2024届上海市闵行区高考一模数学试题（含答案）

2023学年第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷

考生注意：

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，考生在答题纸正面填写学校'姓名、考生号，粘贴考生本人条形码.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试

卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)

考生应在答题纸相应位置直接填写结果.

1.已知集合M=｛0,l,a+l｝，若-LeA/,则实数a=.

2.若sina=；,则sin(乃-a)=.

3.若孙=l(x、yeR),则必+4丁的最小值为.

4234

4.已知(x—l)=a0+axx+a2x+a3x+tz4x,则a2-.

5.已知圆锥的底面周长为4》，母线长为3,则该圆锥的侧面积为.

22

6.若双曲线j—1=1(。〉0］〉0)的离心率为J5,则该双曲线的渐近线方程为.

ab

jr

7.若将函数y=sin(2x+")(0<0(万)的图像向右平移—个单位，得到的图像所对应的函

数为奇函数，则夕=.

2

8.已知/(X)=X-8X+10,xeR，数列｛an｝是公差为1的等差数列，若

/((?!)+/(%)+/(%)的值最小，则q=.

9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需

要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期

都是连续的，则不同的安排方法数为.

10.若平面上的三个单位向量a、b、c满足,/=；,卜・4=亨，则的所有可能的值

组成的集合为

+00+00

11.已知数列｛%｝为无穷等比数列，若£@=-2,则2同的取值范围为

Z=1Z=1

12.已知点P在正方体A5CD-A与的表面上，P到三个

平面ABC。、ADD｝\,AB44中的两个平面的距离相等，

且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相

等，则满足条件的点尸的个数为.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂

13.已知“、beR,a>b,则下列不等式中不一定成立的是()

(A)a+2>b+2(B)2a>2b(C)a2>b2(D)2a>2b

14.某校读书节期间，共120名同学获奖(分金、银、铜三个等级)，从中随机抽取24名同

学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖

等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是()

(A)高二和高三年级获奖同学共80人(B)获奖同学中金奖所占比例一定最低

(C)获奖同学中金奖所占比例可能最高(D)获金奖的同学可能都在高一年级

15.已知复数4、Z?在复平面内对应的点分别为P、Q,|OP|=5(。为坐标原点)，且

22

Z1-z1Z2-sin^+z2=0,则对任意OeR,下列选项中为定值的是()

(A)QQ(B)\PQ\(C)△OP。的周长(D)△OPQ的面积

16.已知函数y=/(x)的导函数为了=/0),xeR,且y=/(x)在R上为严格增函数，关

于下列两个命题的判断，说法正确的是()

①“七>々”是“/(/+1)+/(%2)>/(%)+/(爸+1)”的充要条件；

②“对任意x<0,都有/(x)</(0)”是“y=/(x)在R上为严格增函数”的充要条件.

(A)①真命题；②假命题(B)①假命题；②真命题

(C)①真命题；②真命题(D)①假命题；②假命题

三'解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写

出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是边长为a的正方形，侧面底面

5

ABCD,且P4=PD=设£、厂分别为PC、的中点.

2

⑴证明:直线所〃平面PAD；

（2）求直线QB与平面ABCD所成的角的正切值.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,J=La-2ccosB=c.

（l）^cosB=—,c=3,求人的值；

3

（2）若△ABC为锐角三角形，求sinC的取值范围.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者

被称为“小青荷”.某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青

荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：

男生小青荷女生小青荷

会说日语812

会说韩语mn

其中〃八"均为正整数,6WmW8.

（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少

有一名会说日语的概率；

（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男

生”，用8表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组机、〃的值，使得事件A与3相

互独立，并说明理由.

20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

已知0<p<4,曲线I；、一的方程分别为V=2pxy

(0WxW8,yN0)和*=2py(0VyV8,xN0),与在/

第一象限内相交于点K(XK，，K)•4

(1)若|OK|=4及，求夕的值；2//

(2)若p=2,定点T的坐标为(4,0),动点M在直线__________

-2—I2468

y=x±.,动点"(标,%)(°</<4)在曲线匕上，求

的最小值；

(3)已知点A(X]，M)(0〈X]VxQ、_8(%2,%)(a<%<8)在曲线—上，点A、3关于

直线y=x的对称点分别为。、D,设|AC|的最大值为沈，|3。|的最大值为方,若

ryi1

ye[1,2],求实数夕的取值范围.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

2

已知aeR,f(x)=(G-2)X3-x+5x+(1-tz)lnx.

(1)若1为函数y=/(x)的驻点，求实数。的值；

(2)若。=0,试问曲线y=/(x)是否存在切线与直线x-y-1=0互相垂直？说明理

由；

(3)若a=2,是否存在等差数列入,%2，%3(0<%<々<X3)，使得曲线y=/(x)在点

(%,/(马))处的切线与过两点(%,/(%))、(毛，/(尤3))的直线互相平行？若存在，求出所

有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由.

