2023学年江浙高中发展共同体高三年级上册10月联考数学试卷及答案

2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考

数学

考生须知：

1.本试卷共4页，22小题。本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸

规定的位置上；

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上

的作答一律无效；

4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B

铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.己知集合"={4<:=4左一1,左€2},N={^x=2k-\,keZ},则（▲）

A-MP|N=0B.MCN=NcMUN=ND-M\JN=Z

2.已知复数z满足近=2+i,贝ljz=（▲）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

3.在（x-l）（x-y）6的展开式中，含//项的系数为（▲）

A.-20B.20C.-15D.15

4.若函数f（x）=alnx+bx有极大值，则（▲）

A.a>0,b>0B.a>01b<QC.a<0,b>0D.a<0,b<0

5.已知向量a,6满足<a,b>=?,\a-2b\=\a+b\,则向量a在向量b上的投影向量为（▲）

O

A.2bB.百bC.gb

2DT

6.记S.为等比数列{a“}的前〃项和，若&=4S3,々2+%=8,贝（J&=（▲）

A.6B.6^3C.6事D.18

7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“亥II”是指时间，《说文解字》中记载：“漏

以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，

如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满

水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮

箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5：3,则当最上层漏水壶水面下

降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（▲）（四舍五入精确到个位）

A.38B.60C.61D.62

高三数学试题第1页（共4页）

8.将函数/（x）=sin皿的图象向右平移或个单位后得到函数y=g（x）的图象，若函数y=/（x）和y=g（x）在

（0,彳）上都恰有两个极值点，则正整数。的最小值为（▲）

A.7B.8C.9D.10

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

9.袋中有3个大小、形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个

球，记取得黑球次数为X；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为匕则（▲）

A.随机变量X的可能取值为0或1

B.随机变量y的可能取值为o或1

C.随机事件｛x=i｝的概率与随机事件｛y=i｝的概率相等

D.随机变量x的数学期望与随机变量y的数学期望相等

10.已知正三棱柱/15C-43C，AB^y/2AAy,D,E分别为棱小Bi,8c的中点，贝U（▲）

A.AD/ICyEB.DE〃面山CiCC.DELAXBXD.•面/CLD

11.已知抛物线C:/=2x的焦点为尸，其准线与x轴的交点为从直线/：x-by+a=Q（6x0）与C

没有公共点，直线m经过点8（a,b）.则（▲）

A.BAAF<~—B.m与C有两个公共点

2

C.以8尸为直径的圆与y轴相离D.血尸小于45°

12.已知/（X）是定义在R上的奇函数，/停）=3,设函数g（x）=（2+cos/x｝/a）,若g（x+l）是偶

函数，则（▲）

Ag（2）=0B.g⑺=2/⑴C.超=5D.与醇）=3

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

13.设圆C:（x-Ip+8-1）2=2,直线/经过原点且按周长将圆C分成1:3两部分，则直线I的方程为▲

14.在中，AC1BC,sin/l=1,以4,C为焦点且经过点3的椭圆离心率记为ei，以8,C为焦

点且经过点/的椭圆离心率记为/，则曳=▲.

15.己知tana=2cos£w0,cos（a-/?）=jsina»贝!|sinp=▲.

16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，

“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、

“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称

不同，则排法种数共有▲.（用数字作答）

高三数学试题第2页（共4页）

四、解答题（本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

17.（本题满分10分）为研究农药4对农作物成长的功效，在甲、乙两块试验田播种同一种农作物，甲试

验田喷洒农药/,乙试验田没有喷洒农药4,经过一段时间后，从甲、乙两块试验田各随机选取100株

幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：

幼苗高度[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]

甲试验田10155520

乙试验田10354510

（1）分别求甲、乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代

表）；

（2）分别统计样本中甲、乙两块试验田幼苗高度小于10cm和不小于10cm的株数，完成下列联表，

并依据小概率a=0.01的独立性检验，分析是否喷洒农药Z与幼苗生长的高度有关联？

高度vlOcm高度NlOcm

喷洒农药Z

没有喷洒农药4

附:

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

%

2

V=----------n(ad-be)----------,^-t+}n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.（本题满分12分）记是数列｛。“｝的前"项和，已知q=1、，%片0,且a.a“+i=4S“+1,neN,.

（1）记儿=。如求数列｛瓦｝的通项公式；

（2）求函.

19.（本题满分12分）在AABC中，角4,8,C所对的边分别为a,b,c,且有siivl=（?一。地段+sinB）+csinC,

2a-b

求：

(1)c；

(2)shP/i+siMj的最大值.

高三数学试题第3页（共4页）

20.(本题满分12分)如图，三棱锥力一BCD中，48_L平面88,E是空间中一点，且相，平面/BC.

