用空间向量求空间角

关于用空间向量求空间角复习回顾直线的方向向量:两点平面的法向量：三点两线一方程设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则(1)a·b＝

.

a1b1＋a2b2＋a3b3第2页,共22页，2024年2月25日，星期天设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n1、n2.则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔

⇔

.

⑵l1⊥l2⇔

⇔

.

⑶α∥β或α与β重合⇔

⇔

.

⑷α⊥

β⇔

⇔

.

⑸l∥α或l⊂α⇔

⇔

.

⑹l⊥

α⇔

⇔

.复习回顾a∥ba＝

tba⊥ba·b

＝

0n1∥n2n1＝tn2n1＝tan1∥an1⊥n2n1·

n2＝

0n1⊥

an1·a

＝

0第3页,共22页，2024年2月25日，星期天引例：求二面角M-BC-D的平面角的正切值；求CN与平面ABCD所成角的正切值；求CN与BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值

第4页,共22页，2024年2月25日，星期天范围：

一、线线角：异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：第5页,共22页，2024年2月25日，星期天xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小结①传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？第6页,共22页，2024年2月25日，星期天所以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：

所以：练习：第7页,共22页，2024年2月25日，星期天[悟一法]

利用向量求异面直线所成的角的步骤为：

(1)确定空间两条直线的方向向量；

(2)求两个向量夹角的余弦值；

(3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．第8页,共22页，2024年2月25日，星期天直线与平面所成角的范围：

结论：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOB第9页,共22页，2024年2月25日，星期天例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②

传统法第10页,共22页，2024年2月25日，星期天N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，练习：第11页,共22页，2024年2月25日，星期天N又在长方体中，练习：第12页,共22页，2024年2月25日，星期天[悟一法]

利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：

(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；

(2)求两个向量夹角的余弦值；

(3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.第13页,共22页，2024年2月25日，星期天二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10

lOAB三、面面角：第14页,共22页，2024年2月25日，星期天ll三、面面角：向量法关键：观察二面角的范围第15页,共22页，2024年2月25日，星期天①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例3.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第16页,共22页，2024年2月25日，星期天②B1A1C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角第17页,共22页，2024年2月25日，星期天[悟一法]

利用法向量求二面角的步骤

(1)确定二个平面的法向量；

(2)求两个法向量夹角的余弦值；

(3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现．第18页,共22页，2024年2月25日，星期天练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且

OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；第19页,共22页，2024年2月25日，星期天令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz第20页,共22页，2024年2月25日，星期天⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）

又∵OC⊥面AOS，∴