重庆市永川中学2023-2024学年高一年级上册第二次联考数学复习题一 含解析

重庆市永川中学高2026届高一上期第二次联考

数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.已知集合4=｛123｝，3=｛（乂，）|"'4，,阕％—丁仁4｝中所含元素的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用列举法写出集合8,即可得出答案.

【详解】解：因为A=｛1,2,3｝,

所以3=｛（2,1）,（3,1）,（3,2）,（1,2）,（1,3）,（2,3）｝,3中含6个元素.

故选：C.

2.设命题p:,sin%<x,则1?为（）

A.sin%<%B.sinx>%

C.现€[0,3，sinx0<x0D.sinx0>x0

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，只否定结论，不否定条件，可得结果.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，

esinxx

由命题,sinx<x,所以F：3x0f-o-o-

故选：D.

【点睛】本题考查全称命题的否定，掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，同

时注意命题的否命题与命题的否定的区别，属基础题.

3.设ceR,贝Usintz是a=色的（）条件

23

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

FiJr27r

【分析】由已知，根据题意，由sina=三可得。=耳+2碗(左eZ)或。=§+2E(keZ),而当

a=四时，可以得到sina=走，即可做出判断.

32

【详解】由已知，«eR,

fQjr2兀TT

sinOL——可得a=~+2kji(kGZ)或a=+2kji(kwZ),此时不一*定能得到ex=—；

而&='时，可以得到sina=左.

32

所以：sina=立是a=°必要不充分条件.

23

故选：B.

4.已知幕函数的图象经过点P16,；,则该幕函数的大致图象是()

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.

【详解】设幕函数的解析式为y=尤“，因为该暴函数的图象经过点

11I

【分析】由x+y—孙二。得到一+一=1,从而利用基本不等式力”的妙用求出4x+9y的最小值，从而得

%y

到*25.

八111

【详解】因为1+y一个=。，所以一+—=1,

%y

...4x+9y=(4x+9y)f-+-l=13+^+—>13+2J^^=25,

y)%yN%y

当且仅当9上V=——4x，即》=二5，、=5彳时，等号成立.

xy23

因不等式4x+9yT20恒成立，只需(以+9丁)四>t,

因此Y25,故实数，的最大值为25.

故选：D

|lgx|,0<%<10

7.已知函数/(x)=71，若a,b,。均不相等，且/(a)=/3)=/(c),则而c的取值

—x+6,x>10

I2

范围是()

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

【答案】C

【解析】

【分析】画出函数图象，根据/(a)=/S)=/(c),不妨设“<b<c,结合图象可求出范围

【详解】函数的图象如图所示，

不妨设a<6<c,则一lga=IgZ?=—gc+6e(0,l),

所以ab=1,0<—c+6<1,

2

所以aZ?=l,10<c<12,

所以10<a/?c<12,

故选：C

C2A

8.已知定义在R上的函数/(x)满足「(1—x)=尸(1+x),且在工转)上单调递增，若a=f2§

^=/0og32),c=/llog2-I,则()

A.c>a>bB.ob>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】函数〃x)满足尸(1—x)=f(1+x)则有Z?=/(log32)=

C=f[log?-j=/(log212),再利用函数在口,+8)上单调递增比较大小.

【详解】函数/(尤)满足「(1—X)=f(1+X),所以有：

6=/(logs2)=y^l-log311=小+log3=f卜g33

f(l-log26)=/(l+log26)=/(log212),

Q2

函数/⑺满足在工长。)上单调递增，由l<log3：<拒<23<2<log212,

所以(log3|]</2^</(log212),即b<a<c,

故选：A

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.)

9.下列说法正确的是()

A.若sin。=sin/?,则a与£是终边相同的角

B.若角«的终边过点P（3k,4k）（kw0）,则sina=1

C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度

D.若sina-cose>0,则角a的终边在第一象限或第三象限

【答案】CD

【解析】

【分析】举反例"判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sin。与cosa同号

判断D.