(D证明：4E〃平面BCD；

(2)若BD1CD,AB=BD=CD,求平面C4E与平面O/E的夹角的余弦值.

21.(本题满分12分)已知函数f(x)=(x-l)eX+alnx(e为自然对数的底).

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线与曲线^=H相切，求公

(2)Vxe(l,+oo),/(x)>0,求a的取值范围.

22.(本题满分12分)已知双曲线C:4-二=1(。>0,6>0)的离心率为至，右顶点/到C的一条

a2b22

渐近线的距离为萼.

(1)求C的方程；

(2)D,E是y轴上两点，以DE为直径的圆“过点3.(-3,0),若直线04与C的另一个交点为尸，直

线以与C的另一个交点为0,试判断直线尸0与圆M的位置关系，并说明理由.

高三数学试题第4页(共4页)

2023学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级10月联考

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合〃={x|x=44-l,AeZ},N={x|x=2A-1,AeZ},则

A.M[\N=0B.MDN=N

C.M\JN=ND.M\JN=Z

【答案】C

2.已知复数二满足亡=2+i,则z=

A.1—2iB.14-2iC.2—iD.2+i

【答案】B

3.在(x-0(x-y)6的展开式中，含项的系数为

A.-20B.20C.-15D.15

【答案】A

4,若函数/(x)=alnx+fcv有极大值，则

A.a>0,b>0Ba>0,b<0

C.a<0,b>0D,a<0,b<0

【答案】B

5.已知向量。，b满足〈a,b>=5，\a-2b\=\a+b\,则向量〃在向量b上的投影向量为

6

A.2bB.6bC.4D.&b

22

【答案】C

【解析】因为|。一26|=|0+6],所以6=2ab=2|a|­|i|xcos=

?I%

S匹--

所以制=6日，所以向量”在向量6上的投影向量为R67=2故选C.

^

-

6.记S“为等比数列{a,,}的前"项和，若S6=4S3，%+&=8,则为=

A.6B6^3C.6V9D.18

【答案】D

第1页

【解析】设公比为q,则（l+/）S3=4S3,显然S3HO,所以，=3,

因为%+%=（I+/）=4%=8，所以g=2，所以%=的口，=2x9=18.

7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器一一漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载:

“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时

器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的

浮箭刻度为0,当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为

5：3,则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）

A.38B.60C.61D62

【答案】D

【解析】由题意，最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为5°,

3a,高为h,则体积为

V=；n-（5a）2+n-（3a）2+-\n-（5a）2'n-（3a）2-h=^-7ta~h,

当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为x,因为已漏水体积

匕=4n•（5。＞+乃•（4”），+〃•（5a）'•n.（4a）?±4h

326，

612.

--7tan

所以，佳-----=工X=~100=62

—49TMea2n为100,98

3

8.将函数/（x）=sin©x的图象向右平移个个单位后得到函数昨g（x）的图象，若函数y=/（x）和蚱g（x）在

（0,点）上都恰有两个极值点，则正整数。的最小值为

A.7B,8C.9D.10

【答案】B

【解法I】当xe（0总时，oxe（0,啕，因为曲线y=/（x）在（0,£|上恰有两个极值点,

第2页

所以红<也4红，解得6<o410.

242

当0=7时，g（x）=sin（7x-芝因为同0,2所以7x-号e（-号，-患），在卜与「笥内只有一

个极值点-争，不合；

当0=8时，g（x）=sin（8x-叫，因为xe（0号），所以8x-等（-号，-芝|,在（-号，-普）内有两个

极值点：-等，-乎，满足题意.所以选B.

【解法2】当xe（0,£|时，即（0,詈），因为曲线y=/（x）在（0,£|上恰有两个极值点，

所以冬<隼4杂，解得6<04io.①

242

由题意,g（x）=sin"-用，当xw（0号）时,3-等e（-詈,谭），

由①知，-修e[-浮-升又函数y=g（x）在（0,£）上恰有两个极值点，

所以-与4-詈<-等，解得与<04日.②

由①和②得，0的取值范围是&J。].选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.袋中有3个大小、形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个

球，记取得黑球次数为X;从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为匕则

A.随机变量X的可能取值为0或I

B.随机变量y的可能取值为0或I

C.随机事件｛X=1｝的概率与随机事件卜=1｝的概率相等

D随机变量x的数学期望与随机变量y的数学期望相等

【答案】AD

10.已知正三棱柱48C-48|G，AB=gAA1,D,£分别为棱小8，BC的中点，则

A.ADI/CiEB.DE//^AA\C\C

C.DE14B1D.48_1,面/。。

【答案】BD

第3页

【解析】对于A,显然4。与C£异面，故A错误；

对于B,取BQ中点凡连结。F,EF,易证面。£77/面44iGC,所以〃面44CC,故B正确;

对于C,假设。£148|,则QE垂直平分48”设441=五，则/8=2,易算

得4E=B，B、E=后,因为这与。E垂直平分4B|矛盾，故C

错误：

对于D,可证山〜所以又GOJ.面44山山，所以

CyDLA.B,所以48_1面4。。，故D正确.

