2024年高考数学二轮复习专题突破专题突破练9　三角恒等变换与解三角形（附答案）

专题突破练9三角恒等变换与解三角形一、单项选择题1.在钝角△ABC中,AB=2,sinB=32,且△ABC的面积是32,则AC=(A.3 B.2 C.7 D.32.若tanα2=13,则sinA.-13 B.-3 C.13 D3.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中R为△ABC外接圆的半径.若3asinA+3bsinB+4asinB=6Rsin2C,则sinAsinB-cosAcosB=()A.34 B.23 C.-23 D4.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin18°表示.若实数n满足4sin218°+n2=4,则1-sin18°8A.14 B.12 C.54 5.(2023·河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,则该三角形的形状一定是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.锐角三角形6.已知cosα+sin2β=32,sinα+sinβcosβ=13,则cos(α+2β)=(A.49 B.59 C.536 D7.小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到一个池塘边(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是()①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.(2023·河南郑州二模)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活,而所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图象,并从中提取出有效的识别信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度similarity为向量OA,OB夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知点P(sinα,cosα),Q(sinβ,cosβ),R(sinα,-cosα),若点P,Q的余弦距离为13,点Q,R的余弦距离为12,则tanαtanβA.7 B.17 C.4 D.二、多项选择题9.(2023·广东金山中学等四校联考)定义2×2行列式a1a3a2a4=a1a4-a2a3,若函数fA.f(x)的图象关于点π6,0中心对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)在区间0,π6上单调递增D.f(x)的最小正周期为π10.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4asin2A+B2=A.角C一定为锐角 B.a2+2b2-c2=0C.3tanA+tanC=0 D.tanB的最小值为311.(2023·广东深圳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sinA=45,cosC=210,则下列说法正确的是(A.cosA=±3B.B=πC.b=5D.△ABC的面积为7212.(2023·广东茂名模拟)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2,下列说法正确的是()图1图2A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍三、填空题13.已知△ABC的面积为23,AB=2,B=π3,则sinBsinC14.已知tanθ,tan(π4-θ)是方程x2+ax-3=0的两个根,则a=.15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,a2=2b2+c2,则△ABC的面积的最大值为.

16.现制作一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,工艺制造厂发现,若按此方案设计,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB=.

专题突破练9三角恒等变换与解三角形一、单项选择题1.C解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sinB=32,S△ABC=12acsinB=32,解得a=1,a<c,所以A为锐角.当C为钝角时,cosB=1-sin2B=12,b=a2+当B为钝角时,cosB=-1-sin2B=-12,故b=a2+c2-2ac·cosB=2.A解析因为sinα由于cosα=1-2sin2α2,sinα=2sinα2cos所以cosα-1sinα3.C解析由正弦定理asinA=b得sinA=a2R,sinB=b2R,sin代入3asinA+3bsinB+4asinB=6Rsin2C,得3a22R+化简得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-43ab所以cosC=a2+故sinAsinB-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC=-24.A解析15.C解析因为sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(2R为△ABC外接圆的直径),可得a2R·sinA+a2R·c=b2R·sinA+b·c2R,所以a(sin6.C解析由cosα+sin2β=32知2cosα-cos2β=2①,因为sinα+sinβcosβ=13,所以2sinα+sin2β=23②,将①②两个等式平方相加得4+1-4cos(2β+α)=4+49,解得cos(α+7.D解析根据题意,△P1P2D的三个角和三条边均可以求出,①中,CDsin∠DP1C=DP1sin∠DCP1,故CD=DP1sin∠DP1Csin∠DCP1,故①可以求出CD;③与①条件等价.②中,8.A解析由OP=(sinα,cosα),OQ=(sinβ,cosβ),OR=(sinα,-cosα),cos(P,Q)=OP·OQ|OP||OQ|=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β),cos(Q,R)=OQ·OR|OQ||OR|=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos(α+β),所以二、多项选择题9.CD解析由题意f(x)=cos2x-sin2x-3cos(π2+2x)=cos2x+3sin2x=2cos(2x-π3),对于A,将x=π6代入f(x)的解析式,得f(π6)=2cos0=2≠0,所以点(π6,0)不是中心对称点,错误;对于B,令x=0,得f(0)=2cos(-π3)=1≠2,所以y轴不是对称轴,错误;对于C,当x∈[0,π6]时,2x-π3∈[-π3,0],根据y=cosx的性质知f(x)在区间[0,π6]上单调递增,正确;对于D,由f(x)的解析式知ω=10.BC解析∵b-2a+4asin2A+B2=0,∴b-2a+4asin2π2-C2=0,∴b-2a+4acos2C2=0,∴∴b+2acosC=0,∴cosC<0,∴角C一定为钝角,A错误;b+2acosC=0⇒b+2a·a2+b2-c22ab=0⇒a2b+2acosC=0⇒sinB+2sinAcosC=0⇒3sinAcosC+cosAsinC=0⇒3tanA+tanC=0,C正确;tanB=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-2tan11.BC解析由题设sinC=1-cos2C=7210,则asinA=csinC,即c=72>a=4,故又a2+b2-2abcosC=c2,即16+b2-425b=整理得10b2-82b-85=(52b+17)(2b-5)=0,故b=52所以cosB=a2又角B为三角形的内角,所以B=π综上,△ABC的面积S=12bcsinA=12×故A,D错误,B,C正确.故选BC.12.ABD解析对于A选项,根据题意,题图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故A选项正确;对于B选项,由题知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=5314,∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1114,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=3314,所以由正弦定理得BB'sin∠BAB'=AB'sin∠ABB',解得AB'=5,因为BB'=AA'=3,所以A'B'=2,故B选项正确;对于C选项,不妨设AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得AB2=AB'2+BB'2-2AB'·BB'cos∠AB'B,代入数据得AA'=x=5-12,所以AB'=AA'+A'B'=5-12+1=5+12,BB'=AA'=5-12,所以AB'BB'=5+15-1=3+52,故C选项错误;对于D选项,若A'是AB'的中点,则S△ABB'三、填空题13.3解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则AB=2=c,S△ABC=12acsinB=12×a×2×32=∴b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×12∴b=23,∴14.-4解析因为tanθ,tanπ4-θ是方程x2+ax-3=0的两个根,所以tanθ+tanπ4-θ=-a,tanθtanπ4-θ=-3,Δ=a所以tanπ4=tanθ+π4-θ=tan15.23解析由余弦定理及题意可得a2=b2+c2-2bccosA=2b2+c2=4,所以cosA=-b2c,则sinA=4c2-b22c,16.π2解析由题意可知,四边形ABPQ为等腰梯形.如图,连接OP,过点O作OM⊥QP垂足为点M,交AB于点C,则OC⊥AB,OM平分∠AOB,M为线段PQ设∠AOC=θ,则AB=20sinθ,OC=10cosθ,设AQ=QP=BP=x,过点Q作QE⊥AB垂足为点E,过点P作PF⊥AB垂足为点F,因为∠PBA=∠QAB=60°,所以AE=BF=12x,CM=P