【详解】对于A：当a+/="时，sina=sin〃，但终边不同，故A错误；

,-4

对于B：r=J（3左）2+（4左）2=5|左|，当左<0时，sina=--,故B错误；

对于C：由2r+/=3,r=l,得/=l,a=,=l,故C正确；

r

对于D：sina-cos«>0,即sin。与cos同号，则角a的终边在第一象限或第三象限，故D正确；

故选：CD

10.已知关于x的不等式依2+bx+c<o的解集为{x|xK—2或123},则下列说法正确的是（）

A.a<0

B.tzx+c>0的解集为{H%>6}

C.8a+4Z?+3c<0

D.cf+bx+avo的解集为1了一!<尤<?>

[23j

【答案】AD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.

【详解】因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为何％<—2或x23},

所以〃<0且方程av?+"+c=o的两个根为—2,3,

ch

即3x（—2）=—=—6,3+（—2）=—=lnc=—6a,b=­a.

aa

因此选项A正确；

因为c=-6a,a<0,所以由ac+c>Onar-6a>0nx<6,因此选项B不正确;

由c=-6a,Z?=-a可知：8a+4Z?+3c=8a-4a-18a=-14a>0,因此选项C不正确;

因为c=-6a,b=—a，所以由ex2+Z?x+«<0=>-6ax2-ax+a<0=>6x2+x-l<0>

解得：—<x<一,因此选项D正确，

23

故选：AD

11.下列说法正确的是()

41

A.若a,4c都是正数，且a+b+c=2,则——+--的最小值是3

a+1b+c

B.若0<a<b<l,则--->----

InaInZ?

C.若％eR,则&+4+j2+4的最小值为2

D.已知a>0力>0,B.a2+b2=1，则片―尸>—1

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,由于(a+l)+(Z?+c)=3,进而根据基本不等式可判断；对于B,由题知Ina<In/?<0,

进而根据不等式性质可判断；对于C,根据基本不等式成立的条件判断；对于D,由题知a,Z?e(O,l),进

而。2〉0/2—1<0,进而可判断D.

【详解】解：对于A,a,4c都是正数，且a+b+c=2,故(a+l)+(b+c)=3

41通+£加+1)+("叫=5।4他+。。+1

所以---------1---------+----

a+1b+ca+1b+c

>-f5+2^+CV^-\=3,当且仅当4('+°)="1,即a+l=2(b+c)=2时等号成立,

3Va+1b+ca+1b+c

41

所以，--+--的最小值是3,故A选项正确；

a+1b+c

对于B,由0vavZ?vl得InavIn/?v0,所以--->----,故B选项正确；

InaInZ?

对于C,xeR,则&?+4>2J>。,故&+4+/_22,当且仅当

，Y+4Vx+4

心+4=-^=,即/+4=1时等号成立，显然必+4=1无解，故后-2+4+J——，>2,c选

VX2+4>Jx+4

项错误;

对于D,由a>03>0,且〃+/=i得a,Z，e（O,l）,所以标〉（）,"一1<。，故/一（廿一i）>。，即

a2-b2>-1，故D选项正确

故选：ABD

12.已知函数/（X）的定义域为D,存在aeR,对一切西,々6。，若xj-g<x/一口马时，都有

/（西）</（々）恒成立，则下列符合题意的函数有（）

!，.、c•C兀571

A.f(x)=\x\B./(X)=2sin2x,xe—

1

C./(x)-x+mx-mD.f(x)=log2x

【答案】ABCD

【解析】

【分析】先分析。玉</2-a%这个条件，其实是否,当离某条直线的距离远近的意思，题目的意思既

是离某个数越远，其函数值越大，按照此结论依次每个选项判断即可.

