解三角形(重点)-2023年高考数学一轮复习考点微新高考地区专用

考向22解三角形

【2022・全国•高考真题(理)】记ASC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-5)=sinBsin(C-A).

⑴证明：2a2=b2+c2;

25

(2)若a=5,cosA=—,求ABC的周长.

【2022・全国•高考真题】记ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知

cosAsin2B

1+sinAl+cos2B

⑴若C=g,求B；

（2）求£4'的最小值.

c

解答三角高考题的策略：

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角

形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的

实例.另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三

角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.

1.方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下:

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sin尤的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用至IJA+B+C=7T.

1勿错点!

1.基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外

接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

上=上

公式3==2hb2=c2+a2-laccosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-labcosC.

,b2+c2-a2

cosA二---------；

(1)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

「c2+a2-b2

常见变形(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

「a2+b2-c2

cosC二-----------

lab

（2）面积公式:

S.ABC=—absinC=—besinA=—acsinB

A222

S^ABC=-=-(a+b+c)-r。是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

A47?2

2.相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边oa:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

a〉b=A>5osinA>sin50cosA<cos5

③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc

====____=_____=_____=2K

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)△钿(?内角和定理：A+B+C=n

@sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

角形中

「tanA+tanB,「人,「一

-tanC=tan(zA4+B)=--------------------otanA+tan5+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA•tanB

@sin(li£).cos£;cos(l1£).sin£

2222

⑤在AABC中，内角AB,C成等差数列OB=Z,A+C=E.

33

3.实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

①北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

②北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

③南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比.

1经施杏式练

1.（2022・青海•模拟预测（理））在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为“也c,若/+〃=女"，

，一2

则△ABC的面积为匕r时，k的最大值是（）

2

A.2B.邪C.4D.275

2.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,且

b1+C1=a2+be,若sinBsinC=sin?A,则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

3.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（理））在ABC中，内角A,B,C的对边分别为

a,b,c.已知a=2,sin2A+3sin2B=2osin2C,贝1JcosC的最小值为.

4.（2022・上海•位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一

个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻，B收到发自

静止目标尸的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播

速度是1.5千米/秒.

（1）设A到尸的距离为x千米，用x表示8、C到尸的距离，并求x的值;

（2）求静止目标P到海防警戒线AC的距离.（结果精确到0.01千米）.

cosC-2cosA

5.（2022.全国.模拟预测）在ABC中，角4,3,C的对边分别为a,b,c,tanB=

sinC

a<b.

（1）求角8;

（2）若a=3,b=7,。为AC边的中点，求△BCD的面积.

6.（2022•河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

2acosA=bcosC+ccosB.

（1）求角A的大小；

⑵若a=24，6+c=6,求ABC的面积.

7.（2022•全国•高三专题练习）在ABC中，内角A,8,C对应的边分别为a,b,c,ABAC=6,

向量s=（cos4屈114）与向量/=（4,-3）互相垂直.

（1）求ABC的面积；

（2）若b+c=7,求。的值.

1.（2022・全国•高三专题练习）已知在ABC中，B=30,a=^,b=l,则A等于（

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022.河南.南阳中学模拟预测（文））ABC中，AB=AC=5,BC=6,点E满足

21

CE=-CA+-CB,直线。石与直线AB相交于点。，则CD的长（）

A亚B疸C迎n而

'5'To"'To''"KF

3.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

a?一〃=02一/；。且bcosC=asin8,则ABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022・四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A,8处岛屿的距

离，小明在。处观测，A,B分别在。处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行

驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则A,B两处岛

C.20(1+/)海里D.40海里

5.（多选题）（2022•福建・福州三中高三阶段练习）ABC中，角45c的对边分别为,

且a=2,sin8=2sinC,以下四个命题中正确的是（）

A.满足条件的A5C不可能是直角三角形

4

B.ABC面积的最大值为]

C.M是BC中点，肱的最大值为3

D.当A=2C时，ABC的面积为出

3

6.（多选题）（2022•广东・华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直

径为20，A,B,C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正

确的是（）

A.当A,B为底面圆直径的两个端点时，ZAPB=120。

B.ABIB面积的最大值为。

C.当ARIB面积最大值时，三棱锥C-R1B的体积最大值为恒卫

3

D.当为直径且C为弧的中点时，儿发+朋8的最小值为而

7.（多选题）（2022•河北•沧县中学模拟预测）在ABC中，三边长分别为a,b,c,且He=2,

则下列结论正确的是（）

A.a2b<2+ab2B.ab+a-\-b>2>/2

C.a+b2+c2>4-D.a+b+c<2>]2

8.（2022.青海・海东市第一中学模拟预测（文））在ABC中，。为其外心，

&A+2OB+OC=0,若BC=2,则。1=.

。-4—r

9.（2022•河北•高三期中）已知A5C中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,p=--—,

则45c的面积S=e（j_a）（p_b）d，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿

基米德得出.若ABC的周长为15,（sinA+sin8）:（sin8+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,则ABC

的面积为.

