT-22

CD的长==一兀

1803

故选：B.

【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切

点的半径是解题的关键.

8.如图，在4x4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M,N,P,

Q中找一点作为旋转中心.将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转

后的三角形的三个顶点都在这张4x4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）

A点M,点NB.点M,点QC.点N,点PD.点P,点Q

【答案】C

【解析】

【分析】画出中心对称图形即可判断

【详解】解：观察图象可知，点P.点N满足条件.

A

故选：c.

【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

9.如图，点。为正方形ABC。对角线2。的中点，BE平分/DBC交DC于点、E,延长到点P,使

FC=EC,连接。尸交BE的延长线于点连接0H交DC于点G,连接8C.则以下五个结论中①

0H=3BF；②NCHF=60。；③8C=（2+0）G〃；④WEHB，正确结论有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】①首先根据正方形的性质及角平分线的定义证明△BCE乌加中，然后得出

ZEBC=ZCDF,ZBEC=ZCFD=67.5°,讲而证明印?。,从而可得出点〃是。尸的中

点，从而①可判断；

②根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可判断②；

③通过尸得出8F与8c之间的关系，然后通过三角形中位线的性质得出CF=2G,最后通过等量

代换即可判断；

④通过等腰直角三角形的性质及角度之间的关系证明△BHFAFHE，最后利用相似三角形的性质即可

判断.

【详解】•••四边形A8CD是正方形，

BC=CD,ZBCD=90°,ZDBC=45°,BD=yflBC.

平分/DBC,

ZDBH=ZHBF=-x450=22.5°,

2

/BEC=67.5°.

BC=CD

在_BCE和qDCF中，＜NBCE=ZDCF

CE=CF

.△BCE//\DCF，

/EBC=ZCDF,ZBEC=ZCFD=67.5°.

ZBEC=ZDEH,

ZBEC+ZEBC=ZDEH+ZFDC，

:.NDHB=90°.

NDBH=ZHBF

在和m?"中,<BH=BH

ZBHD=ZBHF

DH=HF,BD=BF=贬BC,

.•.点》是DF的中点，

：.OH=-BF,CH=FH,故①正确；

2

ZHCF=ZCFD=67.5°,

.•.NCHF=180。—2x67.50=45。，故②错误;

BC+CF=y/2BC>

.•.BC=(V2+1)CF.

CF=2GH,

:.BC=(2+2吟GH,故③错误；

CE=CF,ZECF=9Q0,

:.NEFC=45。,

ZEFH=67.5°-45°=22.5°,

：.ZFBE=ZEFH.

ZBHF=ZFHE=90°,

:.ABHFAFHE，

HBHF

:.HF?=HEHB，故④正确；

综上所述，正确的有①，④，

故选：B.

【点睛】本题主要考查四边形综合，掌握相似三角形、全等三角形的判定及性质是关键.

10.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他制了如图2所示的图形，图2中六

个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边和一个小正六边形，若所在的直线经过点

PB=5cm，小正六边形的面积为空也费2,则该圆的半径为（

)cm.

2

光因大\开启示意度

MtM，/M

图1

B.7A/3C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】设两个正六边形的中心为。，连接OP,OB,过。作OGLPM,OHLAB,先由正六边形的性质及

邻补角性质得到为等边三角形，再由小正六边形的面积求出边长，确定出的长，进而可求出

△PAW的面积，然后利用垂径定理求出尸G的长，在直角△OPG中，利用勾股定理求出。尸的长，设02=

xcm,根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果.

【详解】解：设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过。作OGLPM,OH1AB,

由题意得：/MNP=NNMP=NMPN=60°,

•.•小正六边形的面积为竺正。7层，

2

，小正六边形的边长为囚3。%，即PM=1@cm,

3

."=也I.,

4

■：0GLPM,且0为正六边形的中心，...PG=；PM=Z^,OG=1PM=Z

2262

在Rt^OPG中，根据勾股定理得：0P=7cm,

设0B=xcm且O为正六边形的中心,

；.BH=gx,OH=BX,：,PH=(5-±X)cm,

222

在RtZ\P”O中，根据勾股定理得：。尸2=（2x）2+（5-』49,

22

解得：尤=8（负值舍去），则该圆的半径为8aw.

【点睛】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质、灵活应用解直角三角形的知识是解本题

的关键.

试题卷n

二、填空题（每题5分，共30分）

11.已知圆的半径为2cm,90。圆心角所对的弧长为cm.

【答案】兀

【解析】

〃兀Y

【分析】根据弧长公式/=——列式运算即可.