［详解］玉2_（2Xy</2—ax?,（玉——<［%——，..西——<%2

对A：取。=0,\/%,兀2，%；</2,.•.国<冈,二/（七）</（9）成立，A对；

二Q

对B：对于函数/（x）=2sin2“有对称轴片学

jl371371571

在/下-/（X）单调递减，在区间—，/（X）单调递增,

4444

取a=g时，对任意为,々€:■，日］，卜—了<%2—1，，/（/）</（工2）成立，B对；

对C:取。=一"4网,为2，王2+叫<X2?+阻2，，/（菁）</（无2）成立，C对；

对D：/（x）=log2x的。=（0,转），取〉0,%一^<马—§，：.再—

2222

A1VA2，二/（%）</（%2）成立，D对.

故选：ABCD

【点睛】遇见新定义的题型，一定要先审题，明白题目所说的定义是啥，转化为平时常见的性质是什

么，然后对每个出现的函数依次验证，采用大胆猜测，小心验证的思路，判断一个命题是假命题只需找

一个反例，验证命题正确需要证明.

三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.函数/（%）=1呜（%2—2%—3）的单调递增区间是.

2

【答案】（一8,-1）

【解析】

【分析】根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调区间.

【详解】令/=尤2一2x—3且/>0，即x2—2x—3=（x+l）（x—3）>0,则％<—1或x>3,

所以/⑺定义域为（TO,T）53,+<»）,

由/=炉—2x—3开口向上，对称轴为x=l,贝U在（f,T）上递减，在（3,+8）上递增，

而>=log/在定义域上递减，故/⑺的增区间为（TO,-1）,减区间为（3,+8）.

2

故答案为：（T0,-1）

14.设函数eg,若关于x的方程/（力-"）+2=0恰有6个不同的实数解，则实数

a的取值范围为.

【答案】（272,3）

【解析】

【分析】作出函数八刈的图象，令/（尤）=f，结合图象可得，方程成+2=0在（1,2］内有两个不同的

实数根，然后利用二次函数的性质即得；

2x+l,%<0

【详解】作出函数/（X）=I,八的大致图象，

lgx,x>0

令"%）=/,因为r（另一4（力+2=0恰有6个不同的实数解,

所以g(%)=+2=。在区间(1,2］上有2个不同的实数解，

△=6—8〉0

1<—<2

2,

g⑴=3-a>0

g(2)=6-2a>Q

解得2忘<a<3，

二实数〃的取值范围为(20,3).

故答案：(20,3).

15.设aeR,对任意实数x,记〃x)=min{国一2,炉—依+3。一5}.若〃%)至少有3个零点，则实

数。的取值范围为.

【答案】a>10

【解析】

【分析】设g(x)=f—依+3a—5,A.(x)=|x|-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出

A>0,求出。的取值范围，然后对实数。的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等

式，综合可求得实数。的取值范围.

【详解】设g(x)=f-at+3a—5,//(x)=|x|-2,由凶一2=0可得％=12.

要使得函数/(%)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则A=6—I2a+2O20，

解得。42或a210.

①当a=2时，g(x)=x2-2x+l,作出函数g(x)、/z(x)的图象如下图所示：

此时函数了(“只有两个零点，不合乎题意；

②当。<2时，设函数g(x)的两个零点分别为5、9(%<9)，

要使得函数/(另至少有3个零点，则/<-2,

-<-2

所以，《2,解得QG0;

g(-2)=4+5”520

③当a=10时，g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x)、可光)的图象如下图所示:

由图可知，函数/(%)的零点个数为3,合乎题意；

④当a>10时，设函数g(x)的两个零点分别为七、x4(x3<x4),

要使得函数4%)至少有3个零点，则退22,

->2

可得《2,解得。>4,止匕时a>10.

g(2)=4+a-5>0

综上所述，实数。的取值范围是［10,+<»).

故答案为：［10,”).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

16.己知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物3000mg,设经过

x小时后，药物在病人血液中的量为加1g.

(1)y与x的关系式为.

(2)当该药物在病人血液中的量保持在1800mg以上，才有疗效；而低于600mg,病人就有危险，要

使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时(精确到0.1).(参考数据：

lg2=0,301)

【答案】①.y=3000x08(x20)；②.7.2.

