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文档简介

向量知识点总结高中高三一、向量的概念和性质向量是指既有大小又有方向的量，通常用箭头表示。记作→AB或AB。向量的大小称为模，用|→AB|表示。向量的方向可以用角度、方向角或单位向量表示。二、向量的表示方法1.自由向量表示：以起点为原点，终点为坐标，用坐标向量<AB>表示。2.定位向量表示：以某个点为原点，另一点为坐标，用坐标<AB>表示。三、向量的基本运算1.向量的加减法向量的加法满足交换律和结合律，即A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)。向量的减法可以转化为加法，即A－B=A+(-B)。2.数乘将一个向量与一个实数相乘，得到的新向量与原向量的方向一致（同方向或反方向），大小为原向量的模与实数的乘积。3.数量积（点积）定义：两个向量的数量积等于它们模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。性质：数量积满足交换律和分配律，即A·B=B·A，A·(B+C)=A·B+A·C。定理：若A·B=0，则向量A与向量B垂直。4.向量积（叉积）定义：两个向量的向量积等于以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积。性质：向量积满足反交换律和分配律，即A×B=-(B×A)，A×(B+C)=A×B+A×C。定理：向量A与向量B的向量积等于向量A、B、O组成的三角形的有向面积的二倍。四、向量的线性相关与线性无关若存在不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得k1A1+k2A2+…+knAn=0，那么向量组A1、A2、…、An线性相关；否则，它们线性无关。五、向量的夹角和投影1.夹角定义对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ满足0≤θ≤π。夹角θ的余弦称为方向余弦。2.向量的投影若A和B是两个非零向量，A在B上的投影为|(A·B)/|B||∥B∥。六、平面向量的应用1.平面向量的平移平面上的向量可以进行平移操作，即将向量A的起点与向量B的终点重合，得到一个新向量C，记作C=A+B。2.平面向量的位置关系平面上的向量可以共线、共面或垂直。若A与B共线，存在实数k，使得A=kB，则A、B共线。若A、B不共线，且A、B的数量积等于0，则A、B垂直。七、空间向量的应用1.空间向量的共线与共面判断空间向量A、B、C共线的充要条件是存在实数k1、k2，使得A=k1B+k2C。空间向量A、B、C共面的充要条件是向量A、B、C的混合积等于0。2.空间向量的坐标表示空间向量可以通过坐标表示，使用三维坐标系，以原点为起点，终点为坐标构成向量。综上所述，向量是高中数学中的重要概念之一。通过对向量的表示、运算、共线、共面以及夹角和投影等知识的学习，能够更好地解决与向量相关的问题

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