180°

…存八物190°x»x2

L详解】解：I=----=----------=n

1800180°

故答案为：式

【点睛】本题主要考查了弧长的计算，熟悉掌握弧长公式是解题的关键.

12.一个盒子里装有除颜色外都相同的1个红球，4个黄球.把下列事件的序号填入下表的对应栏目中.

①从盒子中随机摸出1个球，摸出的是黄球；

②从盒子中随机摸出1个球，摸出的是白球；

③从盒子中随机摸出2个球，至少有1个是黄球.

事件必然事件不可能事件随机事件

序号———

【答案】①.③②.②③.①

【解析】

【分析】直接利用必然事件：一定发生的事件；不可能事件：一定不会发生的事件；随机事件：可能发生

可能不发生的事件，来依次判断即可.

【详解】解：根据盒子里装有除颜色外都相同的1个红球，4个黄球，

①从盒子中随机摸出1个球，摸出的是黄球，属于随机事件；

②从盒子中随机摸出1个球，摸出的是白球，属于不可能事件；

③从盒子中随机摸出2个球，至少有1个是黄球，属于必然事件；

故答案是：③，②，①.

【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，解题的关键是掌握相应的概念进行判断.

13.如果两个相似三角形的面积比为4:9,较小三角形的周长为4,那么这两个三角形的周长和为

【答案】10；

【解析】

【分析】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，由面积比求出相似比，进而得到周长比，进而得到这两

个三角形的周长和.

【详解】•.•两个相似三角形的面积比为4:9,较小三角形的周长为4

...相似比为2:3

...周长比为2:3

..•较小三角形的周长为4

较大三角形的周长为6

...两个三角形的周长和为10.

【点睛】本题考查是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

14.把抛物线y=2x2的图像先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为.

【答案】y=2(x—4)2—3

【解析】

【分析】根据图像平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案.

【详解】解：抛物线＞=2式的图像先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，

二平移后的抛物线对应的解析式为：y=2(x-4)2-3；

故答案为：y=2(x—4)2—3.

【点睛】此题考查了二次函数图像的平移变换，熟练掌握图像平移的规律是解答此题的关键.

15.点尸为。。外一点，直线尸。与。。的两个公共点为A、B,过点尸作。。的切线，点C为切点，连接

AC.若/CPO=50°,则/CAB为°.

【答案】20或70

【解析】

【分析】由切线性质得出/OCP=90。，根据圆周角定理和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求得

ZCAB或NCBA的度数即可解答.

【详解】解：如图1,连接。C,

是。。的切线，

：.OC±PC,即NOCP=90°,

ZCPO=50°,

：.ZPOC=90°-50°=40°,

:OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZPOC=2ZCAB,

：.ZCAB=20°,

如图2,ZCBA=20°,

•・・A8是。。的直径,

ZACB=90°,

：.ZCAB=90°—ZCBA=7。。,

综上，NCA8=20°或70°.

故答案为：20或70

【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两锐

角互余，熟练掌握切线性质和等腰三角形的性质是解答的关键.

16.已知函数y=-5k+l+4与y轴交于点c,顶点为D直线CD交x轴于点E,点尸在直线CD

上，且横坐标为4,现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段所总有公共点.抛物线向上

最多可以平移个单位长度，向下最多可以平移个单位长度.

【答案】0.36②.-

8

【解析】

【分析】求得直线。的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为

一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可

1,1,9

【详解】：函数y=—5/+%+4=—'(x—1)2+万与y轴交于点c,顶点为

9

...点C的坐标为(0,4),点。的坐标为(1,—),

2

设直线CD的解析式为y=kx+b,

必=4

[9，

k+b=—

L2

%=4

L1,

[K=—2

,直线C。解析式为y=；x+4,

当y=0时，gx+4=0,

解得4-8,

・,•点E(-8,0),

当x=4时，y=/x4+4=6,

・•・点厂(4,6),

1

设最多上移〃个单位，此时解析式为y=—5/9+%+4+〃,

19

・•・当x=-8时，y=——x(—8)—8+4+〃=—36+M,

..•抛物线与直线有公共点，

—36+〃WO,

.".n<36,

•••抛物线最多上移36个单位，

f1o.

y=——.V+x+4-m

设向下最多可以平移加个单位，根据题意，得,]2

y=—x+4

,1〃1

••—x2+x+4—m=—x+4,

22

整理，得炉-x+2m=0,

当△=()时，有一个公共点，

(-1)2_8根=0,

解得m=—；

8

故答案为：36；—

8

【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，二次函数的平移，不等式的解法，根的判别式，熟练掌握

二次函数的平移规律，活用根的判别式是解题的关键.

