2023-2024学年陕西省高二年级上册册期末数学（文）试题（含答案）

2023-2024学年陕西省高二上册期末数学（文）试题

一、单选题

TT1

I.命题“若α=则CoSa=I”的逆命题是（)

ɪJirr1

A.若COSa=—,则a=—B.若a=^,则CoSaW].

23

1rrJr1

C.若coscc≠—,则a≠—D.若a≠一,则COSa≠一

23

【正确答案】A

【分析】根据命题“若。，则4”的逆命题为“若4,则P”即可得结果.

【详解】由于命题'若P,则洋’的逆命题为“若4,则P”,

TT11rr

故命题“若a=；,则CoSa=彳”的逆命题是“若CoSa=彳，则a=：”

3223

故选A.

本题主要考查了逆命题的概念，属于基础题.

2.下列是全称命题且是真命题的是（）

A.∀x∈R,x2>0B.Vx∈Q,x2∈Q

C.3Xo∈Z,x„>1D.Vx,y∈R,χ2+y2>O

【正确答案】B

【详解】主要考查全称量词和全称命题的概念.

解：A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题.故选B.

3.等轴双曲线的一个焦点是£（d,0）,则它的标准方程是（）

E-E=IDχ2

A.D,-----

181818

D.Z

C.

8888

【正确答案】B

先设方程，-J=1（。>0）,再利用焦点求参数m即得结果.

【详解】由题意知，焦点在X轴上，设等轴双曲线方程为捻-5=^〃〉。），.∙.∕+a2=62,

•••/=18,故双曲线方程为t-E=L

1818

故选：B.

4.已知函数〃X)的导函数为r(x),且满足"x)=2√'⑴+lnx,则/⑴=()

A.1B.—C.-1D.e

2

【正确答案】C

【分析】求得r(x),令X=1,即可求得结果.

【详解】因为F(X)=24'(l)+lnx,所以r(x)=2f'⑴+：,

所以r⑴=2(⑴+ι,解得r(ι)=τ.

故选∙C

5.“5=-1”是“直线ZnX+(2"Ll)y+l=0和直线3x+殁+3=0垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【正确答案】A

【分析】因为直线皿+(2m-l)y+l=0和直线3x+sy+9=0垂直，所以〃?=0或机=-1,再

根据充分必要条件的定义判断得解.

【详解】因为"直线mr+(2m-l)y+l=0和直线3x+∕ny+3=O垂直，

所以，*x3+(2,a-l)x，〃=0,.∙.2m2+2∕n=0,；.，"=0或Zn=-L

当Zn=-I时，直线∕nr+(2m-l)y+l=()和直线3x+w+9=0垂直;

当直线加v+(2m-l)y+l=0和直线3x+∕ny+9=0垂直时，机=-1不一定成立.

所以Zn=T是直线e+(2〃?-l)y+l=()和直线3x+叫+9=0垂直的充分不必要条件，

故选：A.

6.已知焦点在X轴上的椭圆：W+y2=l,过焦点作垂直于X轴的直线交椭圆于A,B两点,

a

且IABI=1,则该椭圆的离心率为()

A.无B,IC.巫D.立

2243

【正确答案】A

【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用IABl=1,求出。、b、c,然后求解离心率即可.

【详解】解：焦点在X轴的椭圆方程：^J-+√=1,焦点坐标(±册=1,0),不妨取二L

2..

―rZf=ιCl~1

可得--ɔ----1^1二1，解得a=2,

a~4

∖∣a2—iʌ/ɜ

椭圆的离心率为:e=--------=——

a2

故选：A.

7.已知抛物线V=8x,过点尸（3,2）引抛物线的一条弦，使它恰在点夕处被平分，则这条弦

所在的直线/的方程为（）

A.2x-y-4=0B.2x÷y-4=0

C.2x-γ+4=0D.2x+y+4=0

【正确答案】A

【分析】设直线与抛物线的交点坐标，代入抛物线方程点差法求解斜率，进一步利用点斜式

方程求出直线方程

【详解】易知直线/的斜率存在，设直线的斜率为总直线/交抛物线于M,N两点，

寸=83

设Ma,χ）,N（X2，%），贝人两式相减得才一¥=8（玉一Λ）,

货=8々2

y.-y8,、

整理得TI0=一1，因为例N的中点为p（3,2）,则y+%=4,

所以&=1⅛=g=2,所以直线/的方程为y-2=2（x—3）即y-2=2（x-3）.

