高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第七章第4课空间中的垂直关系

第4课空间中的垂直关系

【考点导读】

1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问

题。

2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于

利用转化思想。

【基础练习】

1.“直线/垂直于平面a内的无数条直线”是al±a”的必要条件。

2.如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。

3.已知a、B是两个平面，直线优若以①②/〃(3,③a_L0中两个为条

件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是2个。

4.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6o

5.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系

是平行、相交或在另一个平面内O

6.在正方体ABC。-ABC。中，写出过顶点A的一个平面ABD,使该平面与正方

1111f—

体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所

有可能的情况)。

【X例导析】

例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD,底面ABCD,PD=DC,E是PC的

中点，作EFLPB交PB于点F.

(1)证明PA//平面EDB；(2)证明PB,平面EFD；

解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象

能力和推理论证能力.

证明：(1)连结人€；用(：交8口于0,连结£0.

..,底面ABCD是正方形，.,.点。是AC的中点

在APAC中,E0是中位线，；.PA//E0

而EOu平面EDB且PAZ平面EDB,

所以,PA//平面EDB

(2)：PD,底面ABCD且。Cu底面ABCD,PD1DC

•••PEbDC,可知KPDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线，

：.DELPC.①

同样由PD_L底面ABCD,得PD±BC.

•.•底面ABCD是正方形,有DCLBC,平面PDC.

而。Eu平面PDC,BCLDE.②

由①和②推得£史J■平面PBC.而P3u平面PBC,DELP3

又E尸_LP8且。E口EP=E，所以PBL平面EFD.

例2.如图，Z\ABC为正三角形，EC,平面ABC,BD〃CE,CE=CA=2BD,

M是EA的中点，

求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM,平面ECA；

-1-/6

(3)平面DEAJ_平面ECA。

分析：(1)证明DE=DA,可以通过图形分割，证明△DEFg^DBA。(2)证明面面垂直的关

键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由(1)知DMXEA,取AC中点N,连结MN、

NB,易得四边形MNBD是矩形。从而证明DM_L平面ECA。

证明：(1)如图，取EC中点F,连结DF。

,rECI平面ABC,BD〃CE,得DBJ_平面ABCo

/.DBXAB,EC_LBCo

1

VBD/7CE,BD=-CE=FC,

2

则四边形FCBD是矩形，DF±ECO

又BA=BC=DF,.".RtADEF^RtAABD,所以DE=DAO

(2)取AC中点N,连结MN、NB,

1

•••M是EA的中点，.•.MN^EC。

2

1

由BD]EC,且BD,平面ABC,可得四边形MNBD是矩形，于是DMLMN。

VDE=DA,M是£人的中点，ADMXEA.又EAPlMN=M,

；.DM，平面ECA,而DMu平面BDM,则平面ECA_L平面BDM。

(3)•.•DM,平面ECA,DMu平面DEA,

平面DEA_L平面ECAo

点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。

例3.如图，直三棱柱ABC—ARG中，AC=BC=1,

ZACB=90°,AA=、叵，D是AB中点.

111

(1)求证CD,平面AB；(2)当点F在BB上什么位置时，

111

会使得ABJ平面QDF?并证明你的结论。

分析：(1)由于QD所在平面々Bg垂直平面AR,只要证明QD垂直交线A月，由直线与

平面垂直判定定理可得平面仲。(2)由(1)得Cp_LAB_只要过D作AB】的垂线，

它与BB】的交点即为所求的F点位置。

证明：(1)如图，•「ABC—AB,是直三棱柱，

・・・AC=BC=1,且NACB=90°。

1111111

又D是AB的中点，・・・CD，AB。

11111

-2-/6

・.・AAJ_平面ABC,CDu平面ABC,

iiiiiiii

AAA±CD,，CD_L平面AABB。

11111

(2)解：作DE，AB1交吗于E,延长DE交BB1于F,连结QF,则ABJ平面QDF,点

F即为所求。

「CD，平面AABB,ABu平面AABB,

11111

.\CD±AB,又ABJ_DF,DFpCD=D,

1111

.♦.ABJ平面qDF。

点评：本题(1)的证明中，证得CJUAR后，由ABC—ARQ是直三棱柱知平面平

面AAgB,立得QD,平面AARF。(2)是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问

题。

备用题.如图，边长为2的正方形ABCD中，

(1)点石是A3的中点，点厂是3c的中点，将AAED,ADCF分别沿DE,DF折起，使A,C

两点重合于点4,求证：A'D±EF.

