探索规律问题-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点02探究规律问题

【命题趋势】

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以

选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基

本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或

猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2021年中考数学

中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

【满分技巧】

D从简单的情况入手：

从简单的情况入手：求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新定义型问题一

般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、

连续〃个数的平方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量

是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为〃）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在.

3）掌握一些数学思想方法

规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往

给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特

殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和

创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

一.选择题（共6小题）

ɪ.（2021∙镇江）如图，小明在3X3的方格纸上写了九个式子（其中的〃是正整数），每行的三个式子的和

自上而下分别记为A∣,A2,A3,每列的三个式子的和自左至右分别记为Bi,B2,B3,其中，值可以等于

789的是（）

2"+12"-32"+5

2"+72"-92"+11

2"-132”+152"+17

BlB]B3

A.AiB.BlC.A2D.生

【分析】把4,A2,Bi,&的式子表示出来，再结合值等于789,可求相应的〃的值，即可判断.

【解答】解：由题意得：A∣=2"+l+2"+3+2"+5=789,

整理得：2n=260,

则«不是整数，故4的值不可以等于789；

A2=2"+7+2"+9+2"+l1=789,

整理得：2n=254,

则n不是整数，故4的值不可以等于789；

B1=2"+1+2"+7+2"+13=789,

整理得：2Π=256=28,

则〃是整数，故Bi的值可以等于789；

Bi=2π+5+2n+ll+2π+17=789,

整理得：2n=252,

则〃不是整数，故以的值不可以等于789；

故选：B.

2.（2022•泗洪县二模）有一列数m,。2,。3,…，all,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个

数的倒数的差，若«1=2,则«2022为（)

A.ɪB.2C.-1D.2022

2

【分析】分别求出“1=2,02=—,«3=-1>44=2,可得规律每3个数循环一次，则”2()22=43=2.

2

【解答】解：∙.Zι=2,

.,.02=1--=—,

22

〃3=1-2=-1,

〃4=1+1=2,

.∙.每3个数循环一次,

V2022÷3=674,

“2022=。3=-1，

故选：C.

3.（2021•江阴市校级模拟）正整数构成的数列0,42,……，an，……满足：①数列递增，即0<42<……

an<……；®an=an.\+an.2（〃》3）,则称为“类斐波拉契数列”，例如：3,4,7,11,18,29,……，

则满足纺=59的“类斐波拉契数列”有（）种.

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题可发现数列存在al,=Ci,,∣+‰2（〃》3）的规律，满足绮=59的“类斐波拉契数列”有多

少种.

【解答】解：满足“5=59的“类斐波拉契数列”应满足：①数列递增，即。|<。2<。3<04<45；②如=

Cln-}+a∏-2（"23）,

故：①10,13,23,36,59；②7,15,22,37,59；③4,17,21,38,59；④1,19,20,39,59.

故选：D.

4.（2020•江都区三模）若XI=α+l（a#0且αW-1）,xi——--,乃=—-—，…，xn———-——，则X2（）2θ

I-Xl1-x2l-xn-l

等于（）

A.aB.«+1C.」D.-ɪ

aa+1

【分析】根据题意对前面几个数进行计算，发现结果每三个数一循环，由此得出规律，用2020除以4即

可得到是第几个循环数，即可得到结果.

【解答】解：∙.hι=α+l,

'.Xl=----1L1

l'xll-a-1a

1.ɪ-1

l-χ21∙Λa+1

a

11

X4=----=---;-=a+l=x↑

1-χ3l-ɪ-

a+1

由上可知，Xi,X2,X3,…，X”，这列数依次按α+l,-X'•三个结果进行循环，

aa+1

V2020÷3=673∙∙∙l,

∙"∙X2O2O=Xl=4+1>

故选：B.

5.（2022∙丹阳市二模）某校为组织召开初三年级毕业典礼，需用“盆花将圆形主席台围绕一周进行装扮.若

花有红色和黄色两种，摆放时要求与每盆花左右相邻的两盆花颜色不同.则，”的取值可能是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】由题意得花盆摆放的情况有：红红黄黄或黄黄红红，只有当，〃是4的倍数时满足.

