2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结 含解析

第18讲对数及对数式运算5大常考题型总结

【考点分析】

考点一：对数式的运算

①对数的定义：一般地，如果，=N（">O且αwl）,那么数X叫做以。为底N的对数，记作

x=loguN,读作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

②常见对数的写法：

1.一般对数：以。（。>0且αwl）为底，记为log：,读作以“为底N的对数;

2.常用对数：以10为底，记为IgN;

3.自然对数：以e为底，记为InM;

③对数的性质：

1.特殊对数：log：=。；log：=l;其中α>0且4wl

2.对数恒等式："喈=N（其中α>0且4≠1,N>0）

3.对数换底公式：log，=譬也如：logs7=瞥I=黑=罟.

log,αIog25Ig5In7

倒数原理：log/=rL如：∙og32=--!—.

∣0giaIog23

约分法则：log,,O∙logjbc=log“c

④对数的运算法则：

M

1.logβ(MN)=IoguM+IogaN-2.log„—=logπM-log„N；

17

3.1ogb"=-Iogb(ιn,neR)4.金以"=6和logah=h.

amfli

【题型目录】

题型一：对数的定义

题型二：指数对数的互化

题型三：对数的运算求值

题型四：换底公式的应用

题型五：对数式的应用题

【典型例题】

题型一：对数的定义

【例1】（2021•全国高一课前预习）在人=1。&34W（3-24）中，实数”的取值范围为.

23

【答案】12

3,33,2

3a-l>0

【解析】由题意，要使式子6=1。团3启）（3-2。）有意义，则满足∙3α-l≠l,

3-2a>0

解得或即实数〃的取值范围为d[0d）.故答案为:

【题型专练】

I.(2022江苏省江阴市第一中学高一期中)使式子log(3i)(3-x)有意义的X的取值范围是

()

112

A.x>3B.x<3C.-VX<3D.一<x<3且x≠-

333

【答案】D

【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1,真数大于0,列出不等式，求出尢的取值范

围.

3x-l>0

12

【详解】由题意得：3犬-1≠1,解得：-<x<3>x≠-.

33

3-x>0

故选：D

2.(2022全国•高一课时练习)若1。即+*)(1-外有意义，则实数k的取值范围是.

【答案】(To)U(0,1)

【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.

l+⅛>0

【详解】若iog("")(ιτ)有意义，则满足1+壮1,解得&e(τo)5°,1)∙

l-⅛>0

故答案为：(T,0)U(0,l)

题型二：指数对数的互化

【例1】(2022全国高一专题练习)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

2

(1)53=125；(2)4-=—；(3)Iog3-5-=-3.

1627

【答案】(DIog5125=3；(2)log4-⅛=-2;(3)37=L

162/

32

【解析】(I)V5=125,Λlog5l25=3.(2)'：4-=^-,Λlog4-^=-2.

1616

(3)*.*ɪogɜ—=-3,33=—

32727

【题型专练】

1.(2022全国高一课前预习)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1)2-=：；

O

⑵(3)/

(3)lg--=-3.

Iooo

【答案】(I)log」=_3；(2)1°g∣⅛=α.(3)10-3=*

^871000

【解析】(1)由2-3=J可得log，=_3：

OO

(2)由(1=b得l°gj”;

(3)由1g」一=-3可得KT'=」一.

10001000

2.(2022全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化：

(I)/=〃=____________.(2)33=—•=>

(3)Iog2ɪ=-4=>.(4)Iog28=3=>.

43

【答案】Ina=4Iog3—=-32~——2=8

【解析Iah=N<=>b=IOgaN(a>0,a≠1,2V>0).故答案为：］∏α=4,Iog--——3,2江=—,

32716

23=8.

题型三：对数的运算求值

【例1】(2022•浙江•高考真题)已知2"=5,log83=b,则平3=()

255

A.25B.5C.D.

93

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

【详解】因为，25

2"=5⅛=10g83=^log23即236=3,所以4〃厘

^9^

故选：C.

【例2】(2022陕西.长安一中高一期中)设函数小)="?2(2-X)，X<1,则

2Λ^,,Λ≥1

/(-2)∙/(Iog26)=()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解

【详解】函数则—+bg-M-=

所以A-2）∙∕（log26）=9.

故选：C

【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）Iog625-Iog53-Iog96=

(2)(Iog25+Iog40.2)(Iog52+Iog250.5)=.

⑶log⅛log^-1°g5∣=---------------

(4)(log23+Iog49+Iog827+L+Iogy3")■Iog9\/32=.