(2)当3石=8/时，求三棱锥A'—EK)的体积.

4

变式题.如图，在矩形ABC。中，A5=2,AD=1,E是CD的中点，以AE为折痕将AZME

向上折起，使D为D',且平面。'AEJ_平面ABCE.求证：AD'1EB.

解：在RtABCE中，BE=4BCT+CE^=,

在mAAD'E中，AE=yjD'Az+D'E?=&,

-3-/6

■:AB2=22=BE2+AE*2,

・・・AE1BE.

•.•平面AED平面ABCE,且交线为AE,

Z.BE，平面AED'.

•;AD'u平面AED',

:.AD'YBE.

【反馈演练】

1.下列命题中错误的是(3)。

(1)若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线

(2)若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直

(3)若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面

(4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直

2.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若

X1Z，且为真命题的是①③④(填所有正确条件的代号)

①x为直线，y,z为平面②x,y,z为平面

③x,y为直线，z为平面④x,y为平面，z为直线

⑤x,y,z为直线

3.二面角a—a—B的平面角为120°,衡a内，ABLa于B,AB=2在平面B内，CD±a

于D,CD=3,BD=1,M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为J石。

4.已知三棱锥尸-ABC中，顶点尸在底面的射影。是三角形ABC的内心，奚奇个三棱锥

有三个命题：①侧棱R4=P3=PC；②侧棱外、PB、PC两两垂直；③各侧面与底面所成的

二面角相等。其中错误的是①②。

5.在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有4个。

6.若A8的中点M到平面a的距离为4cm,点4到平面a的距离为，则点8到平面a的

距离为或14cma

7.三棱锥尸-A3C中，侧棱抬、尸3、PC两两垂直，底面A3c内一点S到三个侧面的距离

分别是2、3、6,那么PS=L

8.在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

那么这个球面的表面积是3兀G.

9.命题A：底面为正三角形，面旗在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。

命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。

答案：侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等……)

10.a、8是两个不同的平面，m、n是平面a及6之外的两条不同直线.给出四个论断：

①m，n②③④m，a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出

你认为正确的厂个命题:。

答案：m_La,nj_B,a0nmj_n或m_Ln,m±a,nj_0naJ_B

11.已知三棱锥P-ABC中，PCJ_底面ABC,AB=BC,

D、F分别为AC、PC的中点，DELAP于E.

(1)求证：APJ_平面BDE；

-4-/6

(2)求证：平面BDE_L平面BDF；

(3)若AE：EP=1：2,求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比.

解：(1)：PC_L底面ABC,BDu平面ABC,，PC_LBD.

由AB=BC,D为AC的中点，得BD_LAC.又PCCAC=C,；.BD_L平面PAC.又PAu平面、

PAC,.\BD±PA,由已知DE_LPA,DECBD=D,；.AP_L平面BDE.

(2)由BD_L平面PAC,DEu平面PAC,得BD_LDE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF〃AP.

由已知，DE±AP,ADEXDF.BDADF=D,；.DE_L平面BDF.

又•.•口£<=平面BDE,平面BDE_L平面BDF.

(3)设点E和点A到平面PBC的距离分别为％和h2.则

h：h=EP：AP=2：3,

12

VV3'hi'SAPBF21

/.=EPBF=--------------------------=---------=—.

VV17c3-23

P-ABCA-PBC—,rl-D

32APBC

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1：2或2：1

点评：值得注意的是，“截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺

序，因而最终的比值答案一般应为两个，不要犯这种“会而不全”的错误.

12.在直角梯形ABCD中，ZA=ZD=90°,AB<CD,SD_L平面ABCD,AB=AD=a,SD=、，笃a,在

线段SA上取一点E(不含端点)使