【解答】解：由题意得：花盆摆放的情况有：红红黄黄，或黄黄红红，

要满足条件，，"只能是4的倍数，而只有2020是4的倍数，

故选:A.

6.（2022∙邛江区二模）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某

个学生的识别图案，灰色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为α,b,

c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为“X23+bX22+cX21+dX2°,如图2,第一行数字从

左到右依次为0,1,0,1,序号为0X23+1X22+OX2∣+1X20=5,表示该生为5班学生.表示10班学

生的识别图案是（）

图1图2

A.B.

【分析】根据题中的规律分别计算出四个选项所表示的班级序号即可.

【解答】解:由题知，A选项班级序号为1X23+0X22+1X2∣+0X20=10,

B选项班级序号为0X23+l><22+lX2∣+0X2°=6,

C选项班级序号为1X23+OX22+OX2∣+1X2°=9,

D选项班级序号为0X23+1X2?+lX2∣+lX2°=7,

故选：A.

二.填空题（共10小题）

7.（2022•宿迁）按规律排列的单项式：X,-X3,/,》9,…，则第20个单项式是一产.

【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可.

【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第"项的数为（-1）"+∣x∕"∣

则第20个单项式是（-1）2'×Λ-39=-X39,

故答案为：-/9.

8.（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

••••••・••・—

①②③④

图中黑色圆点的个数依次为：1,3,6,10,…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列

成一组新数据，则新数据中的第33个数为1275.

【分析】首先得到前〃个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第八个图形中的黑色圆点的个数为

n（n+lJ,再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能

2

被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可.

【解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1,

第②个图形中的黑色圆点的个数为：（1+2）,2=3,

2

第③个图形中的黑色圆点的个数为：（1+3）X3=6,

2

第④个图形中的黑色圆点的个数为：（1+4）×4=]o,

2

第1个图形中的黑色圆点的个数为n（n+l）,

2

则这列数为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,

其中每3个数中，都有2个能被3整除，

33÷2=16-1,

16X3+2=50,

则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50×SI.=.,

2

故答案为：1275.

9.（2018•徐州）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第〃个图

案中白色正方形比黑色正方形多（4〃+3）个.（用含〃的代数式表示）

【分析】利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而

黑色正方形个数第1个为1,第二个为2,由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系

即可，依此类推，寻找规律.

【解答】解：方法一：

第1个图形黑、白两色正方形共3X3个，其中黑色1个，白色3X3-1个，

第2个图形黑、白两色正方形共3X5个，其中黑色2个，白色3X5-2个，

第3个图形黑、白两色正方形共3X7个，其中黑色3个，白色3X7-3个，

依此类推，

第〃个图形黑、白两色正方形共3X（2n+l）个，其中黑色〃个，白色3X（2n+l）-〃个，

即：白色正方形5〃+3个，黑色正方形”个,

故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4”+3个，

方法二

第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个，

第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多(7+4)个，

第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多(7+4X2)个，

类推，第〃个图案中白色正方形比黑色正方形多［7+4(M-I)］个，即(4"+3)个，

故第“个图案中白色正方形比黑色正方形多(4n+3)个.

10.(2021•仪征市一模)设°1、。2、03,…，42021是从-1,0,2这三个数中取值的一列数，若α∣+α2+43+…

+«2021=9,a12+α22+α32+,,,+«20212=51,贝Ua∖i+ar'+a^+∙∙∙+aιm∖i~69.

【分析】设这一列数中有X个-1，y个2,根据已知列方程组得(-x+2y=9,解方程组可得X和y的值,

Ix÷4y=51

最后代入可得答案.

【解答】解：设这一列数中有X个-1,y个2,

*.*41+42+43+…+〃2021=9,a∖2+tZ22÷6Z32+*,*÷^202J=51,

：.-χ+2y=9,(-1)2∙x÷22∙y=51,

.f-χ+2y=9

1x+4y=51

解得：H=",

Iy=IO

.".a13+α23+α33+,--+fl20213=x*(-1)3+J∙23=-X+8y=-11+80=69.

故答案为：69.