⑸log6(√2+√3+72-√3)=-----------------

【答案】1；-12mg

2

【解析】(1)J⅛jζ=Iog65∙Iog53-ɪogɜ,6=2Iog65-log,3×ɪIog36=Iog65∙log,3∙log,6

=lg5⅛3lgðɪɪ

ɪg6lg5Ig3

⑵原式=Iog25+log,log,2+log,"∣=log,√5∙log,√2

1,u1,Cl

=-∙θg25×-lθg52=-

32

(3)原式=log?5-2.log?2"∙log,3^=-2Iog25×(-3)log,2×(-2)Iog53

=-12Iog25Iog32Iog53=-12

23π

(4)=(log23+Iog223+log2,3+L+log2,,3)∙Iogv√?

工55

,

=(log23+log23+log23+L+Iog23)∙logʒ,2'=ΛIog23×—logj22=-

2

(5)Q21og6(√2+√3+√2-√3)=log6(√2+√3+√2-√3)=Iog66=I

所以原式g

故答案为：1,ɪ>—12,ɪ,ɪ

42/

【例4】（2022•全国•高一课时练习）已知log”"/…∙⅛∣）=5,则

IoguX：+IogIl后+…+log„X篇=•

【答案】10

【分析】由同底数对数加法公式以及log“N'=引og"N,可得答案.

【详解】因为log„(V⅛∙∙∙¾∣)=5.所以IogeX；+log"考+…+log,,⅛2∣

=Iogn储∙W....⅛)=2log,,(XlX2-X202l)=IO.

故答案为：10.

【例5】(2022•陕西•西安市雁塔区第二中学高二期末(文))计算：

l.lo+e,"2-0.5^2+lg25+21g2=

【答案】1

【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出.

【详解】原式=l+2-4+2(lg5+lg2)=-1+2=1.

故答案为：1.

21

【例6】(2021•江苏省沐阳高级中学高一期中)已知x>O,y>O,且Ig2'+lg8>=lg2,则一+一

χy

的最小值为.

【答案】5+2√6

21(91A

【分析】由lg2'+lg8''=lg2可得x+3y=1,则7+=++化简后利用基本不等

式可求得答案

【详解】因为Ig2"lg8'=lg2,所以Ig(2'・8，)=lg2"3，=ig2,

所以x+3y=l,

因为x>0,y>0,

所以2+∙L=[2+∙l]α+3y)

Xy∖χy)

=2+=+3

Xy

≥5+2也∙±=5+2屈,

VXy

当且仅当"=二即X=遥-2,y=匕色时取等号，，

Xy3

2I.L

所以一+一的最小值为5+2指，

故答案为：5+2C

【题型专练】

1.(2020全国卷I)设。厩4=2,则4一"二()

【答案】B

ɔ11

【详解】因αlog34=log34"=2,所以4"=32=9,故4-"=%=上

2.(2022.陕西・宝鸡市渭滨区教研室高二期末(文))若"X)=：八，则〃0)+/(16)=

[log2x(x>1)

【答案】5

【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.

【详解】因函数/(x)=F(X"),，所以"0)+"16)=3°+log,16=l+4=5.

.log2x(x>1)

故答案为：5

3.(2022长沙市明德中学高一开学考试)计算：lg√5+2啕3+bg2」+J12+inl=____

162

【答案】~~

【解析】原式=fg5+3-4+警+0=J(lg5+lg2)-1=-；.故答案为：一；

20fo2

4.(2022・江苏・高一)i+M(lg2)+lg21g5+lg5-3-'=

【答案】ɪ

【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答

911

【详解】0g2)-+lg2Ig5+lg5-3-幅2=]g2Qg2+Ig5)+lg5-(3陶2)T=lg2+lg5-]=].

故答案为：y

log(-x+4),x<2

6.(2022•陕西•交大附中模拟预测(理))设函数/(X)=2则

2Λ,X>2

/(-4)+∕(log25)=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.

log(-x+4),Λ<2

【详解】因2屋5<23,则2<1%5<3而f(x)=2

2x,x>2

所以/(7)+/(1唯5)=10氏(4+4)+2喝5=3+5=8.

故选：D

7.(2022江苏高二课时练习)若α>(),b>0,∖ga+∖gb=∖g(a+2h),则2α+h的最小

值为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【详解】因lgα+Igb=Ig(α+2⅛),所以Igab=Ig(α+2b),所以加=a+»,所以

a+2h

即

ab

log48J

8.(2022全国高一课时练习)if>:2≈+3,°'-Ig3∙Iog32-Ig5=

【答案】4

【解析】原式=4+3°-lg3∙譬一lg5=4+lTg2-lg5=4.

Ig3

故答案为：4.

9.(2022全国高一课时练习)计算：2(lg0)'+lg√Llg5+加研=

【答案】1

【解析】原式=lg&(21ga+lg5)+J(lg&y-21ga+l

2

=lg√2(lg2+lg5)+^(lg√2-l)

=lg√2+∣lg√2-l∣

=Ig√2+1-Ig√2

=1>

故答案为：1.