三、解答题(共80分)

17.计算：(1)3ton230°+y/jtan60°—2sin245°；

(2)(2019—%)°—4cos30°++|1一班l.

【答案】⑴3；⑵4-73

【解析】

【分析】(1)根据特殊三角函数值可直接进行求解；

(2)根据特殊三角函数值及二次根式的运算可直接进行求解.

zL、2Z[—\2

【详解】解：(1)原式=3x+y/3x^/3-2x=1+3—1=3；

（2）原式=1—4x券+4+百—1=4—6.

【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键.

18.如图，在7X4方格纸中，点A,B,C都在格点上，用无刻度直尺作图.

图1图2

（1）在图1中的线段AC上找一个点E,使

3

（2）在图2中作一个格点NCDE,使ACDE与AA8C相似.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）连接CF,过点G画C尸的平行线，与AC交于点E即可;

（2）利用相似三角形的性质画出图形即可.

【小问1详解】

解：如图，点£即为所求；

可知：AAEG^AACF,

.AEAG_1

"~AC~~AF~3；

【小问2详解】

如图，ACDE,/\CDE',△COE"即为所求作.

【点睛】本题考查作图,相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

19.体育课上，王老师安排李明、王强、张三、田武四个同学练习传球，每个同学拿到球后随机传给下一个

同学.

（1）若李明第一个拿到球，他将球传给王强的概率为.

（2）若从李明开始传球，则经过两次传球后，球回到李明手上的概率为多少？

【答案】（1）-

3

（2）球回到李明手上的概率为工

3

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合概率公式计算即可；

（2）先画出树状图，共有9种等可能结果，其中球回到李明手上的等可能结果有3种，再根据概率公式计

算即可.

【小问1详解】

解：••・李明第一个拿到球，他将球传给王强、张三、田武三人中的任意一人，有3种等可能结果，其中他

将球传给王强只有1种可能，

，他将球传给王强的概率为工；

3

故答案为：-

3

小问2详解】

解：树状图如图：

李明

第二次李明张三田武李明王强田武李明王强张三

共有9种等可能结果，其中球回到李明手上的等可能结果有3种，

31

球回到李明手上的概率为：一=—.

93

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解本题的关键在正确画出树状图.概率公式：概率等于所

求情况数与总情况数之比.

20.一酒精消毒瓶如图1,AB为喷嘴,△3CD为按压柄，CE为伸缩连杆，班和所为导管，其示意图

如图2,ZDBE=NBEF=108°,=6cm,BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，3D转动到BD',

此时6。〃石F（如图3）.

BAB

（参考数据：sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73,sin72°«0.95,cos72«0.31,tan72°«3.08）

（1）求点。转动到点DC的路径长；

（2）求点。到直线所的距离（结果精确到0.1cm）.

【答案】（1）点。转动到点。C的路径长g〃cm

（2）点D到直线EF的距离约为7.3cm

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质求出ND'5E=180°—N5EF=72°,根据NDBE=108°求出

IDBD^36?,根据弧长公式求出结果即可；

（2）过点。作DGLBD'于点G,过点E作石汗，皮）'于点H,根据三角函数值求出

r>G=BDsin36°«3.54,即=5石7皿72。。3.80,求出。G+EH“7.3,即可求出结果.

【小问1详解】

解：如图，

BD,//EF,ZBEF=108°,

/.ZD'BE=180°-ZBEF=72°,

'：ZDBE=108°,

：.ZDBD'=ZDBE-ZDBE=108°-72°=36°,

又,：BD=6,

，点D转动到点的路径长=—X7rX=一乃(cm)

1805

【小问2详解】

解：如图，

过点。作。G，3。'于点G,过点E作石HL5D'于点"

在RtZkDGC中，sinZDBD'=——，

BD

ADG=BDsin36°«3.54,

EH

在中，sinZEBH=——，

BE

：.EH=BE-sin72°3.80,

DG+EH=3.54+3.80=7.34a7.3.

又•:BU//EF，

点D到直线EF的距离约为7.3cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，平行线的性质，解题的关键是熟练运用三角函数解直角

三角形.

21.如图，在矩形ABCD中，点E为边A3上的一动点（点£不与点A,8重合），连接OE,过点C作

CFLDE,垂足为F.

（1）求证：LADES&FCD；

（2）若AD=6,tan/DCF=』，求AE的长.