故选：A

8.若基函数"X）=皿"的图像经过点&；，），则它在点A处的切线方程是

A.2x-y=0B.2x+y=0

C.4x-4y÷l=0D.4x+4y+l=0

【正确答案】C

【详解】试题分析：∙∙∙∕（x）=Sa经过点的幕函数，所以m=l,α=g,所以

f（χ）MJ'（x）=A>

则它在点A的切线方程为4x-4y+=0,故选C

本题考查基函数以及用导数研究函数的切线

点评：解决本题的关键是掌握暴函数的定义，以及导数的几何意义

9.已知“4上M+lnx对于Xe：,2恒成立，则实数。的取值范围是（）

2

XL.

A.(-∞,1)B.(—∞,θ]C.(-∞,1]D.(-oo,2)

【正确答案】B

【分析】α≤Ld+hu∙对于x∈-,2恒成立转化为α≤∕GL,求出了QLI即可得出答案•

X_乙

1—γ—11V—1

【详解】令/(x)=T+lnx,/'(x)=]+：=学，

令/'(x)=0,解得：x=l,

当Xe时，r(x)<O,当xe(l,2]时，制冷>0,

所以f(x)在上单调递减，在(1,2]上单调递增，

所以F(XL=片1)=。，

1_ɪ-1

因为α≤-+Inx对于Xe-12恒成立，所以α≤“4面，即n≤0.

X一乙

故选：B.

10.已知曲线/(*)=*3+加+以+1在点(IJ(I))处的切线斜率为3,且X=：是y=∕(x)的极

值点，则函数的另一个极值点为()

A.—2B.1C.——D.2

【正确答案】A

【分析】根据题意可知/⑴=3J'O=

0,可解出。力，再求出另外一个极值点即可.

√γi)=3+2^+⅛=3

ʌ∖ra=2

【详解】f'(x)=3x2+2ax+b,由题意有,/2、1,12丫c2,八，解得％.,

Hd=3xU+2v+z,=°J

ɔ

所以八X)=3∕+4X-4=(3X-2)(X+2),令/'(X)=。，解得x=-2或X=：,所以函数的另

一个极值点为-2.

故选：A.

22

ɪ1.已知双曲线m"=1(α>1,6>0)的焦距为2c,若点(TO)与点(1,0)到直线：

4

距离之和为S,且S≥yc,则离心率e的取值范围是

[a网CPF'"]D∙序有

A.[√2,√7]B.

【正确答案】D

直线/的方程是土-；=1.点(I,0)到直线/的距离4,点(-1,0)到直线/的距离42,

ab

4

S=4+4以及由5≥-c,求出e的取值范围.

【详解】直线/的方程为是土-；=1,即bx-αy-H=0.

ab

由点到直线的距离公式，且α>l,得到点ɑ,0)到直线/的距离4」)"”,

y∣a2+b2

2ba_Iab

同理得到点(-1,0)到直线/的距离.

yJa2+⅛2C

42ah4_____

由S≥Mc,即――NWC得SyJ1c2-a2∙α≥2∕.

于是得4/一25/+25WO.

解不等式，得7≤^2≤5∙

4

由于e>l,

所以e的取值范围是eey--√5

故选。.

本题主要考查双曲线的基本性质,点到直线距离公式，以及综合运算能力,是中档题

12.已知函数/(x)满足/(x)=f(τ),且当x∈(γ>,0］时，f(x)+v'(X)VO成立,若

06α6

α=(2)√(2),/,=(ln2)√(ln2)1Iog2ɛI.则”，从C的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【正确答案】B

【分析】构造函数g(x)=x∙∕(x),利用奇函数的定义得函数g(x)是奇函数，再利用导数研

究函数的单调性，结合1%：<0<1112<1<尹，再利用单调性比较大小得结论.

O

【详解】因为函数“X)满足/(X)于■(一),且在R上是连续函数，所以函数“X)是偶函数,

令g(x)=x√∙(x),则g(x)是奇函数，且在R上是连续函数，则g'(x)=∕(x)+x∙∕'(x),

因为当Xe(Y),0］时，/(x)+^'(x)<O成立，即g")<0,所以g(x)在Xe(YO,0］上单调递

减,

又因为g(x)在R上是连续函数，且是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，

则α=g(2°6),b=g(Jn2),c=^θog2∣J,

因为Zoe>[,0<ln2<l,log,ɪ=-3<0,

O

所以Iθg2"<θ<ln2<l<2α6,所以C∙>%>4,

故选：B.

关键点点睛：本题考查的是比较大小问题，涉及到的知识点包括函数的奇偶性以及利用导数

研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g(χ),属于中档题.

二、填空题

13.若/'⑵=3,则1加〃2+2词-〃2)=

ΔA→0ΔX

【正确答案】6.

根据导数的极限定义即可求解

[≡],im∕(2÷2^)-∕(2)^lim∕(2+2Ay)-∕(2)^z

-ArʌVTO2∆x

故6

本题主要考查了导数的定义，属于容易题.

14.关于X的不等式依2+依+1>()在口上恒成立，则。的取值范围是.

