高一数学-必修一复习资料

第一章

§1.1集合

1.关于集合的元素的特征

(1)确定性(组成元素不确定的如：我国的小河流)

(2)互异性

(3)无序性

集合相等：构成两个集合的元素完全一样

(1)若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作

A=B.

(2)A=3,8=AoA=8

例：已知A={l,l+d,l+2d},B={1,q,q2},若A=B,求的，d,q的值。

解：d=—q=一：

2.元素与集合的关系；

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto)A,记作a@A

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(notbelongto)A,记

作agA

子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合

A叫做集合B的子集，记作ARB或3卫A.

若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含

P.记作

PUQ

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫

做集合B的真子集.Au8或3nA.

子集与真子集的性质：传递性：若Ac3,B匚C,则

空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真导集.

3.常用数集及其记法

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

4.集合的表示方法

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},•••；

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号位内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或

变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共

同特征。

2

如口『3〉2),依,川产1划，值角三觥},•1•；

(3)自然黯麟法:小于10糊商E憾毓糠合。((2,4,0))

%L(1,3,5,7,魏舰斯露力法拓?2、用物举法表示

集倒邛川1。＜8}

料(1)由I集合!Ha,b,c忡的三忻独械某一三般的三条逐

股此三角形一好是()

A直角三触B触三翩C就三翩D等虹翻

5臬合同的基本运#

并集(U)：速触牖鼾集合盛鼾龄B的施毓糠合,成

为集合A与B的并兔记作AUB,肌

嫖(n)：一嬲,由鼾集合A且鼾集合B的牖瀛毓的

黔称为A与B般集,记作AflB,Q：

神工巾“肌必韦噩虾：

5、改A=kH*2},B=(x|Kx<3}^AUB.

6、集钿邛|/Z},8二侧?”},躯ns二

7、改总x［加+川p2-4q>0},A={l,3,5,7,91,8=(1,4,7,10),且

XflA=0,XOB=X,琳p、q；

8、己「集合Ha+2,(a+1)2,a+3a+3},IIGA,假教a的信

9、改案合A={x|f-5x+6=0),B=(ximx+l=0},AUB=A,求实教m雌如成

的集合。

10、集合A阳卜2K2,xGR},B=My=YTG&h11cl(AflB)等

于()

A.RB.{x|x£R,xWO}C.{0)D,0(空胤

lh己炖,b)cA,且A为{a,b,c,d,捕真子集,嵋足霜糠合A

m0

12、Mf(x)=lg(2x-3)的定义域腺合Y,由费g(x)=Ri定

\X-l

始为集合N,茄⑴集合kN；(2)集合mflNJUN

13、改集合国川mKU,B=k|f-5x+4冽，若AO%般教a

的取豌国是0

§1.2函数

函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对

于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，

那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x),xGA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x©A}叫做函数的值域.

构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域

区间：(1)、开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)、无穷区间；区间的数

轴表示

例1：已知函数f(x)=Jx+3+—1—,求函数的定义域。

x+2

例2：设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析

式，并写出定义域。

函数的定义域小结：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集

合

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等

于零的实数的集合.

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部

分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

例3：下列函数中哪个与函数y=x相等？

(1)y=(v'x)2;(2)y=(\ix3);

,—v-2

(3)y=y[x^;(4)y=—

x

练习：1.求下列函数的定义域

⑴丫士十《11

(2)丫=乂,国9

J1T

(3)已知f(x)的定义域为,求函数F(x)=f(1—x)+f(i)的

定义域。

2.已知A={1,2,3,k},B={4,7,a,a2+3a},aGN*,x@A,yGB,f：x一

y=3x+l是从定义域A到值域B的一个函数，求a,k,A,B。

解：a=2,k=5,A={1,2,3,5},B={4,7,16,10}

5

映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则了,

使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,

那么就称对应/：A-B为从集合A到集合B的一个映射.

记作“/：A-B”

说明：

(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其

中了表示具体的对应法则，可以用多种形式表述.

(2)“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有

且只有一个的意思.