11.(2021∙宝应县二模)设的，”2…斯都是正整数，其中m表示第一个数，“2表示第二个数，依此类推,

斯表示第〃个数(〃为正整数)，已知。1=1,4斯=(斯+1-1)2-(an-1)2,则42=3,42021=4041.

22

【分析】先将4an-(αn+ι-1)-(««-1)>变形，结合«1=1,a∖,ai，ɑʒ......是一列正整数，得出

递推公式%+1=所+2,进而可得斯=2w-1,将〃=2021代入即可求得答案.

22

【解答】解：∖'αi=l,4απ=(αn+ι-1)-(α,l-1).a∖,aι,ɑɜ......是一列正整数,

22

'.an-1>0,(外+1-1)2=(α,,-1)+4an-(a,,+l),

Cln+∖~

•∙Cln+1=2,

∙.Zι=l,

・♦=3,〃3=5,"4=7,。5=9,

•∙2〃-1,

.e∙4∕202∣=2×2021-1=4041.

故答案为：3；4041.

12.(2021•常州二模)有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.若

第一个数是0,第二个数是1,则这2021个数的和是1.

【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后

即可求得这2021个数的和.

【解答】解：由题意可得，

第一个数是0,第二个数是I,

则第三个数是1-0=1,

第四个数是1-1=0,

第五个数是O-I=-1,

第六个数是-I-O=-1,

第七个数是-I-(-1)=0,

第八个数是O-(-1)=1,

,*,,

由上可得，这列数依次以0,1,1,0,-1,-1循环出现，每六个数一个循环，

V2021÷6=336∙∙∙5,

，这2021个数的和是:0+l+l÷0+(-1)+(-1)÷∙∙∙+0+l+l÷0+(-1)

=[0+l+l+0+(-1)+(-1)]×336+[0+l+l+0÷(-1)]

=0X336+1

=0+1

=1,

故答案为：1.

13.(2021•天宁区校级模拟)已知(X+1)2021=0o+^lΛj÷Λ2Λ2÷«3X3+∙∙∙+^2O21X2021»则42+CM+…+。2018+42020

=22020-1.

【分析】分别令X=1代入得ao+a1+a2+a3+∙φ∙+α2021，令X=-1代入得ao~a∖-∖-aι-的+…+〃202O-。2021，

令X=0,6/0=1；从而可以得出答案.

【解答】解：令X=1,6t()+6t]A∙1+α2r2+«3X3+∙∙∙÷^2()2kV2021=6t()+t71+6/2+^3+***+«2O21=22021;

令X=-1,4o+4"+α2χ2+43X3+…+θ202i∙v2°2∣=ao-a∖+a2^43+…+α2020-42021=0;

∙∖Cl^+a1+α2÷^3+∙∙,÷t∕2O21+ɑθ-a∖+a2-a3+∙∙∙+^2020-«2021

=2(。0+42+〃4…+42020)，

令X=O,αo=l;

Λa2÷tM÷β∙*÷tZ2018÷^2020=22°2*÷2-ɪ=22020-1,

故答案为:22Q2°-1.

14.(2022•鼓楼区校级三模)如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第〃

个图形中三角形的个数比圆的个数多(2/1)个.(由含〃的代数式表示)

△△△△△△

△OAʌθʌθʌAOAQ∆OA

△△△△△△

第1个第2个第3个

【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值.

【解答】解：根据题意有，

第1个图形，圆的个数为：I；正三角形的个数为：1X3+1；

第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2X3+1；

第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+li

第〃个图形，圆的个数为：〃；正三角形的个数为：n×3+l;

M×3+1-n—3n-n+∖-2n+∖,

.∙.第〃个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+l)个.

故答案为：(2n+l).

15∙(2022∙江阴市校级一模)如图中，分别是由1个、2个、〃个正方形连接成的图形，在图1中，x=70°；

在图2中，y=28°；通过以上计算，请写出图3中α+6+c+…+d=90°”.(用含"的式子表示)

【分析】根据图形的变化规律归纳出有〃个小正方形时各夹角的度数和是90°〃即可.