【解析】

【分析】(1)根据题意写出y与x的关系式即可；

(2)根据题意列不等式，然后两边取常用对数即可求解.

【详解】⑴由题意得y=3000x(1—0.2)、即y=3000x08(x20)；

1

(2)令y=3000x0.8、>600,即>-，

5

4

两边取常用对数可得xlgg〉-lg5,

"y-lg5一Ig21-lg2lg2-1

即1421g2-lg521g2-(l-lg2)31g2-l

5

0.301-1…

«--------------®7.21,

3x0.301-1

故再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.

故答案为:y=3000x0.8"(x>0)；7.2.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.己知集合A={H-3<XW10},B=1x|2m+l<x<3m-2},且

(1)若命题p：XGA”是真命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题q：“玉:wA,是真命题，求实数机的取值范围.

【答案】(1)

9

(2)3<m<—

2

【解析】

【分析】(1)由命题p：“VXEB,XGA”是真命题，可知B=根据子集的含义解决问题;

(2)命题4：xeB”是真命题，所以通过关系解决.

【小问1详解】

由命题P："VXEJB,XGA”真命题，可知B=

2m+1<3m-2

又BW0,所以{2m+l>-3,解得3WmW4.

3m-2<10

【小问2详解】

因为_BN0,所以2根+1«3根—2,得加23.

因为命题q：xeB”是真命题，所以

9

所以—3W2m+lW10,或—3W3m—2W10,得一2WmW—.

2

9

综上，3<m<-.

2

18.已知函数/(无)在[2,+<x>)上有定义，且满足/(«+2)=x+2«+l.

(1)求函数了(尤)的解析式；

(2)若mxe[2,+s),对均有—2am+2成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)f(x)=x2-2x+l(x>2)

【解析】

【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.

(2)依题意，/(x)^<m-2am+2,设g(a)=—+l,则g(a)>0在区间内恒成立，用一次函数

性质求解.

【小问1详解】

/(V%+2)=%+2-Jx+1=+1^=(«+2)-1,

于(x)=(无-1)~=无。-2x+l,

XVVx+2>2.

f(x)=x2-2x+l(x>2).

【小问2详解】

3xG[2,+00),对均有/(%)<加一2〃加+2成立，

fM=/一2x+1(%22)在[2,+oo)上单调递增，f(x)min=/(2)=1,

依题意有对D4£[-1,1]均有1<m—2〃加+2成立，

即g(〃)=~2ma+加+1>0在时恒成立,

—2m+m+1>01/1)

・•・L[c，解得——<加<1，・••实数机的取值范围是一；』.

2m+m+l>03I3J

19.已知0vxv7i,sinx+cosx=—.

(1)求sinx-cosx的值;

/八HsinO+cos。1,

(2)右-----------=一，试比较tan%与tan。的大小.

sin0-cos03

7

【答案】(1)sinx-cosx=—

5

(2)tanx>tan^

【解析】

【分析】(1)将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出

24

2sinxcosx=-----的值，再利用完全平方公式即可求出sinx—cosx的值；

25

(2)根据第一问求出tanx值，再利用已知等式求出tan。的值，进行比较即可.

【小问1详解】

1221

对于sin%+cos%=一,两边平方得sinx+cosx+2sinxcosx=—，

525

24

所以2sin%cosx=-----,*.*0<x<it,sinx>0,cosx<0,所以sin%—cosx>0,

497

(sinx-cosx)2二1一2sinxcosx=—,sm%-cosx=—；

255

【小问2详解】

f.14

sinx+cosx=—sin%=

5~54

联立4,解得■3,所以tanx=--,

.7

sinx-cosx=—cosx

15~~5

;inf)+c.os,f)1tan8+11

因为.八八—，且cosew0,所以分子分母同除以cos。有:——,解得tan8=-2

sin夕一cos夕3tan。一13

tanx>tan^.

