上海市崇明区2024届高三一模数学试题（含答案解析）

上海市崇明区2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.不等式卜-2|<1的解集为.

2

2.双曲线V-21=1的焦距为

4

3.若复数z=/_4+（加+2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数机的值为

4.已知等比数列｛%｝首项q=l,公比4=2,则$5=.

5.+的展开式中/的系数为.（用数字作答）

6.已知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

7.在空间直角坐标系中，点尸2,3）至心何平面的距离为.

8.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得分.

03578

1012004

9.已知事件A与事件5相互独立,如果尸（/）=0.4，尸（3）=0.7,则P（AHB）=.

10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品.如图，是某品牌的易拉罐

包装的饮料.在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就

是易拉罐本身的质量最小.某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证.为了建立

数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭

的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同.

你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填

写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横

线.

11.已知不平行的两个向量£是满足同=1,黑3=百.若对任意的teR,都有忸一回22

试卷第1页，共4页

成立，则w的最小值等于.

22

12.已知正实数。,6,c,d满足/一必+1=0,c+d=l,则当（a-c）2+S-d）2取得最小值

时，ab=.

二、单选题

13.已知集合4={止2WxW3},B={x|x〉O},则（）

A.[-2,3]B.[0,3]C.（0,+。）D.[—2,+s）

14.若%>y>0,则下列不等式正确的是（）

A.同<|歹|B.x2<y2C.-<—D.历

xy2

15.已知点M为正方体Z5CD-4用GA内部（不包含表面）的一点.给出下列两个命

题:

心：过点初有且只有一个平面与和4G都平行;

%：过点河至少可以作两条直线与和B©所在的直线都相交.

则以下说法正确的是（）

A.命题心是真命题，命题%是假命题B.命题/是假命题，命题的是真命题

C.命题名,%都是真命题D.命题名,6都是假命题

16.若存在实数对任意实数尤e[0,1],使得不等式x'-zn〈办+6W/+加恒成立,

则实数机的取值范围是（）

三、解答题

17.如图，四棱锥尸一/BCD中，PAl^ABCD,ABIICD,PA=AB=AD=2,CD=1,

ZADC^90°,E,尸分别为尸8,48的中点.

试卷第2页，共4页

p

⑴求证：CE〃平面尸ND；

⑵求点B到平面PCF的距离.

18.在“5。中，内角4、B、。所对边的长分别为q、b、c,Q=5,b=6.

4

⑴若cos3=-《，求/和搂BC外接圆半径&的值；

⑵若三角形的面积以=苧，求C.

19.交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代

实际行程时间

表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为:并按TPI的大小将

畅通行程时间

城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级:

TPI[1,1.5)[1,5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如

下图:

”_________2.393_______________

[^呀.......

「。‘嘉20奸225冷气标丁^

1_______________L3泣:三落二"1.271______________

0.5-----------------------------------------------------------------------------

“12月29日'12月301力2月月月1日‘1月2H'1月3日T月4日'

••♦••2023年—2022年

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为

“拥堵”的概率；

(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022

年同日TPI高的天数记为X,求所有X的可能值及其发生的概率.

2

20.己知抛物线口：/=4》，r2:y=2x,直线/交抛物线口于点A、D,交抛物线门于

试卷第3页，共4页

点3、C,其中点A、B位于第一象限.

⑴若点A到抛物线口焦点的距离为2,求点A的坐标；

(2)若点A的坐标为(4,4),且线段/C的中点在x轴上，求原点。到直线/的距离；

⑶若刀=2丽，求△/OD与ASOC的面积之比.

21.已知/(x)=s+sinx(加eR,加。0).

(1)若函数v=〃x)是实数集R上的严格增函数，求实数%的取值范围；

⑵已知数列｛%｝是等差数列(公差d/0),b,=f(a“).是否存在数列｛。“｝使得数列的｝是

等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列&｝,并证明此时的数列回｝是等差数

列；若不存在，请说明理由；

(3)若加=1,是否存在直线y=h+b满足：①对任意的xeR都有/(x)WAx+6成立，

②存在x°eR使得/(%)=履。+5?若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说

明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.(1,3)

【分析】利用绝对值不等式的解法求解.

【详解】由卜一2]<1得—1<x—2<1,解得1cx<3,

故不等式的解集为(1,3).

故答案为:(1,3).

2.2亚

【分析】根据C?之间的关系即可求出.