【正确答案】0≤α<4

【分析】分a=0、aHθ两种情况讨论，在α=0时，直接验证即可；在aHθ时，根据题意

可得出关于实数。的不等式组，综合可得出实数。的取值范围.

【详解】当a=0时，则有1>0,合乎题意；

[α>0—

当αwθ时，贝叫A2λn>解得0<a<4.

综上所述，实数。的取值范围是0≤α<4.

故答案为∙()≤α<4

15.已知点尸是抛物线y=亍上的动点，点P在X轴上的射影是点。，点4的坐标是(4,3),

则IPAl+∣PQl的最小值为

【正确答案】2石-1##-1+2若

【分析】需考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，由于在抛物线中P到准线的距离

等于P到焦点F的距离，此时问题进一步转化为∣P∕η+∣B4∣距离之和最小即可，显然当尸、A、

F三点共线时∣PQ+∣∕¾∣距离之和最小，由两点间距离公式可得答案.

【详解】由题意可得：抛物线y=工的焦点尸(0,1),准线y=-l,

4

过点P作准线的垂线，垂足为。，则有

IF+∣P0∣=∣PA∣+∣POIT=IPAl+lPFlT≥IA尸I-I=J42+(3-1)2=2石-1,

.∙.∣PA∣+IPQl的最小值为2逐-1.

故答案为.2万-1

三、双空题

16.已知函数/(x)=e'+αlnx-x"—x(4>0),(e为自然对数的底数，e=2.71828…)，

当α=2时，函数/(x)在点尸(IJ⑴)处的切线方程为；若"x"0对

Vxe(l,+∞))成立，则实数“的最大值为.

【正确答案】y=(e-l)x-le

【分析】求出导函数/'(X)，计算/'⑴得切线斜率，由点斜式得切线方程并化简，不等式

/(x)≥0进行同构变形为lnx"-x"Nlne'-e*,引入函数，Mr)=InfT,「>1,由导数得其单

调性，不等式转化为∕≤e3取对数参数分离〃≤-,再引入函数夕(力=丁匚">1),由

InxInx

导数得其最小值，从而得参数范围、最值.

2,v

【详解】由题意当4=2时，/(x)=e∙'+21nx-x-x,∕(x)=e+^-2x-l,

则/⑴=e—2,Γ(l)=e-1,

所以函数/(x)在点P(IJ⑴)处的切线方程为y-(e-2)=(e-l)(x-l),即

y=(e-l)x-l.

因为Xe(I,+x),f(χ)≥O,即e*+αlnx-x"-x≥O,则Inyl-X"≥Ine，一e',

令加⑺=InfT,r>l,加⑺=；-1=一■<()在(l,+∞)上恒成立，

故加⑺在(l,+∞)上单调递减，故x"≤e*,得HnX≤x,即三，

记e(χ)=自(χ>ι),则°,(X)=书T∙(χ>ι),

当XW(I,e)时,^,(x)<0,e(x)单调递减，当xe(e,+w)时，^,(x)>O,R(X)单调递增,

故夕(x)的最小值是θ(e)=e,故aWe,即实数”的最大值是e.

故y=(e-l)x-1；e.

四、解答题

17.(I)已知某椭圆过点(2√Σ,2),(-2,n),求该椭圆的标准方程；

(2)求与双曲线?-工=1有共同的渐近线，经过点M(_#,2)的双曲线的标准方程.

86

2222

【正确答案】(1)—+ɪ=1；(2)—-ɪ=1.

16834

【分析】(1)设椭圆方程为妙2+"y2=],代入(2&,2),(-2,#),求出血"的值即可;

⑵设所求的双曲线方程为£-工=〃2*0),代入M(-6,2),求出4的值即可.

86

【详解】解：(1)设椭圆方程为加？+〃y2f,

⑻%+4〃=111

则有L久1，解得加=77，〃=%，

[4AΠ+6H=1168

r2V2

・・・椭圆方程为匕+j=l;

168

22

(2)Y所求双曲线与双曲线匕-土=1有共同的渐近线，

86

・•・设双曲线的方程为工=”∕l≠0),

86

L46

曲线经过点M(一6,2),工—--=λ，

86

解得2=-3，

->2

所求双曲线的方程为三-匕=L

34

18.已知命题〃：函数y=l。g2[4χ2+4(m-2)x+l]的定义域为R,命题心对任意实数

X,y=(2m-b)∙t是增函数;

(1)若P是4的充分不必要条件，求6的取值范围；

(2)当6=3时，若“Pvq”为真命题，“pAq”为假命题，求机的取值范围.

【正确答案】(1W≤1

(2){加I加≥3或1</n≤2}.

