中点弦问题（学生版）-【高考总复习】2022高考数学满分突破之解析几何篇

专题02中点弦问题（设而不求与点差法）

【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：

22

』3乂-11

x2V2Tr+vr-

第一步：若/（国,必）,8（》2，必）是椭圆.+彳=1（。〉b〉0）上不重合的两点，则<

a'b'22

丄+互=1

/h2

第二步：两式相减得（石+々），「热）+（必+，2）?「及）二0,

ah

第三步：上及是直线的斜率左，（土玉，乂±22）是线段A5的中点（%,%）,化简可得

Xj-x222

匕士匹•"二”=-4=为確=-与，此种方法为点差法。

%1+x2%]—x2a'x0a~

特别樨醒：

x2V2

若45是椭圆与+J=l（a〉b>0）上不垂直于X轴的两点，尸是N8的中点，。为椭圆的中心，则直

a2b2

t2

线AB与OP的斜率之积为定值

a

【考点精选例题精析】：

X2v2

例1.已知双曲线彳=1（。>01>0）,尸（5,0）为该双曲线的右焦点，过口的直线交该双曲线于4,8

a'b'

两点，且Z8的中点M（-竺，一与），则该双曲线的方程为.

例2.已知抛物线=4x的一条弦恰好以P（l,l）为中点，则弦力8所在直线的方程是（）

A.y=x-lB.y=2x—lC.y=—x+2D.y=-2x+3

~r—^=1（4>6>0）.

例3.己知椭圆。6，点下为左焦点，点尸为下顶点，平行于尸尸的直线/交椭圆于48D两

点，且的中点为I2丿，则椭圆的离心率为

V2,1>/3

A.2B.2C.4D.2

—+2i=i（o<Z）<2）

例4.已知椭圆4b~的左右焦点分别为耳心，过左焦点”作斜率为2的直线与椭圆交于

48两点，的中点是P,°为坐标原点，若直线°P的斜率为一工，则6的值是

3

A.2B./C.2D.加

例5.椭圆〃/+办；=1与直线y=l-2x交于A、8两点，过原点与线段中点的直线的斜率为④，则］

的值为

72.

A.4B.6C.20D.

\[a>V2j

7十万

例6.已知椭圆的左、右焦点分别为耳巴，过左焦点耳作斜率为一2的直线与椭圆交

丄

于A,B两点，P是AB的中点，0为坐标原点，若直线OP的斜率为则。的值是

x2y21，/八、yl5

~r—=l(a〉6〉0)e=—,

2A

例7.己知椭圆。b的一个顶点为8(0,4),离心率5,直线/交椭圆于M，N两点，如

果&BMN的重心恰好为椭圆的右焦点尸，直线/方程为

E=l(a>b>0)八“D

例8.已知为椭圆'+

b-的右焦点，过点尸的直线/与椭圆C交于48两点，P

24

为的中点，。为坐标原点.若是以。尸为底边的等腰三角形，且△°尸尸外接圆的面积为行，则椭

圆C的长轴长为.

例9.如图，椭圆//的离心率为2，点用(一2，1丿是椭圆内一点，过点加作两条斜率

存在且互相垂直的动直线44,设4与椭圆C相交于点48,4与椭圆C相交于点2E.当点M恰好为线

段的中点H寸，恒回=m.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求而•丽的最小值.

例10.已知椭圆05+11的左、右焦点分别为片，入，点在椭圆c上.

(1)若线段MN的中点坐标为IM3)丿，求直线的斜率；

(2)若“，N,。三点共线，直线咐与椭圆C交于MP两点，求APMN面积的最大值,

cC:二十^7=1(〃>b>0)—

例H.在平面直角坐标系X。中，已知椭圆。b2的离心率为2,为椭圆的一条弦

(不经过原点)，直线、=丘小>°)经过弦/8的中点，与椭圆C交于P、。两点，设直线48的斜率为仁

(2)求证：尢“为定值；

(3)过户作x轴的垂线，垂足为A,若直线和直线2R倾斜角互补，且APOA的面积为26，求椭圆C

的方程.

—Hy=1

例12.己知直线乙N=x+"与椭圆C：3交于A,8两点.

(1)若直线/过椭圆c的左焦点耳，求幀用；

八停°)

(2)线段的垂直平分线与x轴交于点12丿，求切.

