2024年广东省中山市纪雅学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省中山市纪雅学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）与2024互为相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）据统计，2023年“五一”假期国内旅游出游约274000000人次．274000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.274×108 B．2.74×107 C．2.74×108 D．27.4×1073．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a24．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4 C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）5．（3分）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣26．（3分）数据2，4，8，5，3，5，5，4的众数、中位数分别为（）A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、57．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，E，F，连接OE，OF，AC＝3，BC＝4（）A．2﹣π B．4﹣π C．4﹣π D．1﹣π9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，若AC＝8，AB＝6（）A．24 B．22 C．20 D．1810．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m），则m的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（4分）已知点P1（a，3）和P2（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2019的值为．13．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为．14．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是．15．（4分）如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．如图②，（F不与C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3．三、解答题（一）（共4小题，满分24分，每小题6分）16．（6分）计算：．17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．18．（6分）乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，在修建600米后，由于采用新的修建技术，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米．19．（6分）如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）四、解答题（二）（共3小题，满分24分，每小题8分）20．（8分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？21．（8分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下列问题：（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．22．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．五、解答题（三）（共2小题，满分22分，23题10分，24题12分）23．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为（﹣2，0）（4，0），交y轴于点C．（1）求出抛物线解析式；（2）如图1，过y轴上点D作BC的垂线，交线段BC于点E，当EF＝时，请求出点F的坐标；（3）如图2，点H的坐标是（0，2），点Q为x轴上一动点（2，8）在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，请直接写出点Q的坐标．24．（12分）定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．初步尝试：（1）如图①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；理解运用：（2）如图②，△ABD与△ACD为偏等积三角形，若AB＝2，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，求AE的长；综合应用：（3）如图③，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AB为边向外作正方形ACGF和正方形ABDE，连结EF

2024年广东省中山市纪雅学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）与2024互为相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反数是﹣2024．故选：B．2．（3分）据统计，2023年“五一”假期国内旅游出游约274000000人次．274000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.274×108 B．2.74×107 C．2.74×108 D．27.4×107【解答】解：274000000＝2.74×108．故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2【解答】解：A、应为4a2﹣a7＝3a2，故本选项错误；B、应为（a2）3＝a2×5＝a6，故本选项错误；C、a3•a2＝a3+6＝a3，正确；D、应为（2a）2＝82a2+6＝4a4，故本选项错误．故选：C．4．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4 C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）【解答】解：A、原式＝x（x﹣1）．B、原式＝（a﹣4）（a+6）．C、原式＝（a﹣b）2，故本选项不符合题意．D、原式＝（x+y）（x﹣y）．故选：D．5．（3分）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣3，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．6．（3分）数据2，4，8，5，3，5，5，4的众数、中位数分别为（）A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、5【解答】解：数据中5出现的次数最多，所以众数为5，将数据重新排列为7、3、4、4、5、5、7、8，则中位数为＝4.4，故选：B．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°（）A．36° B．45° C．54° D．72°【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，∴∠ADC＝∠ABC＝54°，故选：C．8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，E，F，连接OE，OF，AC＝3，BC＝4（）A．2﹣π B．4﹣π C．4﹣π D．1﹣π【解答】解：连结AO、BO，CO，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝6，∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，E，F，∴AC⊥OF，AB⊥OD，且OF＝OD＝OE＝r，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴AC•r+BC•r＝，∴r＝＝1，∵∠ACB＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，∴四边形OFCE是正方形，∴∠FOE＝90°，∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝5﹣＝1﹣，故选：D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，若AC＝8，AB＝6（）A．24 B．22 C．20 D．18【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝6，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．10．