【详解】由已知力=1,〃=4,所以02=5,所以焦距为2若，故答案为

【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题.

3.2

【分析】由复数的概念列方程组求解即可.

f—4=0

【详解】由于复数z=*_4+(加+2)i(i为虚数单位)是纯虚数，所以.二,

[冽+2w0

解得a=2,

故答案为：2.

4.31

【分析】按照等比数列前〃项和公式计算即可.

]-"

【详解】S“=4—a=2"7,

1-4

故岂=32-1=31,

故答案为：31.

5.10

【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.

【详解】由[+35的展开式的通项公式为=，上=0,1,…,5,

令5—34=2,得k=1,

所以展开式中X?的系数为C；x21=10.

答案第1页，共13页

故答案为：10.

6.V2

【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐

角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线.

【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,

因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，

所以底面圆半径为1,所以母线长等于=

故答案为：41-

1.3

［分析］根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案.

【详解】在空间直角坐标系中，点尸(1,-2,3)至iJxOy平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3.

故答案为：3

8.9

【分析】根据平均数的求法求得平均数.

3+5+7+8+10+11+12+10+10+14

【详解】平均数为=9.

10

故答案为：9

9.0.42/—

50

【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案

【详解】由事件A与事件B相互独立，则事件)与事件3相互独立,

又尸(/)=0.4,尸⑻=0.7,

贝l|P(AcB)=P(2)P(B)=(1一P(A))P网=(1一0.4)x0.7=0.42

故答案为：0.42.

10.假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材

质厚

【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，

即可求解.

【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总

希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，

答案第2页，共13页

所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；

假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.

故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐

体的材质厚.

11.不

【分析】先由数量积的定义推得加上6,再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而

得解.

【详解】依题意，设3与3的夹角为e（ovevTr）,忖=加（加>0）,

因为卜|=1,a-b=s5,所以WWcos6=e,即/cose=G，

则COS。=,所以机2G，

m

因为对任意的feR,都有R-回上2成立，

所以e-酒"，即片一2启力+，/24，即--2每+那一420对于feR恒成立，

故A=（26）-4（"--4）<0,又m>0,解得m>V7,

综上，m>y/l,则W的最小值为五.

故答案为：近.

12.——+1

2

【分析】将（"C）2+（6V）2转化为（。㈤与（c,d）两点间距离的平方，进而转化为（。/）与圆

心（0,0）的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.

【详解】可将（"4+（6-打转化为6）与（c,d）两点间距离的平方，

由—ub+1=0,得b=u,

a

而,2+/=1表示以（0,0）为圆心，1为半径的圆，（c,d）为圆上一点，

则（见6）与圆心（0,0）的距离为:

,/+必=>+[〃+[=j2/+二+22卜,2/£+2=J2&+2,

答案第3页，共13页

当且仅当2/=）,即a=±《；时等号成立,

此时（。涉）与圆心（0,0）的距离最小，即（。/）与（c,d）两点间距离的平方最小,

即（a-c）2+（b-d）2取得最小值.

当口时，ab=a~+\=-^-+1,

V22

故答案为：]@+1.

2

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆C?+屋=1上的点到，=“+1上

a

的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.

13.D

【分析】利用并集的定义可求得集合/uB.

【详解】因为集合/=同-24三3},B={x\x>0],因此，AuB=[-2,+^,

故选：D.

14.C

【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.

【详解】对A,若x=2,y=l,则x>y>0,但|x|>W，A错误；

对B,若x=2,y=l,贝l]x>y>0,但—>/，B错误

对D,若x=2,y=l,贝—=-^jxy=y[2,D错误；

对C,结合反比例函数>=工知其在（0,+⑹单调递减，贝有C正确.

%xy

故选：C

15.A

【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.

【详解】已知点”为正方体/BCD-//。。内（不包含表面）的一点，过点M的平面为g，

如图所示：

答案第4页，共13页

对于%,在平面44QQ与平面BBQC之间与平面//自。与平面平行的平面均与44

和4G平行，如平面a

,当点必为正方体NBC。-//。。内(不包含表面)的一点，满足要求的平面有且只有一

个，故命题心是真命题；

对于%,44"/平面8州斗7,所以如果初点在面胡CC上时，

过M的直线如果跟3c相交，则与/其异面，不会相交，所以命题%是假命题.

故选：A.

