练习12：空间向量与距离、探究性问题-2023届高三数学二轮复习（含答案）

微专题强化练12空间向量与距离、探究性问题

1.(2022•山东联考)如图,在正四棱柱ABCD-AIBiGDl中，AB=},E为Ccl的中点.

⑴当AAl=2时,证明：平面8DE_L平面AiBiE.

(2)当AAi=3时，求Al到平面8。E的距离.

2.(2022.聊城质检)如图，在正四棱柱ABC。-4B∣CQ∣中，AAl=2AB=2,E,尸分别为棱A4,

CG的中点，G为棱。。上的动点.

(1)求证：B,E,D∖,厂四点共面；

⑵是否存在点G,使得平面GEFJ_平面BEF?若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理

由.

3.(2022.湖北七市联考)如图所示，在四棱锥P-4BC。中，底面48CD为正方形，底面

ABCD,PA=AB,E,F分别为线段P8,BC上的动点.

(1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF，平面P3C；

⑵若BE=巾BF,且平面AEF与平面PBC夹角的余弦值为试确定点F的位置.

4.(2022・长沙十六校联考)如图，在四棱锥P-ABCQ中，是以AO为斜边的等腰直角三

角形，BC//AD,AB1.AD,AD=2AB=2BC=2,PC=√2,E为尸。的中点.

(1)求直线PB与平面λ¾C所成角的正弦值；

(2)设F是BE的中点，判断点F是否在平面∕¾C内，并证明结论.

参考答案

1.(1)证明当AAl=2时，BIE=也,BE=小,

所以B∣E2+B£2=BBh

所以BlEl.BE

又AIBlJL平面BCCiBl,

则Alβl±BE.

因为A∣Bι∩SE=Bi,Alβl,

BiEc平面AiBlE,

所以BEI.平面A∣βlE,

又BEU平面BDE,

所以平面BOEl,平面A∣B1E.

(2)解以D为原点、,DA,DC,所在直线分别为X,y,Z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

3

-

则D(0,0,0),B(l,l,0),4(1,0,3),£(0,2

所以加=(1,1,0),OE=(0,1,学厨=(1,0,3).

设平面8。E的一个法向量为〃=(X,y9z),

n-DB=0,x+y=°,

则即ɪ3n

Λ5E=O,卜+呼=0,

不妨令z=2,贝IIy=—3,x=3,得∕ι=(3,—3,2).

99√22

故Ai到平面BDE的距离＜1==赤=22-

2.(1)证明如图所示，连接DIE,D1F,取BBl的中点为M,连接MG,ME,因为E为

44ι的中点,

所以EM∕∕A↑B∖∕∕C∖D∖,

且EM=AlBl=CIDI,

所以四边形EMeIDl为平行四边形，所以OIE〃MC”

又因为F为CG的中点，

所以8M〃CiF,且BM=CI尸，

所以四边形BMG尸为平行四边形，

所以B尸〃MC1,所以BF〃/)∣E,

所以B,E,Di,尸四点共面.

(2)解以。为坐标原点，DA,DC,分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，如

假设存在满足题意的点G(0,0,f)(0≤f≤2),由已知8(1,1,0),E(l,0,l).F(O/』),

则祥=(-1,1,0),EB=(0,l,-1),启=(~l,0,Ll),

设平面BEF的一个法向量为“ι=(x∣,yι,z∣),

nι∙EF=0,ClJ-Xl+»=0,

即，

(n∣∙EB=0,Jl-Zl=O,

取Xi=I,则"1=(1,1,1)；

设平面GEF的一个法向量为"2=(X2,y2‹Z2),

m-EF=0,

则J一

B2∙EG=0,

f-X2÷y2=0,

即V

|一χ2+(Li)z2=0,

取X2=L1,则〃2=(L1,Ll,l)∙

因为平面GE凡L平面BEF,

所以nm2=0,

即，-1+f—1+1=0,解得r=/.

所以存在满足题意的点G,使得平面GEPL平面2EF,OG的长度为;.

3.(1)证明由彻，底面ABer>,可得力_LBC,

又在正方形ABCQ中，BC±AB,

KPAHAB=A,PA,ABU平面∕¾8,

则BC，平面∕¾B,又AEU平面∕¾8,所以8C_LAE

由∕¾=A8,E为PB中点，可得AE_LP8,

又PBCBC=B,PB,BCU平面PBC,

则AE_L平面PBC,又AEU平面AEF,从而平面AEF_L平面PBC.

⑵解以A为坐标原点，AB,AD,AP分别为X,y,Z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

设AB=I,则4(0,0,0),B(1,O,O),C(l,l,0),D(0,1,0),P(0,0,l)∙

由(1)可知〃1=G，0,，为平面PBC的一个法向量.

由BE=巾BF,可知EF//PC,

设标=/1於，BE=λBP,

则访=(0,λ,0),BE=(-λ,0,λ),

可得/=疝+而=(1,λ,0),

AE=AB+BE=(l-λ,0,2).

设平面AEF的一个法向量为"2=(x,y,Z),

In?-AF=O,

叫_

［篦2∙AE=0,

∫x+Ay=O,

°[(1-2)x+2z=0,

取y=l,则x=—2,z=l-A,

即"2=(—A,1,1—2).

,,-ɪ-,I/、I∣"∣∙"2∣∣1~2Λ∣范

从而‘由即劭'〃"=丽=XM2-2=5

解得2=；或％=|,即尸在BC的三等分点处.

4.解(1)在直角梯形ABCo中，

由已知可得AC=&,CD=√2,

：.AC2+CD1=AD2,：.ACLCD,

又△?!£>尸是以A。为斜边的等腰直角三角形，；.用=PO=√5,

如图，取AQ的中点。，连接OC,OP,

则OC=OA=Oz)=1,OP=1,

则

NPOA=NPoC=NPOD=90°,

ΛOPLAD,OPA.OC,

而OCelAO=。，OC,ADU平面ABC£),ABCD,

因此以AB,AO为X轴、y轴，过点A作平行于O尸的直线为Z轴建立空间直角坐标系，如

图，

则40,0,0)，B(1,0,0),C(1,1,O),Q(0,2,0),P(O,1,1),Λ>=(O,1,1),Ab=(1,1,0),

设平面B4C的一个法向量为"=(x,y,z),

In∙ΛP=O,[y÷z=O,

则即二n

LrAC=O,Im，

取y=—1,则X=Z=1,即”=(1,—1,1),

又丽=(-1,1,1),

设直线PB与平面∕¾C所成角为θ,

.'.sin0=∣cos〈BP,n't∣

|BP-n|_|-l-l+l|_l

∣B∕,∣∣∏∣小X#ɜ'

，直线P8与平面∕¾C所成角的正弦值为

(2)点尸在平面外C内，证明如下:

由(1)可得40,,赤=&3η

4,4Jf

设崩=嬴+yA>,

则&4