【解答】解：连接各小正方形的对角线，如下图：

图1中，61°+119°+20°+x+45°X2=360°,

即20°+x=90°,

图2中，61o+119o+31o+12Γ+y+45o×4=360o,

即31°+121o+y=180°=2×90o,

以此类推,a+b+c+-+d=n×90o=90on,

故答案为：90°n.

16.（2019•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的和线段按照一定规律摆成下列图形.第1

幅图形中“V的个数为G,第2幅图形中“V的个数为“2,第3幅图形中“；’的个数为“3,…，以此类

第！幅图第:1幅图第3幅图第二幅图

【分析】首先根据图形中的个数得出数字变化规律，进而求出即可.

【解答】解：41=3=1X3,42=8=2X4,"3=15=3X5,«4=24=4X6,…，an=n(n+2)；

.1.1.1-一1_1,1,14-1

aɪa2a3a101×32×43×510×12

二二-+'+…+」^+」-+」-+…+」—

1×33X59×112×44×610×12

「175

2641

故答案为：1ZΣ

264

三.解答题（共9小题）

17.(2021•江阴市校级模拟)已知一列数如下规律排列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,

其中第一项20,接下来

的两项20,2*,再接下来的三象2°,2l,22,依此类推.

（1）第10个1是这列数的第几项;

（2）该列数的第2018项为多少?

（3）求满足如下条件的最小整数N：N>100且该列数的前N项和为2的整数幕.（参考公式：l+q++/+…

n+1

l1-q

+q")="l-q(q≠D

∏+1(Q=1)

【分析】（1）根据第1个1是第1项，第2个1是第2项，第3个1是第4项，第4个1是第7项，…,

这个规律推算结果便可;

(2)根据“1,1,2,I,2,4,1,2,4,8,I,2,4,8,16,…”将其数列分组，使每组第一项均为

1,第一组：2°,第二组：2°,2l,第三组：2°,2∣,22,…，第k组：2°,2l,22,--2k',由此得到

此数列前n项和计算即可：

（3）由题意求得数列的每一项，及前〃项和S"=2"+ι-2-〃，及项数，山题意可知：2"+∣为2的整数累,

只需将-2-〃消去即可求得N的值.

【解答】解：（1）由题意可知,

第1个1是第1项,

第2个1是第1+1=2项,

第3个1是第1+2+1=4项,

第4个1是第1+2+3+1=7项,

由此规律可知：第由个1是第1+2+3+…+9+1=46项，

故第10个1是第46项；

(2)将其数列分组，使每组第一项均为1,

第一组：2°,

第二组：2°,2l,

第三组：2°,2l,22,

第无组:2°,2',22,■■■,2t^1,

共有项数为l+2+3+∙∙∙+⅛=k^k+1.

2

当《=63时，63X(63+1)=2016,

则2018项应该为第64组的第二项，

.∙.该列数的第2018项为2；

(3)由题意得，前〃组的和为：S=2o+2'+22+,∙∙∙,+2",=2"+,-n-2

2"+ι为2的整数基，只需将-2-"消去即可.

第〃+1组为：1,2,4,8,…，2"

二前"+1组的和为：2rt+2-n-3

,只需要再加上第〃+2组的前两项即可消除，此时共有项数：l+2+3+∙∙∙+"+"+l+2=(n+1)(n+2)

2Z

∙.∙∕V>100,Λ令(n+I)Jn+2)+2^∣00

心14,

由题意2+〃=2&+i-1,

可得〃的最小值为29,人的最小值为4,

,此时N=空2^+5=440

2

综上所述，N的最小值为440.

18.(2022秋•祁江区期中)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面.

(1)第1个图案用了4块灰色的案用,第2个图案用了块灰色的瓷砖，第3个图案用了_8

块灰色的宽砖；

(2)第1个图案用了5块白色的瓷砖，第2个图案用了8块白色的瓷砖，第3个图案用了11

块白色的瓷砖；

(3)第〃个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了多少块？

踊*"

第1个图案第2个图案第3个图案

【分析】(I)根据所给的图案进行求解即可；

(2)根据所给的图案进行求解即可;

(3)不难看出每增加个图案，则灰色瓷砖增加2块，白色瓷砖增加3块，据此可求解.