16.A

【分析】不等式/-俏Vax+6Vd+机等价于H+G+噌加，原命题等价于存在实数a,

b,对任意实数xe[O,l]不等式H+ax+电加恒成立，等价于存在实数a,b,不等式

3

\-x+ax+b\4用成立，分别讨论aVO,0<a<l,l<a<3,aN3的情况，先求出

IImax

|-x3+ax+b\,再求出0-x3+ax+4)即可解决问题.

IImax\lImax17m

【详解】不等式x，—俏Vox+6Vx3+机等价于一机<-x3+ax+b<m即卜x，+ax+b^<m,

原命题等价于存在实数。，b,对任意实数xe[0,l]不等式卜/+办+半加恒成立，

等价于存在实数4，b,不等式卜Y+ax+W4加成立，

IImax

记/(%)=-x3+,贝！Jf\x)=—3x2+a,

(1)当时，对任意X£[0J],/'(x)K0恒成立，即/(x)在[0J上单调递减

a+b-l<f(x)<b

①当a+6-l+620,即62一时，|/(x)|max=b,

答案第5页，共13页

②当。+6-l+b<0,即6〈一时，|/(x)L=-叱b+l,

入、1-Q

b

从而当aWO时，gS)=

—a—6+11—u

力<丁

则g(6)在(-巩一)上单调递减，在一1—a，+8)上单调递增,

2

LLr、tZTx1—Q、l—ClI

所以gS)3=Z~；

(2)当0v"3时，令"幻=0,解得x=a

/⑴在区间0,，三上单调递增，在上a单调递减,

3

2a\aj71

〃0)="f二三+6,/(l)=a+b-\,

①当0<aWl时a+6-lWb,此时a+6—14/(幻〈彳/1+6,

a)当4+6—1+即2a/@+6<0即b<,一』〃一巴£时，l/a)L=—”"I，

33223

夕)当〃+b—1+网即62，—LQ—@2a

3V32235时，I/WL3V3

1aa

-2a-b+Sh—a---J—

L223丫3

从而当0<aV1时，g(6)=<2a

Vb,b>^~1aa

3—a----

223

11a11aa

则g(b)在区间—oo,----------a----上单调递减,在区间万一3”5b+8|上单调递增,

223I"I

一、

1aa1aaa

—a——4—

所以gS)min=g1-2~277

26V37

令;他,贝1g(b)1313

mm记k(t)

32222

则。")=3/—3%)=3，Q—1),

当O,jg时，"⑺<0恒成立,

即〃⑺在区间卜上单调递减,r

即付焉=〃

9

答案第6页，共13页

即g("nin2%；

②当l<a<3时a+6-l>b,止匕时6Vf(x)<^-^+b,

a)当6+2,巴+6<0即6<—q号时,l/(x)L="，

33

£)当6+2/巴+620即加，lob2aa

~+b，

33T

,aa

-b,b<——

3

从而当1<〃<3时，g(b)=<2ag+b

aa

T3

力、3

aa

则g(b)在区间Ui上单调递减，在区间$+8)上单调递增,

3

c

所以gS)nun=g-1

(3)当“23时，对任意X£[O,1],/'(x)20恒成立，即/(x)在[0,1]上单调递增,

b</(x)<a+b-l

①当Q+b-1+Z)20,即621时，S(X)lmax="+"—1，

②当a+6-l+b<0,即6〈一时，|/(x)1n1ax=-6,

\2a+b-S,b-^~

从而当ta23时t，g(6)={，

-b,1-a

,6十

则g(6)在(-%。)上单调递减，在+s)上单调递增,

1——1

所以g(6)mm=g(三a)=a三与；

综上所述，g(b)min=W-

所以加2.

9

故选:A

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数了=/(x),xe[a,可，y=g(x),x^[c,d]

⑴若修€[刊,网€上同，总有/'(xJvgG)成立,故/(石)皿＜g®)1nfa；

答案第7页，共13页

(2)若3x2e[c,d],有/(xj<g(%)成立，故〃再)111axeg(z)111ax；

(3)若玉3X2e[c,c?],有/(占)<8(尤2)成立，故/(%)二<8&)二;

(4)若5e[a,6],3x2e[c,d],有/㈤=g(/)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

17.(1)证明见解析

Q)巫

5

【分析】（1）设G是PN的中点，连接GE,DG,证明四边形CDGE是平行四边形，可得

CEHDG,再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）先证明CFLPF,再利用等体积法求解即可.