题型四：换底公式的应用

【例1】(2022•全国•高一课时练习)已知5"=3,3ft=2,贝∣J∣ogJ0-M=()

A.1B.2C.5D.4

【答案】A

【分析】先求得。力，然后结合对数运算求得正确答案.

a

【详解】,•*5=3f3'=2，「・。=bg53,b=Iog32,

log,↑0-ab=Iog5IO-Iog,3×log,2=Iog5IO-Iog53×=log,IO-Iog52=Iog55=1.

ɪθgʒ3

故选：A

【例2】(2022全国高一课时练习)设2"=5〃="?，H-+γ=2,则机=()

ab

A.√wB.10C.20D.100

【答案】A

【解析】由2"=5"=m,可得α=log2^,b=Iog5m,

由换底公式得一=Iog,“2,-=Iog5,

abm

所以一+7=Iogw2+Iogw5=Iogw10=2,

又因为m>G,∏f得m=VFo.

故选：A.

【例3】(2022•全国•高一课时练习)己知。=怆2,⅛=lg3,∣U!jlog365=()

2a+2b2-2a

a+b2a+Ib

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案.

【详解】因为α=lg2,⅛=lg3,所以

一JIg5l-lg2l-a

36Ig362(lg2+lg3)2a+2b'

故选：D.

【例4】(2022・天津・高考真题)化简(21og43+log83)(log32+log92)的值为()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式=(2Xglog23+glog23)(log32+^Iog12)

43

=-1θg23×21°g32=2'

故选：B

【例5】(2021・江苏・高一专题练习)若实数。、b、C满足25"=403"=2015。=2019,则下

列式子正确的是

—I—=一

ahc

【答案】A

【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出ɪ=log,0195,ɪ=Iog90l5403,

2ab

1I22

-=Iog2015,利用对数的运算性质和2015=5x403可得出一+不=—成立.

c2019abc

【详解】由己知，得52"=403"=2015'=2019,得2G=Iog52019,⅛=Iog4032019,

2

c=log,015019,所以!=log,5,ɪ=Iog2019403,ɪ=Iog20192015,

2abc

而5x403=2015,则log20195+Iog2019403=Iog20192015,

所以4+∖=1,即~+τ=~-

2abcabc

故选A.

【题型专练】

rf

1.（2022湖南•长沙麓山国际实验学校高一开学考试）己知⅛>0,log5⅛=aJg⅛=c,5=10,

则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【答案】B

【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.

【详解】log.b=a,Igb=c,两式相除得塔^=q,logJO=q,又5"=10,;.log，10=d,所

Tgbcc

以d=q=>cd=a.

c

故选：B.

2.（2022湖北黄石•高一期中）已知。>方>1,若IOg,/+log∕=∣M=凡则α+2Z>=

【答案】8

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解.

【详解】解：由Iog"b+k‰”=（,且IOg（J6∙log/=1

所以∣og',"log”a是方程χ2-BX+1=0的两根，

解得ɪɑg*。=2或IOgz,a=g,

y^a>b>l,所以log∕=2,HlJ又aO=b"

从而b2b=b"=>a=2b,且α=/,则匕=2,a=4.

所以4+以=8.

故答案为：8.

3.（2021・上海高一专题练习）已知log32=m,用含〃2的式子表示Iog32l8=.

7M+2

【答案】

5m

r∕g*c1。“18-岷18_1叫2+1%9—1%2+2/+2m+2

【解析】10g321d-∙;-------；---^5-------=-----丁一二一.故答案为：——

IOg332Iog325Iog32Sm5m

4.（2022•陕西•交大附中模拟预测（理））若2"=3'=机，且!+9=2,则机=____________

ab

【答案】√6

【分析】由2"=3"=〃?，UJ得。=Iog?"1，b=∖og,m,m>0,从而利用换底公式及对数的

运算性质即可求解.

【详解】解：因为2"=3"=机，所以α=l0g2m,⅛=log,m,m>0,又,+:=2,

ab

所以，+4=+=l°g"2+k‰3=log”,（2X3）=2,

abIog2mIog3tn

所以加=6,所以"2=ʌ/ð>

故答案为：瓜.

5.（2022.全国•高一单元测试）把满足Iog23xlog34x…xlog,向（〃+2）,〃eN”为整数的"叫

作“贺数”，则在区间（1,50）内所有“贺数”的个数是.

【答案】4

【分析】利用换底公式计算可得Iog23xlog34χ…χlog,用（〃+2）=log2（〃+2）,即可判断.

【详解】解：因为Iog23χlog34x…XIOg向（〃+2）

喂喂…黑斗智—2）,

Xlog24=2,Iog28=3,Iog216=4,log232=5,Iog264=6,

所以当“+2=4,8,16,32时，log1"+2）为整数，

所以在区间。,50）内“贺数”的个数是4.