3

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

【分析】（1）利用矩形的性质可得出NA=NADC=90。，由CF，。石可得出NCED=90°=ND,利用

等角的余角相等可得出ZAED=ZFDC,进而可证出ADEFCD；

(2)利用相似三角形的性质可得出NADE=NECD,进而可得出tan/ADE=tanZFCD=」，再在

3

Rt^ADE中，通过解直角三角形即可求出AE的长.

【小问1详解】

证明：：四边形A3CD为矩形，

：.ZA=ZADC=90°.

,：CFLDE,

：.ZCFD=90°=ZA.

ZAED+ZADE=90°,ZADE+ZFDC=ZADC=90°,

：.ZAED=/FDC.

...ADE^FCD.

【小问2详解】

解：,:ADEs工FCD,

:.ZADE=NFCD,

tanZADE=tanNFCD=—.

3

在中，ZA=90°,AD=6,

AE=AD-tan/LADE=6x—=2,

3

即AE的长为2.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的

判定和性质是解题的关键.

22.某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果

店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱.设每箱

水果降价x元.

(1)当％=10时，求销售该水果的总利润；

(2)设每天销售该水果的总利润为w元.

①求w与x之间的函数解析式：

②试判断卬能否达到8200元，如果能达到，求出此时尤的值；如果不能达到，求出w的最大值.

【答案】(1)8000元

(2)①w=-4%2+120X+7200②不能达到，最大值是8100元

【解析】

【分析】（1）利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20xf，即

5

可求出结论；

（2）①设每箱应降价x元，则每箱利润为（60-%）元，平均每天可售出（4x+120）箱，利用平均每天销售

该种水果获得的总利润=每箱的利润X平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函

数的性质即可得出结论.

【小问1详解】

解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50（元），

平均每天可售出120+20义］=160（箱）

总利润为：50x160=8000（元）.

【小问2详解】

①设每箱应降价x元，贝U每箱利润为（60-%）元，平均每天可售出120+20x1=（4x+120）箱，依题意

得：w与x之间的函数解析式为

w=（60-x）|120+-x20|=-4x2+120%+7200；

②w不能达到8200元；

川=心+120x+7200=-4（%-IS）?+8100.

V-4<0,

...当x=15时，w取到最大值，卬最大值=8100<8200,

事能达到8200元,w的最大值是8100元.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关

键.

23.定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这

两个三角形为偏等三角形.

（1）如图1,四边形A3CD内接于CO,AD>AB，点C是弧5D的中点，连接AC,试说明ZkACfi

与，ACD是偏等三角形.

（2）如图2,与是偏等三角形，AD=BC,ZBAC^ZABD^30°,BD=8,

AC=12,求AB的长.

（3）如图3,_ABC内接于O。，AC=8,ZA=30°,ZC=45°,若点D在上，且八位）。与

_ABC是偏等三角形，AD>CD,求A£）的值.

【答案】（1）见解析（2）48=迎叵

3

（3）AD的值为8或120-4指

【解析】

【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出N8AC=NZMC,再由公共边AC即可证明

△AC5与,.ACD是偏等三角形；

（2）作。石工A3于E,CblAB于凡根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出£）后和CV的

长，设所=龙，再根据AD=BC和勾股定理列出等式求解即可；

（3）分类讨论：①当BC=GD时和②当A5=CD时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性

质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答.

【小问1详解】

:点C是弧2。的中点，

：.BC=CD,ABAC=ADAC,

又：AC=AC,

•••△ACS与ACD是偏等三角形；

【小问2详解】

作。ESAB于E,CFJ.AB于F,

VZBAC=ZABD=30°,BD=8,AC=12,

：.DE=4,CF=6,

22

AF=712-6=6A/3>BE=M_42=46，

•.•设EF=x,

•'•AE=66—x，BF=4g—x，

,;AD=BC,

42+(66-x)2=62+(4A/3-xf,

•.•X=-1--0--6--,

3

AB=AE+EF+BF=；

3

【小问3详解】

①当5。=口>时，如图，

VBC=CD,ZG4B=30°,

ZZMC=30°,

•••ZABC=1800-ZCAB-ZACB=105°,

：.ZADC=180°-ZABC=180°-105°=75°,

/.ZACD=180°-ADAC-ZADC=180°-30°-75°=75°,

ZADC=ZACD，ZACD>ZDAC,

A£»CD符合题意，

AD=AC=8；

②当AB=CD时，

如图，过点。作OE1AC于点E,

J

E

AB

'：AB=CD,ZACB=45°,