综上，本题选BD.

11.已知抛物线C:/=2x的焦点为F,其准线与x轴的交点为4直线/：x-by+a=O(6工0)与C没

有公共点，直线m经过点8。力).则

A.S4-7?<B股与C有两个公共点

2

C,以8F为直径的圆与y轴相离DN8Z尸小于45°

【答案】ACD

【解析】联立直线、-勿+。=0与抛物线C方程，消去x得,

y2-2by+2a=0,因为直线x-如+。=0与C没有公开点，所以

A=4(62-2a)<0,所以〃<2a,故点8位于抛物线C内部.

对于A,因为4-；,0),鸣，0)，且30,所以瓦万=(-；-a,-b)(l,0)=q-a<-；，故A正确;

对于B,当直线m平行于x轴时，小与C有唯一公共点；当直线/与x轴不平行时，/与C有两个公共点,

故B错误：

对于C,延长在8交C于点Q,则以。尸为直径的圆A/与y轴相切，因为以5尸为直径的圆N与圆M内切,

切点为凡且圆N半径较小，所以圆N与y轴相离，故C正确；

对于D,过点/与。相切的切线斜率为1,倾斜角为45。，又点8是位于C内部的一点，所以N84F小于

45°,故D正确.综上，

本题选ACD.

12.已知/(x)是定义在R上的奇函数，设函数g(x)=(2+cos(^x))•/(、)，若g(x+l)是偶函

第4页

数，则

20

A.g⑵=0B-g（7）=2/（l）45D.3

【答案】AC

【解析】因为/(x)是R上的奇函数，所以/(0)=0,且g(x)也是R上的奇函数,

因为g(x+l)是偶函数，所以g(2-x)=g(x),所以g(x)是以4为周期的周期函数.

兀

因为歹=2+cos周期为4,所以也是以4为周期的周期函数.

对■于A,因为8（4-*）=8（-*）=-8*）,令x=2得g⑵=0,故A正确:

对于B,g（7）=（COS停）+2）./⑺=2/（-1）=-2/⑴，故B错误:

时于C,g|喏+2)/吟,=5,故C1E确:

32+cos竽

对于D,因为g（4-x）=g（-x）=-g（x）,g（4）=g（2）=g（0）=0,故/⑷="2）=0：

所以之/售）=《升/（升/⑵+/（|）+借）+/（4）=0,

k=]

2Q

所以E/修）=3X0+/用+/（岁=/停）+/（扑8，故D错误.

k=]

综上，本题选AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应

住罩上。

13.设阿C:(x-1尸+3-I)?=2,直线/经过原点且按周长将圆。分成1:3两部分，则直线/的方程为

【答案】x=0,或j=0

14.在△/8C中，ACLBC,sinJ1,以/,C为焦点且经过点8的椭网离心率记为白，以B,。为焦

第5页

点且经过点A的椭质I离心率记为ez，则曳=__________.

e2

【答案】I

2

【解析】设8c=3,AC=4,AB=5,则e1=

AB+BC5+32

e,=BC=二-=1,所以曳=3

2

AB+AC5+43e22

15.已知tana=2cos/?工0,cos（a-/?）=ysincr,WiJsinP=.

【答案】J

o

【解析】因为tana=2cos夕工0,所以cosacosQ=£sina,

又cos（nr-/?）=cos6rcos/?+sinasin夕="sina,所以gsina+sinasinp=ysina,

因为sinah0,所以sin/=J.

6

16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,

“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现6个不同的吉祥物，其中“琮琮”、

“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称

不同，则排法种数共有.（用数字作答）

【答案】336

【解析】分两种情形：

①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中•种两个,

另一种一个，有C；•用-C：=24种排法：其次，后排有省=2种排法，故共有48种不同的排法：

②前排含有三种不同名称的吉祥物，有C；V；V；=288种排法.

因此,共有336种排法.

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。

17.（10分）为研究农药工对农作物成长的功效，在甲、乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒

农药4乙试验田没有喷洒农药/,经过一段时间后，从甲、乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计

200株幼苗高度（单位:cm）如下表:

幼苗高度[6.8)[8.10)[10」2)[12.14]

甲试验田10155520

第6页

乙试验田10354510

(1)分别求甲、乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)；

(2)分别统计样本中甲、乙两块试验田幼苗高度小于10cm和不小于10cm的株数，完成下列联表，并

依据小概率a=0.01的独立性检验，分析是否喷洒农药/与幼苗生长的高度有关联？

高度＜10cm高度210cm

喷洒农药/

没有喷洒农药H

附：

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

"‘3，其中〃=a+6+c+d

解析：(1)样本平均数为：x(IOX7+15X9♦55«11+2fiX13)=107.

