高考复习A版数学考点考法（10年高考真题）：计数原理、排列与组合

计数原理

计数原理、排列与组合

考点计数原理、排列、组合

1.（2020新高考/,3,5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1

名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

答案C解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有玛=6种,第二步:安排乙场馆

的志愿者,则乙场馆的安排方法有熊=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有髭=1种.

近以甚直念1S怎世独丕圆的凝血迭故选《（易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不

用全排列）.

2.（2022新高考〃,5,5分，应用性）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，

丙和丁相邻,则不同的排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

答案B丙和丁相邻共有A；-A1种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有C尹A1.A』种站法,所以甲不站

在两端且丙和丁相邻共有A,•A：-玛-Ag・Al=24种站法,故选B.

3.（2021全国乙理,6,5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行

培训I,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

答案C先将5人分为4组，其中一组有2人，另外三组各1人,共有髭=10种分法，然后将4个项目全排

列,共有A*24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有量-A*=240种,故选C.

易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法髭-C1.的=60种的错误结果.

4.（2016四川理,4,5分）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.48C.60D.72

答案D奇数的个数为C/*72.

5.（2015四川理,6,5分）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

（）

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A.144个B.120个C.96个D.72个

答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2.4三个偶数，比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中

以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A；=48个;同理以5开头的有3A；=72个于是共有48+72=120

个,故选B.

评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.

考查学生分析问题、解决问题的能力.

6.（2014大纲全国理,5,5分）有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小

组.则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

答案C从6名男医生中选出2名有《种选法，从5名女医生中选出1名有乙种选法，由分步乘法计数原理

得不同的选法共有C”服=75种.故选C.

7.（2014辽宁理,6,5分）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.144B.120C.72D.24

答案D先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有

A：=24种放法,故选D.

8.（2014四川理,6,5分）六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共

有（）

A.192种B.216种C.240种D.288种

答案B若最左端排甲,其他位置共有点=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置

有A：=24种排法,所以共有120+4x24=216种排法.

9.（2014重庆理,9,5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,

则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有/・A^144种,再剔除小品类

节目相邻的情况,共有星•A”A>24种，于是符合题意的排法共有144-24=120种.

10.（2013山东理,10,5分）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252C.261D.279

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答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9xl0x

10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9x9*8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为

900-648=252,故选B.

评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.

11.（2012课标理,2,5分）将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每

个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）

A.12种B.10种C.9种D.8种

答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有四种选法,另2名学生分配给另1名教师,

然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A界中方案，故不同的安排方案共有《A分12种,选A.

评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.

12.（2012辽宁理,5,5分）一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（）

A.3x3!B.3x（3!）3

C.（3!）4D.9!

答案C第1步:3个家庭的全排列，方法数为3!;

第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭，方法数为（3!）、，总数为（3!）x（3!）J（3!尸,故选

C.

评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.

13.（2012安徽理,10,5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,

进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数

为（）

A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4

答案D由题意及《=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2S限、小、限不妨讨论①川少交换2

次如A沫与A-A,交换,则收到4份纪念品的同学仅为做A,2人;②A,、儿各少交换1次，如4与A,未交

换,&与A,未交换，则收到4份纪念品的同学有4人为品A-&A4.故选D.

14.（2016课标U,5,5分）如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓

参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）

A.24B.18C.12D.9

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答案B分两步，第一步，从E-F,有6条可以选择的最短路径;第二步，从F-G,有3条可以选择的最短路

径.由分步乘法计数原理可知有6x3=18条可以选择的最短路径.故选B.

思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分

步乘法计数原理即可得结果.

15.（2016课标山，12,5分）定义"规范01数列"｛&｝如下：｛a„｝共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意

kW2m,aba2,....队中0的个数不少于1的个数，若m=4,则不同的”规范01数列"共有（）

A.18个B.16个C.14个D.12个

答案C当m=4时,数列⑸｝共有8项,其中4项为0.4项为1,要满足对任意kW8,a“a2,ak中0的个数

不少于1的个数，则必有aFO,as=l,出可为0,也可为1.⑴当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则

at,a$,a6,a,中任意一个为0均可,则有C：=4种情况;②若a3=l,a4=0,则a5,a6,a,中任意一^个为0均可,有*=3

种情况;③若a3=l,a曰则a$必为0,a6,a,中任一个为0均可,有己=2种情况；⑵当a2=l时,必有a3=0,分以

下2种情况:①若a,=0,则as,a6,a,中任一个为0均可,有C；=3种情况;②若a4=l,则a$必为0,a6,a7中任一个

为0均可，有4=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列"共有4+3+2+3+2=14个故选C.

思路分析根据题意可知ai=0,a8=l,进而对a2,a3,a,取不同值进行分类讨论（分类要做到不重不漏），从而利

用分类加法计数原理求出不同的"规范01数列"的个数.

16.（2018浙江,16,4分）从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成

个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

答案1260

解析本小题考查排列、组合及其运用，考查分类讨论思想.

含有数字0的没有重复数字的四位数共有C式丛丛上540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有

CK：A*720个,故一共可以组成540+720=1260个没有重复数字的四位数.

易错警示数字排成数时，容易出错的地方：

⑴数字是否可以重复；

⑵数字0不能排首位.

17.（2015广东理,12,5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共

写了条毕业留言.（用数字作答）

答案1560

解析1.同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,.•.全班共写了40x39=1560条毕业

留言.

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18.（2013北京理,12,5分）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同

一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.

答案96

解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张，且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券

分给4人,则不同的分法种数是4A*96.

19.（2013大纲全国理,14,5分）6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数

字作答）

答案480

解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A*24种排法,再将甲、乙插入有煦=20种,所以6人排成

一行，甲、乙不相邻的排法共有24x20=480种.

20.（2013浙江理,14,4