高考数学解析几何-第08讲 最值与范围问题

高考数学解析几何

第08讲最值与范围问题

知识与方法

解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两类方法：

一是几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定

义和平面图形的有关性质来求解；

二是代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的

方法求出最值或值域.下面是常见的求函数值域的方法：

⑴基本不等式法；

(2)导数法；

(3)判别式法；

(4)换元法;

(5)配方法；

(6)三角函数有界性；

(7)函数单调性.

典型例题

类型1：两点间距离的最值

【例1】在平面直角坐标系XOy中，点做一1,0),点P是椭圆9+y2=1上

的一个动点，则∖PA∖的最大值.与最小值的积为.

类型2：点到直线距离的最值

［例2］已知椭圆+y=1,直线L4x—5y+40=0.试在椭圆上找一点,

使得它到直线I的距离最小，并求出这个最小距离.

类型3：距离之和（差）的最值（化折为直）

【例3】以椭圆［+9=1的焦点为焦点，过直线l∙.x-y+9=0上一点M

作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.

22

【例4】（1）如果M是以A、B为焦点的椭圆⅛∙+⅞∙=l上任一点，若点

M到点CG,1）与点B的距离之差为m,则m的最大值是

（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆£+4=1上任一点，若点M到点

43

eɑ,l）与点B的距离之和为n,则n的取值范围是。

类型4：距离之积的最值问题(投影转化)

v2

【例5】已知圆C∙.(x-I)2+(y-I)2=2,椭圆∏y+y2=1,过原点。的

射线I分别与圆C、椭圆Γ交于M,N两点，点M不同于点0,则∖0M∖-

∖0N∖的最大值是.

类型5：与角度有关的最值问题

22一

【例6】MN分别是椭圆ɪ-+⅛=1的左、右焦点，直线l:x=2√2是椭圆

142

的一条准线，点P在［上，则乙MPN的最大值是.

类型6:与三角形(四边形)面积有关的最值问题

【例7】已知抛物线C-.x2=4y,A,B,P为抛物线上不同的三点.

(1)当点P的坐标为(2,1)时，若直线AB过抛物线焦点F且斜率为1,求

直线AP1BP的斜率之积；

(2)若AABP为以P为顶点的等腰直角三角形，求XABP面积的最小值.

y

【例8】已知枚圆C=⅛+⅛=l(α>b>O)的离心率为ɪ过其右焦点F且

巨产螃直的直线交椭圆C于P、Q两点，椭圆C的右顶点为R,且满足

∖RP+RQ∖=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为k(其中∕c≠0)的直线I过点F,且与椭圆交于点4、B两

点，弦AB的中点为M,直线OM与椭圆交于点C、D两点，求四边形

ACBD面积S的取值范围.

类型7:与定点有关的最值问题

2

【例9】已知抛物线C-.y=X上一点M(L-I),点A1B是抛物线C上的两

动点，且MA-MB=O,则点M到直线AB的距离的最大值。

类型8:与定值有关的最值问题

γ2C

2

【例10】设P的为椭圆γ+y=l上一点，A1B分别为椭圆的右顶点与上

顶点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与久轴交于点N.则+ɪ

的最小值为

类型9：与向量定比分点有关的范围和最值问题

22

【例11】已知动点P与双曲线合一彳=

1的两个焦点F11F2的距离之和为定值，

1

且COSZFIPF2的最小值为一§.

(1)求动点P的轨迹方程；

⑵若已知D(0,3),M,N在动点P的轨迹上且DM=λDN,求实数λ的取值

范围.

类型10：与对称有关的最值与范围问题

22

【例12］已知椭圆C4+⅛=1,试确定m的取值范围，使得对于直线

43

±y=4%+τn,椭圆C上宥不同的两点关于该直线对称.