（3分）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m），则m的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【解答】解：对于y＝﹣x2+6x（3≤x≤6），当y＝0时2+6x＝0，解得：x3＝0，x2＝7，∴A1（6，8），∵y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣8）2+9，∴C3（3，9）．由题意可知A7（12，0），C2（7，﹣9），∴可设C2：y＝a（x﹣8）2﹣9（8＜x≤12），将A2（12，0）代入y＝a（x﹣3）2﹣9，得：7＝a（12﹣9）2﹣6，解得：a＝1，∴y＝（x﹣9）6﹣9（6＜x≤12）．由题意又可知整个函数图象每隔8×2＝12个单位长度，函数值就相等，∵2024÷12＝168⋯⋯8，∴m的值等于x＝5时的纵坐标，∴m＝（8﹣9）6﹣9＝﹣8，故选：C．二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥2．【解答】解：已知y＝，则x﹣2≥4，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．（4分）已知点P1（a，3）和P2（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2019的值为﹣1．【解答】解：∵点P1（a，3）和P6（4，b）关于y轴对称，∴a＝﹣4，b＝8，∴（a+b）2019＝（﹣1）2019＝﹣1，故答案为：﹣2．13．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为．【解答】解：∵OB＝3OB′，∴＝，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）7＝，故答案为：．14．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是﹣4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝3有两个实数根，∴Δ＝9﹣4m≥5，∴m≤，∵关于x的一元二次方程x6﹣3x+m＝0有实数根α、β，∴α+β＝2，αβ＝m，∵α2+β2＝（α+β）4﹣2αβ＝17，∴9﹣3m＝17，∴m＝﹣4，故答案为﹣4．15．（4分）如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AH上，且DH＝CH，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．如图②，（F不与C重合），若BC＝4，tan∠ACH＝3．【解答】解：如图②，过点H作HP⊥AE，在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝，∴AH＝3CH，设CH＝x，∴BH＝AH＝3x，∵BC＝4，∴3x+x＝4，∴x＝5，∴AH＝3，CH＝1，∵将△BHD绕点H旋转，得到△EHF，∴△BHD≌△EHF，∴∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝8，∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，∴∠EHA＝∠FHC，又∵＝1，∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，∴tan∠EAH＝tan∠ACH＝3，∴HP＝6AP，AE＝2AP，在Rt△AHP中，AP2+HP8＝AH2，∴AP2+（8AP）2＝9，∴AP＝，∴AE＝，故答案为：．三、解答题（一）（共4小题，满分24分，每小题6分）16．（6分）计算：．【解答】解：原式＝＝．17．（6分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝﹣2时，原式＝＝．18．（6分）乡村振兴，交通先行．近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，在修建600米后，由于采用新的修建技术，结果共用15天完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米．【解答】解：设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，根据题意得：+＝15，解得：x＝200，经检验，x＝200是所列方程的解．答：原来每天修建道路200米．19．（6分）如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）【解答】解：在Rt△ABD，∵AD＝6米，∠BAD＝30°，∴tan30°＝，解得：BD＝2（米），在Rt△ACD，∵AD＝6米，∠CAD＝60°，∴tan60°＝，解得：DC＝6（米），故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝4（米），答：该校的旗杆高为2米．四、解答题（二）（共3小题，满分24分，每小题8分）20．（8分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？【解答】解：（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：2000（1+x）2＝12500，解得：x6＝1.5＝150%，x8＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，依据题意可得：a≤3（100﹣a），解得：a≤75，w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a的值增大时，w的值减小，∵a为整数，∴当a＝75时，w取最小值，w＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．21．（8分）艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校36个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下列问题：（1）请你将条形统计图补充完整；并估计全校共征集了件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件获得一等奖，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，请你用列表或树状图的方法，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．【解答】解：（1）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷＝24件，∴估计全校共征集作品×36＝216件．条形图如图所示，（2）男生有3名，分别记为A1，A4，A3，女生记为B，列表如下：A1A2A3BA1（A6，A2）（A1，A7）（A1，B）A2（A3，A1）（A2，A4）（A2，B）A3（A2，A1）（A3，A8）（A3，B）B（B，A1）（B，A5）（B，A3）由列表可知，共有12种等可能情况．所以选取的两名学生恰好是一男一女的概率为＝．22．（8分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，∴PC是⊙O的切线．（2）解：由题意得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝8，∴OC＝4，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC•tan∠COB＝6．五、解答题（三）（共2小题，满分22分，23题10分，24题12分）23．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为（﹣2，0）（4，0），交y轴于点C．（1）求出抛物线解析式；（2）如图1，过y轴上点D作BC的垂线，交线段BC于点E，当EF＝时，请求出点F的坐标；（3）如图2，点H的坐标是（0，2），点Q为x轴上一动点（2，8）在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）将（﹣2，0），7），解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+8；（2）过点F作x轴的垂线交BC于N，交x轴于M，∵∠FNE＝∠BNM，∠FNE+∠EFN＝∠BNM+∠MBN＝90°，∴∠EFN＝∠MBN，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，由勾股定理得BC＝＝＝4，∴cos∠EFN＝cos∠MBN＝，即，∴FN＝3，∵B（4，7），8），∴直线BC：y＝﹣2x+8，设F（m，﹣m2+2m+4），N（m，∴﹣m2+2m+2﹣（﹣2m+8）＝8或﹣2m+8﹣（﹣m5+2m+8）＝6，∴﹣m2+4m＝6或﹣m2+4m＝﹣6，∴m1＝1，m2＝3；m3＝7+，m4＝8﹣（舍去），∴F（1，2）或（3，5﹣2，2+3），其中F（1，9）和（2+）两点所对应的E点不在线段BC上，∴点F的坐标为（7，5）；（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点Q位于x轴负半轴时，作PN∥x轴交y轴于点N，则四边形OMPN为矩形，∵P（2，5），∴NP＝OM＝2，ON＝PM＝8，∵H（7，2），∴NH＝8﹣5＝6，∴PH＝＝＝2，由折叠可知：PH＝HP'＝2，QP＝QP'，∴OP'＝＝＝6