【分析】(1)分别求出。,夕关于m的式子，再根据。是<?的充分不必要条件，求h的取值范

围即可;

(2)先根据“Pvg”为真命题，“pA4，，为假命题，判断P,q一真一假，再根据真假求，”的

取值范围.

【详解】(1)命题P：函数y=log2[4∕+4(加-2)x+l]的定义域为R,

即“+4(/〃-2卜+1>0在口上恒成立，

即16(m-2>-16<0,得

对于命题4：y=(2%-6),是增函数，

所以2,"-6>l,m>"ɪ,

2

因为。是4的充分不必要条件，

所以等41,所以641；

(2)因为命题PV〃为真命题，。八9为假命题，；.PM一真一假,

命题P为真：l<m<3,

命题4为真.⅛=3,.∙.m>2

Jm>2m≤2

即j加≤1或机≥3"j1<，”<3

解得m≥3或l<mV2,

故”?的取值范围为{"∣wN3或l<m≤2}

19.已知函数/(x)=χ3-34x-l在A-I处取得极值.

(1)求实数〃的值；

(2)当x∈[-2J时,求函数f(χ)的最小值.

【正确答案】(1)1；(2)-3.

【分析】(1)求导，根据极值的定义可以求出实数。的值；

(2)求导，求出xe[-2,l]时的极值，比较极值和，(-2)、/⑴之间的大小的关系，最后求出

函数的最小值.

【详解】(1)/W=X3-30r-1=>f∖x)=3x2-3a,函数/(x)=Y-3Or-I在X=-I处取得

极值，所以有/(T)=0n3(-l)2-3a=0n4=l;

(2)由(1)可知：/(x)=x3-3x-l=>f(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

当xw(-2,T)时,f(x)>O,函数/(x)单调递增，当XW(T,1)时,/(x)<0,函数/O)单调

递减，故函数在尸-1处取得极大值，因此"-1)=(-1)3-3X(-1)-1=1,

/(-2)=(-2)3-3X(-2)-1=-3,/(1)=13-3×1-1=-3,故函数Jr(X)的最小值为一3.

本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

ɔ2

20.若椭圆E:「+多=l(a>6>0)过抛物线炉=4)，的焦点，且与双曲线/-丁=1有相同

ab

的焦点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)不过原点。的直线/：y=x+机与椭圆E交于A,B两点，当ɑθAB的面积为且时，求直

2

线/的方程.

【正确答案】⑴5→V=I

(2)y=x+∙∕2,y=X-∖∣2.

【分析】(I)根据所给的条件，即可求出椭圆方程；

(2)联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出九

【详解】(1)抛物线V=4y的焦点为(0,1),双曲线/-丁=1的焦点为(-6θ)或(夜,0),

b=∖

依题意可得又°2=/一/，所以/=3,

c-Λ∕2

所以椭圆方程为%

(2)根据题意,设点A(%,yJ,B(x2,y2),

X=3,消去y得,

联立直线方程与椭圆方程可得，

y=x+m

2

4nvc+6nvc+3nΓ-3=O>艮lɜ得％+W=一半，x↑x2

由弦长公式可得IAM=0审考Rɪ,

=争叫

由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为，d=

所以SA0A"=g∙d∙∣AM=gx^x∣"小孝XJ12-3∕√=；XJ-3®2_2『+i2=#,

当且仅当病=2,即机=±夜时，Q48面积取得最大值为半，

此时直线/的方程为y=x±√L

21.已知函数/(X)=Inx-?其中αeR,

(1)当α=2时，求函数/(x)的图象在点(IJ⑴)处的切线方程；

(2)如果对于任意Xe(LE),都有〃x)>-x+2,求。的取值范围.

【正确答案】(1)3x-y—5=0；(2)a≤-l.

【分析】(1)当α=2时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数/(x)的图象在点

(IJ(I))处的切线方程；

(2)对于任意X∈(1,M),都有"x)>-x+2,等价于α<χlnx+χ2-2χ恒成立，构造函数

2

g(x)=xlnx+x-2Λ-t利用导数求出其最小值即可

【详解】⑴解：当α=2时，由已知得"x)=lnx-｝故f(x)=：+/,

所以/'(1)=1+2=3,又因为*l)=Inl-j=-2,所以函数"x)的图象在点(IJ⑴)处的切

线方程为y+2=3(x-l),Bp3x-y-5=0;

(2)解：由x+2,得InX—>—X+2,又x∈(l,+∞),

X

故α<xlnx+x2-ZX-

设函数g(x)=xlnx+χ2-2x,

贝IJg[x)=lnx+x，+2x-2=lnx+2x-l.

因为XW(I,+∞),所以InX>0,2x-l>0,

所以当x∈(l,+∞)时,g'(x)=lnx+2x-l>0,

故函数g(χ)在(1,+?)