参考答案

类型1：两点间距离的最值

v2

【例1】在平面直角坐标系XOy中，点/(一LO),点P是椭圆γ+y2=1上

的一个动点，则∖PA∖的最大值.与最小值的积为―

【答案】√6

v2

【解析】设点P的坐标为(x,y),则-2≤x≤2,y2=

.∙.∖PA∖=√(x+I)2+y2=Jx2+2x+l+l-^∙=J9+2%+2=

J港+丁+|.

当x=—3时，∣P∕∣取最小值g;当％=2时，上4取最大值3.

因此，∖PA∖的最大值与最小值的积为3×=√6.

故答案为：√6.

【注】将距离问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，特别要注意x∈

[-2,2].

类型2：点到直线距离的最值

22

【例2】已知椭圆会+⅞∙=1,直线∕=4x-5y+40=0.试在椭圆上找一点,

使得它到直线I的距离最小，并求出这个最小距离.

【答案】(一4,3)

【分析】作出直线/及椭圆.观察图形，可以发现，利用平行于直线I且与椭圆

只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.

【解析】解法1:

由直线I的方程与椭圆的方程可以知道，直线I与椭圆不相交.设直线m平

行于直线I,则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0.

4x—5y+k=O

由方程-且+2L=ɪ(1)消去y,得25/+8kx+k?-225=O(2)

O

令方程(2)的根的判别式△=0,得25X*23+64∕C2-4×25(/_225)=0(3)

解方程(3)得∕c1=25,或心=-25.由图可知，当k=25时，直线m与椭圆

的交点到直线I的距离最近,此时直线m的方程为4x-5y+25=0.直线

m与直线I间的距离d='↑025'=—V41.

√42+5241

方程(2)即25/+8x25%+400=0,解得X

=一4,方程组⑴的解为Pɪ^4.

故椭圆上的点(-4,3)到直线的距离最小，且最小值为i∣√4l.

解法2:

设椭圆上任意一点为P(5cosO,3sin8),则P到直线/:4x-5y+40=0的距

离

∣4×5cosθ—5×3sinθ+40∣5(4cosθ—3sinθ)+40

d=

V42+52√41

4

25cos(0+<p)+40COS(p=g

3

√41sinφ=—

ɔ

当cos(0+φ)=-1即θ+φ=2kπ+π(k∈Z)时，d取得最小值,

cos。=一CoS8=一士

5

3,即P(-4,3),dmin=⅛√41.

{sinθ=sinφ=-41

【注】本题解法一利用数形结合，将直线平移至与椭圆相切的位置，则两平行线

间的距离就是椭圆上的点到直线I的距离的最大值或最小值.解法二则利用椭

圆的参数方程设点，将点到直线的距离用三角函数表示，结合辅助角公式求得

最小值，体现了“最值问题，函数思想

类型3：距离之和（差）的最值（化折为直）

22

【例3】以椭圆器+彳=1的焦点为焦点，过直线l∙.x-y+9=O上一点M

作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.

22

【答案】（一5,4）,椭圆方程为a+9=1

4536

【解析】解法1:

如图所示，椭圆1+?=1的焦点为&（一3,0）,尸2（3,0）.点Fl关于直线

l∙.x-y+9=0的对称点F的坐标为（一9,6）,直线FF2的方程为x+2y-

3=0.解方程组E+fK3Λ°,得交点M的坐标为（-5,4）.此时IMFl1+

∣MF2∣最小,所求椭圆的长轴2a=IMFIl+∖MF2∖=∖FF2∖=6√5,

・•・a—3>∕5,又C=3,・•.b2=a2—c2=（3>∕5）2—32=36.

22

因此，所求椭圆的方程为^-+⅛=1.

4536

解法2:

22

设椭圆为+1,与直线方程Lx-y+9=0联立并消去y得：

QZQ-9

(2α2-9)x2+18a2x+90a2—a4=0,

由题设Δ=(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)≥0

a4-54a2+405≥0a2≥45或a2≤9,∙.∙9a2-9>0,：-a2≥45

22

故ɑmin=3圾,得(2a)=6√5,此时幡圆方程为ɪ-+=1.

min4536

解法3:

22

设椭圆⅛+4LT=1与直线∕=χ-y+9=0的公共点为

QNaz-9

M(QCoSa,√a2—9sina),

则αcosa-∖a2—9sinα+9=0,即√α2—9sina—acosa=9有解.