【解答】解：(1)由题意得：第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3

个图案用了8块灰色的瓷砖；

故答案为：4>6>8：

(2)第1个图案用了5块白色的瓷砖，第2个图案用了8块白色的瓷砖，第3个图案用了11块白色的

瓷砖：

故答案为：5,8,11；

(3)由题意得：第〃个图案中灰色瓷枝的数量为：4+2(〃-1)=(2n+2)块，

第〃个图案中白色瓷砖的数量为：5+3(〃-1)=(3n+2)块，

则一共所用的瓷砖为：2"+2+3"+2=(5n+4)块.

答：第”个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了(5n+4)块.

19.(2022秋•常州期中)某长方形人行道由相同的灰色正方形地石专与相同的白色直角三角形地砖排列而成，

如图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

【观察思考】

如图2,当正方形地砖只有.1块时，直角三角形地砖有6块；如图3,当正方形地砖有2块时，直角三角

形地砖有8块，……以此类推.

【规律总结】

(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则直角三角形地砖增加2块;

(2)若一条这样的人行道一共有n为正整数)块正方形地砖，则直角三角形地砖的块数是2〃+4

(用含有〃的代数式表示).

【问题解决】

(3)现有2021块直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求直角三角形地砖剩余最少，则需

要正方形地砖多少块？剩余直角三角形地砖多少块？

……

图1图2图3

【分析】(I)观察图形规律，即可得其值；

(2)观察图形规律，可以把图形看成是每块正方形地砖配两块直角三角形地砖，再额外加4块直角三角

形地质，进而可得出其表达式；

(3)当使用的正方形地砖数量最多时.，剩余直角三角形地能最少，只需求出”的最大值即可.

【解答】解：(1)根据题意可得，

每增加1块正方形地砖，则直角三角形地砖增加2块.

故答案为：2；

(2)根据题意可得，

直角三角形地砖的块数是2/7+4.

故答案为：2/7+4；

(3)根据题意可得，

2n+4=2021,解得：〃=&Ui_=i(χ)8.5,

2

•••”为整数，

Λ«=1008,

当n=1008时，2"+4=2X1008+4=2020,

2021-2020=1,

.∙.需要正方形地砖1008块，剩余直角二角形地砖1块.

20.(2022秋•盐都区月考)阅读理解：我们知道团的几何意义是：在数轴上数X对应的点与原点的距离，

也就是说，W表示在数轴上数X与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：团-X2∣表示在数轴上

数内，X2对应点之间的距离.举例：数轴上表示数。和-1的两点A和8之间的距离是AB=Ia-(-1)

∣=∣a+l∣.

问题探究：参考阅读材料，解答下列问题.

(1)求数轴上表示2和-3的两点之间的距离；

（2）若数轴上表示数4的点位于-3与5之间，求∣α+3∣+∣α-5|的值:

（3）当I。-l∣+∣α-2∣取最小值时，相应的数”的取值范围是lWαW2；

（4）求Ia-Il+∣n-2∖+∖a-3］的最小值是2.

实际应用：

（5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：Aι,A2,A3,

Λ4,A5.…A2023,某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在紧

靠4。12居民家,才能使这2023户居民到点P的距离总和最小.（填住户标记字母）

拓展提升：

（6）若数a,b满足Ia-II+∣α-3∣+∣b-4∣+步+5∣=11,求a+b的最小值为-4.

【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；

（2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可；

（3）由题意两点距离的意义进行解答；

（4）当“取2时代数式的值最小，据此计算便可；

（5）取最中间点便可；

（6）在α这1,ZJW-5范围内，解方程Ia-Il+∣4-3|+3-4|+步+5∣=11便可.