10.（2022・全国•高三专题练习（理））在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

a2+4/=c2,则tanB的最大值为.

11.（2022•辽宁・沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内

的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”.湖畔有秀湖阁（A）和临秀亭（8）两个标志

性景点，如图.若为测量隔湖相望的A、B两地之间的距离，某同学任意选定了与A、B不

共线的C处，构成ABC,以下是测量数据的不同方案：

①测量NA、AC.BC；

②测量乙4、B、BC；

③测量NC、AC.BC；

④测量NA、NC、B.

其中一定能唯一确定A、B两地之间的距离的所有方案的序号是.

12.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形A8CD中，已知8C

⑴若NCBD=45。，求2。的长；

（2）若cos/ACD=f,且AB=4,求AC的长.

13.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,且ABC的面积5=£（°2+/一片）

⑴求角8的大小；

(2)若a+取=2c，求sinC.

14.(2022•上海浦东新•二模)已知函数/■(x)=rsinx-cosx(teR)

⑴若函数/(x)为偶函数，求实数f的值；

⑵当仁小时，在ABC中(45c所对的边分别为“、6、。),若“2A)=2,。=3,且ABC

的面积为2辟，求”的值.

15.(2022・全国•高三专题练习)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2B

兀

(1)若c号2，求3

⑵求《4三的最小值.

C

16.(2022.青海・海东市第一中学模拟预测(文))在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,

b,c,a1-b1+^-bc=accosB.

2

⑴求角4

(2)若加皿24=/51115,求ABC面积的最大值.

17.(2022・上海金山・二模)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c.已知

2bsinA-岛=0,且B为锐角.

(1)求角8的大小；

(2)若3c=3a+J第，证明：ABC是直角三角形.

18.(2022・湖南・湘潭一中高三阶段练习)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

知(2〃-c)sinA+(2c-a)sinC=2bsinB.

(D求A

(2)若A5c为锐角三角形，且c=2,求A5C周长的取值范围.

19.(2022•上海黄浦・二模)某公园要建造如图所示的绿地Q4BC,OA,0c为互相垂直的

墙体，已有材料可建成的围栏A8与BC的总长度为12米，S.ZBAO=ZBCO.设/R4O=a

(0<a<—).

2

jr

(1)当45=4,a=y时，求AC的长；(结果精确到0.1米)

(2)当AB=6时，求Q4BC面积S的最大值及此时a的值.

20.(2022・上海虹口・二模)如图，某公园拟划出形如平行四边形43CD的区域进行绿化,

在此绿化区域中，分别以/DCB和ND钻为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇

形的圆弧均与8。相切.

⑴若AZ）=4廊，AB=3后,BD=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135。，则/应M多大时，平行四边形绿地A3C。占地面

积最小？

1.（2021.全国.高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,

其中第一■题是测海岛的IWJ.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于

水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和都称为“表目距”,

GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）

表IWIx表距表图x表距

A.+表高B.-表高

表目距的差表目距的差

表IWJx表距表高x表距一

C.+表距表目距的差表距

表目距的差

2.（2021•全国•高考真题（文））在A5C中，已知8=120。，AC=J19,AB=2,则8C=

)

A.1B.&c.75D.3

3.（2021・浙江•高考真题）在ABC中，ZB=60°MB=2,M是2C的中点，AM=24,

则AC=,cosZMAC=.

4.（2022・浙江・高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式,

他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公

式，就是S=tc2a2一J、；-1］；,其中a,：。是三角形的三边，§是三角形的面积.设

某三角形的三边a=&,b=0=2,则该三角形的面积S=.

5.（2022•全国•高考真题（理））已知A5C中，点。在边上，

AT

ZADB=120°,AD=29CD=2BD.当，取得最小值时，BD=________.

AB

JT

6.（2022•上海•高考真题）在中，ZA=-,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半

径为________

7.（2021.全国.高考真题（理））记ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,面积为褥，

B=60°,a1+C1=3ac,则b=.

8.（2022.全国.高考真题（理））记ABC的内角4伉。的对边分别为。也c,已知

sinCsin（A-B）=sinBsin（C-A）,

⑴证明：2a2=b2+c2;

25

（2）若Q=5,cosA=——,求ABC的周长.

9.（2022.全国.高考真题）记ABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知

cosAsin2B

1+sinAl+cos2B

兀

⑴若c号2，求8；

（2）求心反■的最小值.

C

10.（2022・浙江・高考真题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

3

4a=>/5c,cosC=5.

(1)求sinA的值；

(2)若6=11,求ABC的面积.

11.(2022•北京・高考真题)在ABC中,sin2C=N/3sinC.

⑴求NC；

(2)若6=6,且ABC的面积为6不，求ABC的周长.

12.(2022・全国•高考真题)记ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,