【达标检测】：

A组基础巩固

1.（2013年新课标全国卷110）已知椭圆G:=+£=1（。>力〉0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭

ab

圆于48两点.若N8的中点坐标为（1,—1）,则E的方程为（）

22222222

„XV

A.丄+匕=1B.二+匕=1C.-X------+1--V-------11D.——+厶1

453636272718189

2.（2010年新课标全国卷12）己知双曲线E的中心为原点，尸（3,0）是E的焦点，过/的直线/与E相交于

48两点，且Z8的中点为N（-12,-15）,则E的方程为（）

----+------1

3.已知椭圆369以及椭圆内一点P（4,2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）

丄丄

A.-2B.2c.-2D.2

—+=1（a>6>0）——

4.已知椭圆的方程为。2b2丿，斜率为3的直线/与椭圆相交于"，8两点，且线段"8的

中点为M（l,2）,则该椭圆的离心率为（）

丄变正1

A.3B.5c.3D.2

5.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为尸口36）,直线4x+3y-13=°与其相交于知、N两点，MN中点

的横坐标为1,则此椭圆的方程是

22

3=1-%------J-1--------1

B.325D.369

6.如果椭圆记+豆-1的弦被点（42）平分，则这条弦所在的直线方程是

A.x-2y=0Bx+2y-4=0c2x+3y-12=0px+2y-8=0

x2y2旦

/+戸=l（a＞。＞0）

7.已知椭圆C：的离心率为2,直线/与椭圆C交于48两点，且线段的

中点为加（一2，1）,则直线/的斜率为（）

121

A.3B.3C.2D.1

--------1--=-----1--

8.椭圆369的一条弦被点（4,2）平分,则此弦所在的直线方程是

Ax-2y=0Bx+2y=4C2x+3y=14口x+2y=8

X2V2

——7=l（^r>b>0）rr

9.过椭圆C：a-b右焦点厂的直线/：x-y-'3=0交c于/、8两点，p为48的中

丄

点，且。尸的斜率为2，则椭圆C的方程为（）

"-12211

丄+丄=1--------1---------=1-----1-----=1

A.63B.75C.84D.96

C-.—+P

10.已知椭圆43过点的直线交椭圆C于A、B两点,若P为Z8的中点，则直线

的方程为（）

A3x—2y—2=0B3x+2y-4=0

C3x+4y-5=0D3x-4j/-l=0

x2,2

—+匕=1

11.已知点（2J）是直线/被椭圆124所截得的线段的中点，则直线/的方程是（）

A2x+3y-7=0B2x-3j^-l=0

C4x+3y-ll=0D4x-3y-5=0

x2y2_

—i-1

12.已知点P（l,2）是直线/被椭圆48所截得的线段的中点，则直线/的方程是

13.已知斜率为左的直线/与椭圆牙=交于A,3两点.线段的中点为“（1，机）（机>°）.

,1

k<—

（1）证明：2.

（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点，且可+方+而=0.证明：2|尸「卜归川+|/利.

14.已知椭圆b2-"ab°）的右焦点为F（£0）,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的

弦长为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设A,B为椭圆C上的两动点，M为线段AB的中点，直线AB,OM（O为坐标原点）的斜率都存

在且分别记为k1,k2,试问k|k2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

15.设椭圆E：/+戸一"“>">°）的左、右焦点分别为耳，玛，过耳的直线交椭圆于'，8两点，若椭圆

丄

E的离心率为5,厶,8居的周长为16.

（I）求椭圆E的方程；

（II）设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆E于点C0,设弦的中点分别为M，N.证

明：O,A/,N三点共线.

K+片=]

16.已知椭圆//的长轴长为4,且短轴长是长轴长的一半.

（1）求椭圆的方程;

⑵经过点前用作直线,，交椭圆于4B两点.如果…合好是线段"的中点，求直线’的方程.

c——7—T=1（。>6>0）------

17.在平面直角坐标系xS7中，已知椭圆°：«b2的离心率为3,直线/和椭圆C交于

IAB\=-

A,8两点，当直线/过椭圆C的焦点，且与X轴垂直时，3.

（1）求椭圆c的方程；

（2）是否存在与x轴不垂直的直线/,使弦43的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线/的方

程；若不存在，请说明理由.

18.已知椭圆C：,离心率是2.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若直线/与椭圆C交于A,B两点，线段的中点为122丿.求直线/与坐标轴围成的三角形的面

积.

B组能力提升

22

一"+J"=1(々>°>°)/7(1A\—

19.已知椭圆一。〃的右焦点为广U'U丿，且离心率为2,三角形48c的三个顶点都在椭

圆,,上，设它的三条边相、8C、4c的中点分别为。、自历，且三条边所在直线的斜率分别为勺右小,

111

—।----1—=

且句上2、质均不为00为坐标原点，若直线8、0石、。”的斜率之和为1.则占与43()

4183

A.3B.-3C.13D.2

2

X/

20.已知椭圆/+戸的右焦点和上顶点分别为点尸(G°)('>c)和点A,直线

/:6x-5k28=0交椭圆于P,。两点，若尸恰好为的重心，则椭圆的离心率为()

V2y/3

A.TB.T

亚275

C.5D.5

,y2

21.已知直线/：京一尸2左+]=0与椭圆G./+戸-l(4>/>>0)交于/、8两点，与圆G：(x-2)2+(y_l)J]

交于C、。两点.若存在使得祝=丽，则椭圆G的离心率的取值范围是

_(J•___|_2__]V

22.已知斜率为3的直线/与椭圆”64一交于B两点,线段N8中点M纵坐标为2，点