【解答】解：（1）数轴上表示2与-3两点之间的距离为∣2+3∣=5;

（2）V-3≤a≤5,

∙*∙∣6Z÷3∣÷∣6/-5∣=4+3+5--=8;

（3）Ia-II+∣α-2|表示数a的点与表示数1和2的点的距离之和，

当•位于1与2之间时，其距离之和最小，

：.\a-1|+|«-2|取最小值时一，相应的数a的取值范围是l≤α≤2,

故答案为：l<α<2;

（4）当4=2时，Ia-II+∣0-2∣+∣α-3|取最小值为：1+0+1=2,

故答案为：2；

（5）点尸选在4OI2居民家.才能使这2023户居民到点尸的距离总和最小，

故答案为：AIol2；

（6）V∣α-I∣+∣α-3∣+∣fc-4∣÷∣∕H-5∣=1I,

,当，WLOW-5时，1-α+3-α+4-b-5=11,

Λα+⅛=-4,

.∙.若数a,b满足Ia-l∣+∣0-3∖+∖b-4∣+∣⅛+5∣=ɪl,a+b的最小值为-4,

故答案为：-4.

21.(2022秋•秦淮区校级月考)图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一

个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了〃层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，

这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+〃=n(n+l).

2

靠金〜盘

..................................VA)..................................

笫湄8∙∙∙8æ-ooʊ∞-∞∞∙∙∙∞

图1图2图3图4

如果图①-④中各有11层.

(1)图①中共有66个圆圈:

(2)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,…，则最底层最左边

圆圈的数是56.

(3)我们自上而下，按图④的方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,-20,求图④所有圆圈中各

数的绝对值之和.

【分析】(1)根据图形中圆圈的个数变化规律求解；

(2)11层时最底层最左边这个圆圈中的数是第10层的最后一个数加I；

(3)由(1)得出圆圈的总个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数.

【解答】解：(1)-×∖∖×(11+1)=66,

2

故答案为：66；

(2)-1×IOX(10+1)=55,55+1=56,

2

故答案为：56；

(3)图4中共有66个数，其中23个负数，1个0,42个正数，

所以图4中所有圆圈中各数的和为：

I-23∣+∣-22∣+-+∣-l∣+0+l+2+-+42=

(l+2+3+∙∙∙+23)+(1+2+3+-+42)

=276+903

=1179.

22.（2021秋•东台市校级期末）研究下列算式，你会发现有什么规律?

φl3=l2:

(2)l3+23=32;

(3)l3+23+33=62;

Θl3+23+33+43=102;

(5)l3+23+33+43+53=152-

(1)根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；

(2)用含〃(〃为正整数)的式子表示第〃个算式；

(3)请用上述规律计算：73+83+93+103.

【分析】(1)利用类比的方法得到第⑥个算式为r+23+33+43+53+63=212；

⑵同样利用类比的方法得到第〃个算式为心23+3,43+…+小卢4仔；

(3)将73+83+93+...+IO3转化为(l3+23+33+43+...+103)-(l3+23+33+43+...+63)后代入总结的规律求解

即可.

【解答】解：⑴①当〃=1时•，/=[2,即]3=[1><；+1)]2,

②"=2时，IJ*+23=32,即]3+23=[?X；彳+】)-]2,

③〃=3时，尸+23+33=62,即]3+23+§3=庐二_孝生2,

®n=40>bl3+23+33+43=102,BPlɜ+23+3ɜ+⅛3=2,

33332333332

⑤〃=5时，1+2⅛+4+5=15,BPI+2+3+4+5=卢Xi5±"],

333333x6+122

.∙.当〃=6时，1+2+3+4+5+6=Lθ^2^]=21>

故第⑥个算式为l3+23+33+43+53+63=212;

(2)根据(1)中的规律可得第〃个式子为：]3+23+33+43+...+n3=[rι×；+1)12；

(3)73+83+93+103

=(l3+23+33+43+...+103)-(l3+23+33+43+...+63)

_10×(10+1)-26×¢6+1)]2

Γ---------2---------]l-[r―2]

=552-212

=(55-21)X(55+21)

=34×76

=2584.

23∙（2022秋•工业园区校级期中）［实际问题］

某商场在“十一国庆”期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽

奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2

张、3张、4张、……等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖

券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

［问题建模J

从1,2,3,……，〃（〃为整数，且"26）这〃个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不

同的结果？

［模型探究］

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法.从1,2,3这3

个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

所取的2个整数1,21,32,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是3,最大是5,

所以共有3种不同的结果.

（1）从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果.

（2）从1,2,3,……，为整数，且”26）这〃个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3〃

-8）种不同的结果.