______99

vy∕2a2—9sin(a—φ)=9=>sin(a—φ)=-,ʌ`,--------≤1

√2a2-9√2α2-9

√2a2-9≥9≠>a2≥45≥9,

.∙.故amin=3√5,得(2a)min=6√5,此时敝圆的方程⅛+⅛=1.

4536

【注】本题从几何、代数和三角三个角度进行求解.解法1是按照椭圆的定义，

问题转化为在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)

的距离之和最小，利用对称的知识就可解决；解法2联立直线与椭圆方程，利

用判别式大于或等于0来求解；解法3则利用了三角函数的有界性.

22

【例4】(1)如果M是以/、B为焦点的椭圆v+⅛=1上任一点，若点

43

M到点C(∣,l)与点B的距离之差为m,则m的最大值是。

(2)如果M是以4、B为焦点的椭圆?+?=1上任一点，若点M到点

eɑ,l)与点B的距离之和为Ti,则n的取值范围是。

【解析】(DIlMCLlMBIl≤∖BC∖=今延长CB与椭圆交于点D,

则当“与。重合时，m取得最大值

⑵做一Lo),C&1)，连结M4,由椭圆定义可得：

∖MB∖+∖MC∖=2a-∖MA∖+∖MC∖=4-(IM用-∖MC∖~)

由∖∖MA∖-∖MC∣∣≤|砌=综得一写《∖MA∖-∖MC∖≤亨,

所以4——ɪ-≤IMBl+IMCl≤4+

当且仅当A,M、C三点共线时，n取得最大、最小值，如上图所示.

故rιe∣4—手，4+手］.

【注】本题利用了三角形任意两边之差小于第三边，需要注意的是等号能否取到.

类型4：距离之积的最值问题(投影转化)

2

【例5】已知圆C-.(%-I)2+(y-I)2=2,椭圆V∙.v-+y2=1,过原点。的

射线I分别与圆C、椭圆「交于M1N两点，点M不同于点0,则∖0M∖-

∖0N∖的最大值是

【答案】2√3

【解析】解法1:投影转化+辅助角公式

如图所示，延长OC与OC交于点P,则P(2,2),设Ng,y0),

连结PM,因为OP是OC的直径，所以PM1OM,

结合向量数量积的几何意义(投影)可得∖0M∖-∖0N∖=OMON=OP-ON=

2x0+2y0

x-)

注意到，+羽=1,令(°夜US则2久0+2y0=2(√2cosθ+sinθ)=

2Ix0=sinU

2√3sin(0+φ)≤2√3,其中tan<p=√2,故IOMl•|。Nl的最大值为2√3.

解法2:柯西不等式

22

由柯西不等式得以+y0)=(√2-ʒj+1∙y0)≤[(λ∕2)+[e)+y^o=

3,

所以X0+y0≤√3，于是∖0M∖-∖0N∖=2x0+2y0≤2√3,

故∖0M∖-∖0N∖的最大值为2√1

类型5：与角度有关的最值问题

22_

【例6】M.N分别是椭圆⅛+⅛=l的左、右焦点，直线Zιx=2√2是椭圆

42

的一条准线，点P在，上，则乙MPN的最大值是

【答案】；

6

【解析】设点P(2√∑,yo)(y0>0),直线PM和PN倾斜角分别为α和β.

-M(-√2,0),N(√2,0)：.kpM=tanα=2,；匕=瑞.

yo-0V0

2S'1"迈R=正

于是tanzMPN=tan("α)=黑=盆=畿=赣4T

•••乙MPN∈[θ,•••乙MPN≤'

即乙MPN的最大值为

6

【注】有关角度的问题，往往要转化为直线斜率与点的坐标，或者转化为向量夹

角利用向量数量积进行处理.本题背景为米勒问题.

