行列式性质展开定理

关于行列式性质展开定理行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.第2页,共32页，2024年2月25日，星期天3210156201733210例1=_____.3210

156201733210

3210

156201733210

=

3210321032103210推论.

若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.

行列式的性质0第3页,共32页，2024年2月25日，星期天

a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann性质3

行列式某一行的公因子可以提取出来.行列式的性质=k第4页,共32页，2024年2月25日，星期天ka11ka12…ka1n

ka21

ka22…ka2n…………kan1

kan2…kanna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=___.kn

思考：第5页,共32页，2024年2月25日，星期天性质3行列式某一行或列的公因子可以提取出来.a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………推论1

如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0.推论2

如果D中有两行(列)成比例，则D=0.行列式的性质第6页,共32页，2024年2月25日，星期天性质4

若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.行列式的性质第7页,共32页，2024年2月25日，星期天a+u

b

+v

c

+

x

d+y

=[].+a

b

c

d

(A)

u

v

x

y

例2.

+u

b

x

d

(B)u

v

x

y

+a

b

c

d

a

v

c

y

+a

b

+vc

d+yu

b+v

x

d+y

B第8页,共32页，2024年2月25日，星期天行列式的性质性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…aj1…an1

a12…ai2…aj2…an2

a1n…ain…ajn…ann

……………

……a11…ai1+kaj1…aj1…an1a12…ai2+kaj2…aj2…an2a1n…ain+kajn…ajn…ann…………………=.第9页,共32页，2024年2月25日，星期天要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算。为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交换行列式的第i行与第j行，用rirj表示；行列式的计算row(行)column（列）第10页,共32页，2024年2月25日，星期天abcda+cb+dcda+cb+d

a

br1+r2abcd

abc

ad

b

cdc

ad

br1+r2r2

r1r2

r1为了不引起混淆,每步最好只进行一个操作.例如:第11页,共32页，2024年2月25日，星期天例3.

计算行列式解：=-85.第12页,共32页，2024年2月25日，星期天例4.

计算行列式解：第13页,共32页，2024年2月25日，星期天例5.

计算行列式解：将各行都加到第一行，从第一行提取[x+(n-1)a],得第14页,共32页，2024年2月25日，星期天第15页,共32页，2024年2月25日，星期天解：例6.

计算行列式Oh!Iloveit!第16页,共32页，2024年2月25日，星期天第17页,共32页，2024年2月25日，星期天一、余子式与代数余子式

定义1

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41

a13a23a43

a14a24a44

M32

A32

(-1)3+2M32=-M32令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.2.2行列式按行(列)展开第18页,共32页，2024年2月25日，星期天

一、余子式与代数余子式

定义1

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij.令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13第19页,共32页，2024年2月25日，星期天

定理1

n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即

定理2

n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin

(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj

(j=1,2,

,n).ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j).二、展开定理第20页,共32页，2024年2月25日，星期天

例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开13311-2311-213

a11A11

a12A12

a13A13D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.三、利用展开定理计算行列式第21页,共32页，2024年2月25日，星期天按第二列展开1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18.

例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开

a11A11

a12A12

a1nA1n

D=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32

D第22页,共32页，2024年2月25日，星期天解：将某行(列)化为仅有一个非零元素后展开例2．计算行列式

1234120

-53

-1

-10

1012D==(-1)(-1)3+2

7147

-2

-5

112

60290

-1

112=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.701

470

-2

-53-1

-1

0101

2

123412