故答案为：4

6.若a/均为不等于1的正数，且满足α"'=√2,^=〃，且a=Sb,则

1n

------1—=_____.

2m2

【答案】3

【详解】因所以加=log,,JL因出=b2,所以"=logJ2=Tog2^,所

2

1-log,b121ogɔb..,,a

—.........7τ+—彳一=-----------ɪ=Iog2tz-log2⅛=Iog2-,因为α=88,所以

21ogu√22Iogn22b

Iog2=Iog98=3

b

题型五：对数式的应用题

【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

吗-明=IIg去，其中星等为恤的星的亮度为&(A=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天

狼星的星等是

-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.10'°lB.10.1C.lglθ.l

D.IO-'0'

【答案】A

【详解】设太阳的星等为町=-26.7,对应的亮度为骂，天狼星的星等为m2=T.45,对

应的亮度为E2，

5E5E5EE

则由,“一叫=共含得-1.45+26.7=RgU,即彳IgU=2525,所以IgU=IO.1,所以

2E,2E22t,E,

【例2】(2020•全国m)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者

根据公

布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/Q)(f的单位：天)的LogiStiC模型：

ΛO=y-其

中K为最大确诊病例数.当/(C=O.95K时，标志着已初步遏制疫情，则r*约为(Inl9*3)

()

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【详解】由题意知-~~《E=°∙95K，所以;~∕E=°95，即

l+∕ft23S-53)=-L=W2=型，所以］＞汹*-53)=_1,所以ine"MT3)=ln',即

0.9595191919

-0.23(/*-53)=-3,所以t*-53=3-αl3,所以产266

—0.23

【例3】(2021•全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法

的数据V满足L=5+lgk已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数

记录法的数据约为(TVlU≈1.259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【详解】由题意知5+lgV=4.9,所以IgV=-0.1BPV10,a0.8

="=⅛=W≈1.259

【例4】（2022.全国.模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般

采用里氏震级标准.里氏震级（仞）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的

最大振幅的对数值来表示的.里氏震级的计算公式为M=IgA-1虱，其中A是被测地震的最

大振幅，4是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离

造成的偏差）.根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处

的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的

（）倍（精确到1）.（参考数据：10（MB2.512,1005B3,162,1。2屋631）

A.794B.631C.316D.251

【答案】A

【分析】将阿拉斯加半岛的震幅A和II本本州近岸5.3级地震的震幅&表示成指数形式,

作商即可.

AA

【详解】由题意"=1驶-IgA）=Ig丁，即丁=Io",则A=A

当M=8.2时，地震的最大振幅A=A）/OS）

当M=5.3时，地震的最大振幅A?=AJO"',

所以A=A4。=IO29=IO04×10°5×102≈2.512×3.162×1∞≈794,

A24∙1θ

即Aa794Λ；

故选：A.

【例5】（2022.辽宁・抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过f分钟后的温度T

将合公式：T-Z其中，是环境温度，丸为热水的初始温度，力称为半衰

期.一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃,需要10分钟，则一

杯100°C的热水放置在25。C的房间中，欲降温到55℃,大约需要多少分钟？（）

(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

【答案】B

【分析】依题意求出半衰期3再把^的值代入利用换底公式计算，即可求出结果.

【详解】解：根据题意，55-25=（芋（85-25）,即（1=g,解得∕z=10,

.•.55-25=(,(100-25)，即f

由I、Ifɪ2lg521g2-l2x0.3010-1....

π用lT以一=Iogl-=-7-=------=-----------------≈1.322,

105511-Ig2-0.3010

02

所以f≈13∙2;

故选：B

【题型专练】

L（2022∙吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,

它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=ZIvDV,其

中L表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练

迭代轮数，Go表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速

度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.1以下（不含

0∙l）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg2=0.3010）（）

A.128B.130C.132D.134

【答案】B

【分析】由已知可得。=4],再由0.5x（*4∣ɑ8<0∙l,结合指对数关系及对数函数的性质求解

即可.

IOΛ

【详解】由题设,0.5W=O.4,则。三，

4ɑ-1181g518(1Tg2)

所以0.5x(-)*<0.1,即G>181ogq£=:≈129.7

5W5Ig5-21g2l-31g2

所以所需的训练迭代轮数至少为130次.

故选：B

2.（2022•内蒙古包头•二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两

5E

颗星的星等与亮度满足S-叫=5怆启，其中星等为"的星的亮度为线（左=1,2）∙已知星

A的星等是-3.5,星B的星等是-1.5,则星A与星B的亮度的比值为（）

44c55

a∙IO5b∙IO5c∙IO3d∙IO-W

【答案】A

【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.

5E.

【详解】因为％一叫=彳1怆言，星A的星等是一3.5,星B的星等是—1.5,

Z匕2

ccPΔ.P-

所以-1.5-(-3.5)=力g善=怆今===善=10"

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故选：A

3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每