类型6：与三角形(四边形)面积有关的最值问题

【例7】已知抛物线Cix2=4y,A,B,P为抛物线上不同的三点.

(1)当点P的坐标为(2,1)时，若直线AB过抛物线焦点F且斜率为1,求

直线AP1BP的斜率之积；

(2)若AABP为以P为顶点的等腰直角三角形，求AABP面积的最小值.

【解析】(1)直线AB方程：y=X+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),

-2

联立方程ʤʃ=>X-4x-4=0,由韦达定理得：x1+X2=4,X1X2-

(,y=X+1

-4

-

y1-1y21x1+2X2+2x1x2+2(x1+x2)+4

liAP"BP=不”'看三=——二五

—4+8+41

=16=2•

⑵设4(%1以),8(%2，%)〃(21,严)，直线BP斜率为k,则直线AP斜率为

_1.

直线BP方程：y-t2=fc(x-2t),不妨设k>0,

联立方程『2一"=MX~2t)=⅛x2-4kx+8∕ct-4t2=0

(xz=4y

2

所以Xl+2t=4k=%ι=4k—2t,ʌ∖BP∖=ʌ/l+k∖x1—2t∖

2

=4y/1+k∙∖k—t∖9

同理可得：∣4P∣=4Jl+专∙∣∣+t∖,

由μp∣=IBPl得t=W，所以忙Y邛一Wl=黑；所以叫=

4E7∙黑，故SAABP=割Pl∙IBPI=押PF=黑空

解法1:

(k+1)2

_8(1+/)3(1+/)2(l+∕c2)(2k)22

△ABP-k2(k+l)2~ki(k+1)2>8k2'(k+1)2-

当且仅当k=1时取等号，所以AABP面积的最小值为16.

解法2:

8(1+k2y8(k+，)

SAABP=由不存=UG(k>0)

K

令k+9=%)2,则/(x)=柴在［2,+∞)单调递增，fθ)≥/(2)=2,所

以AABP面积的最小值为16.

∙∙2ʌ.2A

【例8】已知枚圆C⅛v+⅛=l(α>h>0)的离心率为ɪ过其右焦点F且

azDz2

M磐直的直线交椭圆C于P、Q两点，椭圆C的右顶点为R,且满足

∖RP+RQ∖=2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为k(其中k≠0)的直线I过点F,且与椭圆交于点/、B两

点，弦AB的中点为M,直线OM与椭圆交于点C、D两点，求四边形

ACBD面积S的取值范围.

【答案】(l)U∙+⅞∙=l;(2)(6,4√3).

τ45

CɪJ)I

【解析】(1)由e=∕=2得α=2c,∣RP+RQ∖=∖2RF∖=2(α-c)=2,

22

(。：b2=a2—c2=3,ʌ椭圆C的方程为1+。=1

C=I43

22

χIy_-↑

(2)由7+1"=1消y得(4/+3)X2-Sk2X+41-12=0,

y=k(x—1)

一「、,Qk24k2-12

λδʌ“72

=144(k+1),XA+XB=XA×B=7^77，

144(∕c2+1)12(1+1)

∙∙∙∖AB∖=(1+H).

(轨2+3)24∕c2+3

(4k23k∖3

M\4k2+3'4k2+3)'ʌk°M=~4k

fχ2y2ɪf_4kf_4k

vifc2

由|了+了：得：Γ-7或］X__［H+3,即为GD两点的坐标,

J=K(y=^√≡5U=不有

•・•点C,D到直线AB的距离之和为dc+dD

=Ik(XC-1)-yd+Ik(XD—1)-y°l

|伙(和-D-y<7]-他(XD-1)=Iko⅛一孙)一仇一'D)I=4k2+3

√FΠ―VFTT-JH+1

1,、112(^+n-+3…

∙∙∙S=-∣∕45∣(dc+ʤ)222

24k+3Jfc+1-λ∣4k+3

1+21

=WJZ4(4fc+3)(k*°)'