（3）归纳结论：从1,2,3,……,〃（〃为整数，且"N6）这〃个整数中任取5个整数，这5个整数

之和共有（5〃-24）种不同的结果.

［问题解决J

从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，

共有476种不同的优惠金额.

［问题拓展］

从3,4,5,……，〃（"为整数，且〃26）这"-2个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和

共有121种不同的结果，求”的值.（写出解答过程）

【分析】（I）根据整数的总个数”，与任取的。个整数，分别计算这“个整数之和的最大值、最小值,

进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

(2)根据整数的总个数小与任取的“个整数，分别计算这“个整数之和的最大值、最小值，进而得出

共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

(3)根据整数的总个数”，与任取的。个整数，分别计算这。个整数之和的最大值、最小值，进而得出

共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

【解答】解：(1)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，

则这2个整数之和最小值为：1+2=3,最大值为：4+5=9,

则这2个整数之和共有9-3+I=7种不同情况，

故答案为：7；

(2)从1,2,3,……，n(〃为整数，且"26)这〃个整数中任取3个整数，

则这3个整数之和最小值为：1+2+3=6,最大值为：n-2+n-∖+n=3n-3,

则这3个整数之和共有不同结果的种数为:3〃-3-6+1=(3n-8)种，

故答案为：(3n-8)；

(3)归纳总结：从1,2,3,……，〃(〃为整数，且〃26)这〃个整数中任取5个整数，

则这5个整数之和的最小值为：1+2+3+4+5=15,最大值为〃+(n-1)+(/;-2)+(n-3)+5-4)

=5n-10,

则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n-10-15+1=(5〃-24)种，

故答案为:(5«-24)；

问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽

取5张奖券，

则这5张奖券的和的最小值为：1+2+3+4+5=15(元)，最大值为：100+99+98+97+96=490(元)，

则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：490-15+1=476(种)，

故答案为：476；

问题拓展：从3,4,5,……,n(〃为整数，且这(〃-2)个整数中任取5个整数，

则这5个整数之和的最小值为：3+4+5+6+7=25,最大值为n+(n-1)+(/J-2)+(/J-3)+5-4)

=5n-10,

则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n-10-25+1=(5〃-34)种.

24.(2022秋•邛江区校级期中)［阅读理解］

我们知道，］+2+3+∙∙z=n(n+l),那么12+22+32+/结果等于多少呢？

2

在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…；

第〃行八个圆圈中数的和n∏+…+n，即〃2,这样，该三角形数阵中共有n（n+l）个圆圈,所有圆圈中

nφn2

数的和为l2+22+32+∙∙∙rt2.

［规律探究］

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的

数（如第n-I行的第一个圆圈中的数分别为n-I,2,〃），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为

由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（l2+22+32+

n(n+l)(2n+l),因此，/+22+32+…”2：=n(n+l)(2n+l)

2.一一6-1

第审-……Cλ

第2行……GKD

第3行……Θ¾κD

，/、、

/*、、

，♦/*\*

//\\

第n—］行—--{θ-θ)……——

第n行-∙-θ∖2√..........'……ɑʃθ

222事的结果为_叫.

［解决问题］根据以上发现，计算1+2+3+

l+2+3+∙∙

G)旋转G

Lk

⅛⅛盛二W

图2

第1行

第2行

【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的

和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的』，从而得出答案；

3

⅜×2022×(2022+1)X(2×2022+l)

【解决问题】运用以上结论，将原式变形为∙5--------------------------------------,化简计算即可

y×2022×(2022+1)

得.

【解答】解：【规律探究】

由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为1+2+〃=2〃+1,

由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：

3(l2+22+32+∙∙∙+n2)=(2n+l)×(l+2+3+∙∙∙+n)=(2n+l)×nt'n+1,|,

2

因此，i2+22+32+...+,2=n(2n+l)(n+1)；

6

故答案为：2〃+1,n(n+l)(2n+l)n(n+l)(2n+l)；

26

【解决问题】

⅜×2022×(2022+1)×(2×2022+1)

原式=J--------------------------------------=A×(2022X2+1)=⅛⅛-,

33

y×2022×(2022+1)