【详解】（1）证明：取尸N中点G,连接GE、GD,

由于£是尸3的中点，则GE//4B,GE=\AB,

2

由于CD〃N3,CD=-AB=\,所以GE//CD,GE=CD,

2

所以四边形CAGE是平行四边形，所以CE〃GD,

由于上，JDGu平面P/。，

所以CE〃平面尸4D.

（2）设点3到平面尸CF的距离为〃，

因为P/_L平面/BCD,CFu平面/BCD,所以尸/_LCb,

由于CD〃//，CD=AF,所以四边形/DC厂是平行四边形，

由于//DC=90。，所以CFJ/8,

由于48cp/=/，/民尸/u平面尸,

所以CF_L平面尸48,

又打'u平面PN5,所以B_L尸尸，

在RtZ\P4F中，PF=正+Y=也，所以S△跳c,尸尸=石，又

S^BCF=\CF-BF=1.

由Vp-BCF=^B-PCF得;

BCF•PCF,k?

即〃=S，BCF,P4=毕=巫,

S△尸c尸书5

答案第8页，共13页

所以/?=捶，即点3到平面尸CF的距离为拽.

(2)。=4或。=J106.

3

【分析】(1)由题可得sinB=(,利用正弦定理即求；

(2)利用三角形面积公式可得sinC=立，再利用同角关系式及余弦定理即求.a

4

【详解】⑴因为cos5=-则且sin5=-cos?B=1.

ab—————=—=2R

由正弦定理，得「=「=2R,即sin/3,

smAsmBj

即sin4=工，R=5,

2

因为a<6,所以/jo,?,

TT

因止匕Z=—,R=5；

6

,°1577

(2)由4=—absinC得.「2S.4~疗，

2sinC=——=-----------=——

ab5x64

于是cosC=±Vl-sin2C=±—.

4

33

当cosC=一时,由余弦定理，得c?=52+62-2x5x6*—=16.

44

当cos。=-1时，由余弦定理，得c?=5?+6?-2x5x6x1—=106.

所以，。=4或o=V106.

19.⑴全

(2)答案见解析.

答案第9页，共13页

【分析】（1）利用给定的折线图，求出2022年元旦及前后共7天中“拥堵”的天数，再利用

古典概率计算即得.

（2）利用折线图，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI比2022年同日TPI高的天

数，求出X的可能值及对应概率即得.

【详解】（1）根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市

道路拥堵程度为“拥堵”；

2

设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为尸=,.

（2）根据统计数据得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年

同日TPI高的天数共有2天，

所以X的所有可能值为04,2,

尸5=0）略堞4尸（g）=yVS尸（丫=2）=等4J

20.（1）（1,2）

（2）12A/1

【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离

等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点A的横坐标，代入方程得出纵坐标，根

据点所在的象限得出其坐标；

（2）设得出线段NC的中点坐标，根据已知歹U式%=-4,代入方程得出点C的

坐标，即可由两点式得出直线/的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案；

（3）设直线/的方程为y=h+6,设，（士,%）,£）（无z,%）/6,%）,。每,q），根据已知与方程

的联立与韦达定理得出%-乂=25-”），弘+%=2。3+”），2=2%”，设原点。到

直线/的距离为由弦长公式与三角形面积公式的出沁=》

d,,即可代入化

一九|

.BOCLd±+1|%

解得出答案.

答案第10页，共13页

【详解】(1)

抛物线必=4尤的准线为尸一1,

因为点A到抛物线一焦点的距离为2,

所以点A到抛物线口准线的距离为2,

所以点A的横坐标为1,

代入方程的V=4,解得了=±2,

因为点A位于第一象限，

故点A的坐标为(1,2).

(2)设C(x。,％),则线段/c的中点坐标为(宁，等_)

因为线段ZC的中点在X轴上，

所以言1=0,故%=-4,

代入方程得(-4丫=2尤0,解得%=8,所以C(8,-4),

所以直线/的方程为：2二=工，整理得：2x+y-12=0

-4-48-4

(3)由题意，直线/的斜率上显然存在且斤wO,

设直线/的方程为y=h+b,

设/(国,yt),D(X2,y2),B(X3,%),C(x4,y4)

由方=2瓦，得%=2&2-%)…①，

答案第11页，共13页

y2=4x,得：^y2-y+b=Q,

y=kx+b

因为直线/与抛物线一交于点A、D,

44b

所以A=1-泌>0,即防<1,且yy=—

kT2k

be22b

同理，%+”=：，不，

kk

所以乂+为=2