.∙∙S的取值范围为(6,4√3)∙

类型7：与定点有关的最值问题

2

【例9】望)譬线C∙.y=X上一点M(L-I),点A1B是抛物线C上的两

动点，且MA∙^MB=0,则点M到直线AB的距离的最大值。

【答案】见解析

y

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+n,

xnyn2

联立∖2J,消去X,得y-my-n=0,从而y1+y2=m,y1y2=

Iy-X

-n

用•丽=(Xl-l)(x2-1)+(y1+l)(y2+1)

xχ2

又ι2—ylyl—九2,x1+X2=my1+n+my2+n=m+2n9

22

所以^MA-MB=n2—3n—m2+m+2=0,所以(n—∣)=(m—，

bI31-31

所以〃一]=η-]或n-]=-m+-,

31

情形一：若九一]=771—5,即n=m+l,

则AB直线为X=m(y+1)+1,过定点此时M在直线AB上;

31

情形二:若n-]=-τn+5,即n=2-?n,则直线为x

=m(y-1)+2过定点(2,1),此时M到直线AB

距离的最大值是V5.

类型8:与定值有关的最值问题

γ2C

2

【例10］设P的为椭圆^+y=l上一点，A1B分别为椭圆的右顶点与上

顶点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与久轴交于点N.则看+∣⅛

的最小值为

【答案】√2.

【解析】设P(XO,yo),则xo+4jo=4.

当XoHO时，直线PA的方程为y=^-(x-2).

工0—2

2y

令％=0,得y”=--得∖BM∖=|1-yM\=1+°.

XQ-LXQ-L

直线PB的方程为y=——-X+1,令y=0,得XN=------ʒ-从而IANl

xoyo-1

X

=∖2-XN∖=2+0.

7o-1

所以MNl∙∣BM∣=2+」^∙1+］¾∣

7o-1〃

Xo4x

+4%+4%Oyo-0-8y0+44%OyO-4x0-8y0+8

XOyo-X0-2y0+2XOyO-X0-2y0+2

当Xo=Cl时,y0=-1,IBMl=2,∖AN∖=2

综上,得∖AN∖■∖BM∖=4,

cc,.12Γl2-r

”以］AN∖+∖BM∖>2JWi-∖BM∖=

L12l

当且仅当∖BM∖=2∖AN∖=2√2时等号成立,故+丽ɪ的最小值为√2.

【注】本题实际上考查了∣4V∣∙∖BM∖=a2为定值.

类型9：与向量定比分点有关的范围和最值问题

22

【例11】已知动点P与双曲线版一彳=

1的两个焦点F11F2的距离之和为定值，

1

且COSNPlPF2的最小值为一g.

(1)求动点P的轨迹方程；

⑵若已知O(0,3),M,N在动点P的轨迹上且DM=λDN,求实数λ的取值

范围.

【答案】见解析

【解析】(1)由题意C?=5,设∣PF]∣+∣PF2∣=2α(α>√5),由余弦定理,得

IPFII2+∣PF2∣2-∣F∕2∣2=2α2-10

="—…r,_,=-1

2∖PF1∖∙∖PF2∖∣PF1∣∙∣PF2∣

IPF1I+IPF2I

ʌIPFiI-IPF2K

当且仅当IPFIl=IPF2I时,IPFll∙IPF2I取最大值,

..P曰I,+2。2—10,2。2—101

此时cosZFPF取最小值——5-------L由——5--------1=,

12α2ɑ29

22

解得a2=9,c=√5,b2=4,故所求P的轨迹方程为:^=1.

94

(2)设N(s,t),M(x,y),则由两=XDN1可得(x,y-3)=λ(s,t-3),

故X=As,y=3+λ(t-3),M1N在动点P的轨迹上，

(At+3-32)

+-=Ifi---

D13λ-5E1

又∖t∖≤2,・・・———42,解z得a三《/145,

6Λ5

故A的取值范围是[∣,5].

类型10：与对称有关的最值与范围问题

【例12]已知椭圆u[+t=l,试确定m的取值范围，使得对于直线

43

±y