数学（江苏专用2024新题型）-金卷：2024年高考第二次模拟考试参考解析

2024年高考第二次模拟考试高三数学（江苏卷）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为（

）A．90 B．91 C．90.5 D．92【答案】C【解析】由题意，，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即.故选：C2．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，所以，由，解得.故选：A.3．设等差数列的前项和为，若，则（

）A．150 B．120 C．75 D．68【答案】D【解析】由等差数列的性质可知，所以，，故选：D.4．已知角满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，化简得，所以，又，所以，故选：A．5．已知在中，点在边上，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，又点在边上，且，则，故选：A.6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，且，则 B．若，且，则C．若，且，则 D．若，且，则【答案】D【解析】

如图所示正方体，对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误；对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误；对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误；对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确.故选：D7．2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（

）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】当第一棒为丙时，排列方案有种；当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；故不同的传递方案有种，故选B8．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，即，即，、令，则，故在定义域内单调递增，故，即；令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故，故，即，故有.故选：D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数，，，则（

）A． B．的实部依次成等比数列C． D．的虚部依次成等差数列【答案】ABC【解析】因为，，所以，所以，故A正确；因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；，故C正确.故选：ABC.10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（

）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为【答案】ACD【解析】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.11．已知定义域为的函数，满足，且，，则（

）A． B．是偶函数C． D．【答案】BCD【解析】对于A项，由，令，则，故A项错误；对于B项，令，则，因，故，令，则①，知函数关于点成中心对称，令，则，令，则②，由①可得：③，由①③可知：，且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因，，，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为8.令，则，即有，因函数是偶函数，故有，由函数的一个周期为8，则，由上知：，于是：，则，故D项正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中常数项为.【答案】25【解析】中常数项为1，项为，因此所求常数项为．13．甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则.【答案】/【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.14．在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为.【答案】/0.75【解析】设，则，由题意知两两互相垂直，可得三棱锥的体积为，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，设此时三棱锥的内切球的半径为r，则，则，则即，解得，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数.（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.【解】（1），，则，解得.（2），由题设可知有两个不同的零点，且在零点的附近的符号发生变化.令，则，若，则，则为上为增函数，在上至多有一个零点.当时，若，则，故在上为增函数，若，则，故在上为减函数，故，故.又且，故在上存在一个零点；下证当时，总有.令，则，当时，，故为上的减函数，故，故成立.令，则，故当时，有，取，则当时，有，故，故在上，存在实数，使得，由零点存在定理及的单调性可知可得在上存在一个零点.综上可知，实数的取值范围是.16．（本小题满分15分）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.【解】（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为，恰好打了6局，乙获胜的概率为，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为.（2）X的可能取值为2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.17．（本小题满分15分）如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成.

(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【解】（1）分别取的中点，连接，由题意可知多面体的棱长全相等，且四边形为正方形，所以，因为平面，所以平面，同理平面.又平面平面，所以四点共面.又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则，所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以.设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.18．（本小题满分17分）已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点．【解】（1）由题意知，即，．从而,故椭圆；（2）∵在中，,且,从而由得,设，则，解得：或（舍去），所以直线l过定点．19.（本小题满分17分）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.【解】（1）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.（2）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在（为偶数，），使得，交换和的位置，所得