20.已知/Xx)=2苫；"是定义在［-M］上的奇函数.

X十DX十L

⑴求“X)的解析式；

⑵判断并证明〃龙)的单调性;

(3)解不等式：/(x)-/(l-x)<0

【答案】(1)=(2)函数/(%)在［—1,1］上为增函数.证明见解析(3)jx|0<x<!

【解析】

【分析】(1)根据奇函数的性质/(-x)=-f(x),列出方程求出〃、Z?的值，代入解析式；

(2)先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论.

(3)根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可.

【详解】解：(1)，('二」曹是定义在［-M］上的奇函数,

.-./(o)=o,即0+a=o,:.q=0.

\)0+0+1

又止l)fl).［=一入.…'"一

⑵函数/(%)在［—1,1］上为增函数.

证明如下，任取一1<玉<九2<1，,一1<%<九2<1，-l<x1x2<l,.\l-xix2>0

f(f(A_____%2_(%1-%2)(1-%1%2)Q

/xJT(r2)=一界p齐p(婷+1)口2+1)。

.­./(jq)</(x2)

\为［-M］上的增函数.

(3)/(x)-/(lr)<。，即-x),

-1<1-X<1,解得04x<L,

,2

x<l-x

二解集为：|x|0<x<^-|

【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性

的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论.

⑴根据奇函数的性质/(f)=—/(x),列出方程求出。力的值，代入解析式；

(2)先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：设元，作差，变形，判断符号，下结论；

(3)根据函数的单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可.

21.比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目

前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车

进行测试，国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量。(单位：wh)与速度

x(单位：km/h)的数据如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量。与速度式的关系，现有以下三种函数模型供选择:

322

①Q\(x)=—X—2%+ex；©Q2(%)=1—;Q3(x)=3001ogax+b.

（1）当0<x<60时，请选出你认为最符合表格中所列数据函数模型（需说明理由），并求出相应的

函数表达式；

（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都，其中，国道上行驶50km,高速上行

驶300km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q与速度x的关系满

足（1）中的函数表达式；高速路上车速无（单位：km/h）满足xe[80,120],且每小时耗电量N（单

位：wh）与速度x（单位：km/h）的关系满足N（x）=2/—10X+200（80<X<120））.则当国道和

高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

【答案】（1）选①0（x）=一2—+ex,Q（x）=：兀3一2x?+160%

（2）当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50km/h最少，最少为51250wh.

【解析】

【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出

最值即可得解.

【小问1详解】

解:对于③03（x）=3OOlog°x+6,当尤=0时，它无意义，故不符合题意，

对于②。2（外=1一0，当％=10时，02（1。）=1一口，又。<0=匕

所以Q2（10）=1—（<1，故不符合题意，故选①屐（%）=否/—2Y+M,

由表中的数据可得，—X103-2X102+CX10=1420,解得C=160

Q(x)=—x—2x~+160x.

50

【小问2详解】

解：高速上行驶300km,所用时间为一h,

则所耗电量为/(X)=—-N(x)=理-(2%2-10x+200)=600[x+—I-3000,

JCJC\JCJ

由对勾函数的性质可知，/(x)在［80,120］上单调递增,

.•・/。焉=〃80)=600、(80+黑

-3000=45750wh

1oU

国道上行驶50km,所用时间为一h,

x

5050/12,、，

则所耗电量为g(x)=—-Q(x)=—•—x3-2x2+160x=—-100x+8000,

xx150J

；0<x<60,.,.当x=50时，=g(50)=5500wh,

当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50kmzh时，

该车从重庆育才中学行驶到成都的总耗电量最少，最少为45750+5500=51250wh.

22.已知函数/(%)=log.」+：(a>0,a1)的定义域为(一8,-2)o(2,+a?).

(1)求实数优的值；

(2)设函数g(x)=对函数g(x)定义域内任意的事，巧，若工尸々，求证：

g(Xl)+g(%2)=g：+人2；