参考答案与评分标准

填空题；；；

1.—22.13.44.6;5.6"；6.y=±x;

二.选择题13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答题

17.⑴［证明］连接AC,ABCD为正方形且R为的中点,

•••/为AC的中点，又E为PC中点，

：.EF//PA.............................................2分

又EF不在平面A4D上,R4u平面Q4D,

.♦.EF〃平面PAD............................................................6分

⑵解PA=PD=%,AD=a,，PASD,

・•.△K4D为等腰直角三角形，

取AD中点,，由等腰三角形性质可知,LAD,.........................................8分

又平面平面ABCD,平面PAD平面ABC。=AD,

PM±iPffiABCD,..........................................................10分

连接BM，则NP8/0为直线PB与平面ABCD所成的角......................12分

由，尸”_|_7118可得1211//58〃=^^,

—225

直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为9.............................................14分

18」解］（1）将＜：058=；,0=3带入条件中可得。=5.........................................2分

由余弦定理）2=/+/-2〃ccos3可得b=2«;..................................6分

⑵a-2ccosB=c,由正弦定理可得sinA-2sinCcos5=sinC,........8分

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinBcosC-sinCcosB=sinC,sin（B-C）=sinC,................10分

,5—Cw（—W，W）,C£（O，m）,所以5—C=C，即3=2C,.......................12分

又因为△ABC为锐角三角形，JC£（：，7）,sinCG.....................14分

6422

19.［解］(1)从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为Cl..............................2分

抽取的两名都不会说日语的方法数为G".........................................4分

C217

因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为1-若=方;..........6分

。3621

(抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为C；o+C；oC：6给2分)

(2)当m=6、〃=12时,事件A与8相互独立..........................8分

理由如下：

从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=¥="

363

事件3发生的概率P(B)="^=］,........................10分

362

事件A与3同时发生的概率尸(A3)=三=,............................12分

36o

P(A)P(B)=ixl=|=P(AB),

326

因此，事件A与8相互独立...........................14分

17+1477

(其它答案：当加=7、〃=14时，尸⑷=彳，P(B)=——=—,P(A|B)=—;

3361236

当根=8、〃=16时，P(A)=—,P(JB)=8+11=2P(AB)=—=—.)

3363369

121

(2)［另解］从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=0=；,

363

rnri

事件3发生的概率P(3)=一7，..................8分

事件A与3同时发生的概率P(AB)=—,..................10分

36

33636

整理得〃=2加，....................12分

所以可取"2=6、”=12或加=7、"=14或m=8、〃=16............14分

(学生只需写出三种情况中的一种即可)

y=2nx

20.［解］(1)联立，由点K(XK/K)在第一象限，

x2=2py

得收=2j..................2分

JK=2P

由|OK|=40,得20P=4后，所以p=2；……4分

(2)曲线I；和口关于直线>=%对称，

取N关于>=%的对称点N',则N'在曲线

y1-4x(0<%<4,y>0)±,...........6分

.•.(|孙+|肛)皿=(|，'|+|町濡，

又因为|W|+|MT377”，

所以只需求T到V=4x(0<x<4,y>0)上动点N'的距离177Vl的最小值，

令N'(X,26)(0<X44),则|7W［=J(4-xy+4x=&一4%+16,......8分

当x=2时，|77V［的最小值为2石，+1n=2百

所以(当初(8-40,8-4四)，N(27I,2)时)|肱V|+|MT|的最小值为.…10分

(3)由(1)可得

\AC\=21%1-7|1=V2|Xj-|,(0<%420),

42

\BD\=2^X2~y^=y[2\x-^2pxI，

22(2p<%K8),....................12分

v2

因此当%!=!•时，m=^-p,

当々=8时，t=4-42(2-y[p),...............................14分

由'wd,2],得建^=<2,

...................................16分

t2216-8诉

解得16—8石V/7<160—64卡....................................18分

21.[解]⑴由题意/'(x)=3(a—2)f—2x+5+",..............2分

X

由1为函数y=/(x)的驻点，得/'(l)=3(a—2)+3+(l—a)=0,

因此。=1；...................................4分

(2)当。=0时，/(%)=-2x3-x2+5x+Inx,

,1

/'(x)=—6/_2X+5+—,.....................................6分

X

原问题等价于是否存在%>0,使得/'(/)+1=0,

令g(x)=/,(x)+l=-6x2-2x+6+—(x>0)

1X

因为函数y=g(X)在区间g,l］上是一段连续曲线

且g(g)=T>°'g⑴=T<0,