分

^^x(10x7n5x9+45xlUI0xl3)=l014

所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为10.7cm；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1

cm.••••••••

(2)列联表为：

高度<10cm高度210cm合计

喷洒农药2575100

没有喷洒农药4555100

合计70130200

........8分

零假设为

Ho：喷洒农药4与幼苗生长的高度无关联.

根据列联表中数据，可得

200x(75x45-55x45^

-—*879]>6635=x,

130x70x50x5091

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为喷洒农药力与幼苗生长的高度有关

联，此推断犯错的概率不大于0.01.,10分

18.(12分)记S“是数列｛%｝的前〃项和，己知q=l,a,,*0,且a”。”[=4S“+1,neN,

第7页

(1)记b“=G〃，求数列｛6"｝的通项公式:

(2)求Sao.

解析：因为a,,a,用=4S〃+1,①

所以4+4+2=4S“+I+1，②

②一①得，。“+1(%+2-4)=4册+1，

因为%工0,所以%+2-%=4,

所以数列｛%｝的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，……4分

(1)令〃=1代入4,4+1=4S〃+1,得aQ=4S1+l,由s=S=l,得G=5,

所以仇=。2=5,4廿】一儿=々2〃+2一。2〃=4，

所以数列｛瓦｝是公差为4,首项为5的等差数列，其通项公式为

b〃=4〃+l....8分

(2)当，为奇数时，an=2n-\,当〃为偶数时，%=2〃+1,

所以

§20=(。|+。3+…+。19)+(。2+。3+…+。20)

=(1+5+…+37)+(5+9+…+41)

=190+230

=420...12分

19.在4台。中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且有加必二①一力⑸1VL+sin8)+csinC,求

2a-b

(DC：

(2)sin2力+sin2B的最大值.

.’(a-iXsinJ+sinB)+csinC

解：(1)因为sin/1—

2a-b

(a-坎丁+协+弁

所以a=--------------»..........2分

2a-b

化简得标+今一

1c^+b2-^1

所以cosC=--------=-..........4分

lab2

又因为0<C<7T,

所以...........6分

(2)法一:siMZ+sms喏

22

第8页

=1—^(cos2J+cos2B)

=1_/os2J+cos(——2A)]

=1-44os2J-^sin27i)

222

=1+^sin(2^—另............9分

26

由(1)可知，OV/lv",所以一匹V24一匹V包，

3666

所以sin2?l+sins2B=1+^sin(L4-当4=匹时，sin2?l+sin2B=",

26232

所以siM/+sins28的最大值为3........................12分

2

法二:由余弦定理得：sin2/l+sins2B—sin4sinsB=-,.......................9分

4

由基本不等式得：sin2/f+sins2B—^(sin^+sins25)^-,当且仅当sin/l=sins8,等号成立，

24

所以sin2/l+sins28w3,所以sir^/f+sin/B的最大值为.............12分

22

20.(12分)如图，三棱锥4一8。£>中，Z8J•平面BC。，E是空间中一点，且ZEJL平面/8C

(1)证明：ZE〃平面88：

(2)若BQ1CO,AB=BD=CD,求平面C4E与平面D4E的夹角的余弦值.

(1)证明：过。点作£>FJ_5C,垂足为凡……2分

因为■面BCD,DFu面BCD,所以48J.CF,

因为/8,8Cu面XBC,ABC\BC=B,

所以。面4BC,

因为4£_1面/次?，所以力£〃。尸，...4分

因为OFu面BCO,4E<z面BCD,

所以/£〃面BCD,6分

(2)解：设28=80=0=2,以8为坐标原点,

则4(0,0,2),5(0,0,0),0(0,2,0),C(2,2,0),F(l,l,0),

又餐=(2,2,-2),石=(0,2,-2),3(-1,1,0),

由(1)设万=/1丽=(-/M,0),4x0,8分

设平面CAE的一个法向量加=(x,y,二),

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》喜"翻日窗或r

令x=l,则夕=1,二=2,所以”，=(l」,2),

同理可求得平面。力£的一个法向量7=。，1),.....10分

设平面CAE与平面DAE的夹角为a,

所平面C4E与平面。/£的夹角的余弦值为之"....12分

21.(12分)已知函数/(x)=(x—l)e'+alnx.(e为自然对数的底)

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线与曲线^=^也相切，求a；

⑵VxW(l,+>),/(A)>0,求。的取值范围.

解析：(1)因为/⑴=0,贯物B蹴1噂固，所以/'⑴=e+a,

所以曲线y=f(x)在x=1处的切线I的方程为y=(e+〃卜一(e+〃).••••2分

设直线/与与曲线y=e”切于点(x0,e'>)

T