数学（北京卷）-金卷：2024年高考第二次模拟考试数学（北京卷）（考试版A4）

2024年高考数学第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数，则等于（

）A．1 B． C．2 D．3．双曲线的渐近线方程是（

）A．B．C． D．4．下列函数既是奇函数，又在上单调递增的函数是（

）A．B．C． D．5．若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（

）A． B．2 C． D．16．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（

）A． B． C． D．7．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（

）A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟8．若数列为等比数列，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件9．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为的水平截面的面积可以近似用函数，拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数的定义域为.12．已知，则.13．已知，是抛物线上两点，焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则；若，则直线恒过定点.14．已知函数，则函数的零点个数为，所有零点之和为.15．已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有=1\*GB3①．=2\*GB3②．若，则函数的最小正周期为=3\*GB3③．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解=4\*GB3④．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。16．（本题13分）如图，四棱锥的体积为1，平面平面，，，，，为钝角．

(1)证明：；(2)若点E在棱AB上，且，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值．17．（本题13分）已知函数，其中，__________.请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①是的一个零点；②.(1)求的值；(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18．（本题14分）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.(1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；(2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？19．（本题15分）已知椭圆的长轴为线段，短轴为线段，四边形的面积为4，且的焦距为．(1)求的标准方程；(2)若直线与相交于两点，点，且的面积小于，求的取值范围．20．（本题15分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若的最小值为1，求a．21．（本题15分）若无穷数列的各项均为整数．且对