例：1.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合A到集合B的所有不同的映射有()

个。

2.已知A={x,y},B={a,b,c},从集合B到集合A的所有不同的映射有()

个。

函数的表示方法：解析法、列表法、图像法

练习：1.已知f(x—2)=2x2—9x+13,求f(x)---配凑法

答案：f(x)=2x2-x+3

2

2.已知f(v区+1)=x+2vx»求f(x+1),f(x)——换元法

答案：f(x+1)=X2+2X,(X》0)；f(x2)=x-L(xW—1或x2l)

3.已知f(x)是一次函数，且有(x)]=9x+8,求f(x)--待定系数法

答案：f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

4.设f(x)满足关系式f(x)+2f(-)=3x,求f(x)--消元法

X

答案：f(x)=-—x,x£{x|x£R,xWO}

x

6.已知xWO,函数f(x)满足f(x—二)=X2+A,则f(x)的表达式为()

Xx2

A.f(x)=x+-B.f(x)=X2+2C.f(x)=x2D.f(x)=(x—i)2

XX

7.已知函数f(x)4Z3，-，那么f⑸的值为()

A.32B.16C.8D.64

8.若函数f(2x+l)x2-2x,则f(3)=()

9.已知函数f(x)则f(1)+f(2)+fG)+f(3)+f(1)+

14-r223

f(4)+f(工)的值为o

4

10.已知f(-+1)=lgx,求f(x)

11.已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+l,求f(x)

12.定义在(一1,1)内的函数f(x)满足：2f(x)—f(—x)=lg(x+1),

求函数f(x)的解析式.

6

§1.3函数的基本性质

增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区

间D内的任意两个自变量％,X2,当xKx?时，都有f(xj<f(x2),那么就说f(x)

在区间D上是增函数。

注意：

(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量Xi,X2；当x《X2时，总有f(x)〈f区).

减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区

间D内的任意两个自变量x“x”当x《X2时，都有f(xj>f(x。，那么就说f(x)

在区间D上是减函数。

函数的单调性定义：

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这

一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

例1：物理学中的玻意耳定律P=2(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体,

V

当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。(设％>V2>0)

判断函数单调性的方法步骤：

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取Xi，X2GD,且X《X2；

②作差f(xj—f(xD;

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(xj—f(X2)的正负)；

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

练习：

1、用函数单调性的定义证明f(x)=X+NE(、2，+°°)上是增函数。

X

2、若3*—5,成立,则()

A、x+y>0B、x+y<0C、x+y》OD、x+yWO

3、函数yWogf/z(4+3x-x2)的一个单调递增区间是()

A.(—8,3)B.邑+8)c.(-1,3)D.4)

2222

4.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()

A.y=—x+1B.y=y/xC.y=x2—4x+5D.y=-

5.函数f(x)=-J—(xER)的值域是()

A.(0,1)B,(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

6.已知函数f(x)ax2+2ax+l,x£[—3,2]的最大值为4,求其最小值.

7

函数的奇偶性和周期性：

函数的奇偶性定义：

1.偶函数：

一般地，对于函数/(X)的定义域内的任意一个X,都有/(-x)=/(x),那么/(X)

就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.

2.奇函数:

一般地，对于函数/(X)的定义域的任意一个X,都有/(-X)=-/(x),那么/(X)

就叫做奇函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性

质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域

内的任意一个X,则-X也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对

称).

3.具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

练习：

1.已知函数f(x)是定义在(一8,4-00)上的偶函数，当X®(—8,0)时,

f(x)=x—x4,则当xG(0,+°°)时，f(x)=

2.已知f(x)是定义在R上的偶函数.且在[0,+8)上为增函数，若

f(a)(2),则实数a的取值范围是：

3.函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2),若f(1)=-5,则

f(X)

f(f(5))=

第二章基本初等函数

§2.1指数函数

一、指数和指数幕的运算

1、n次方根的含义

一般地，若x"=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1,且nwN*

2、n次方根的写法

美丁海,[〃为奇数，。的〃次方根有一个，为窈

a为正数:1一

〔〃为偶数，。的〃次方根有两个，为士而

斗，石将/〃为奇数，a的〃次方根只有一个，为窈

〃为偶数，a的〃次方根不存在.

零的n次方根为零，记为皿=0

8

小结：正数的偶次方根有两个，并且互为相反数；负数没有偶次方根；零的任何次方根

为零。

【例1】写出下列数的n次方根

(1)16的四次方根；(2)-27的五次方根；(3)9的六次方根

解：(1)土洒=±2

(2)_也7

(3)±6/9=±3/3

3、n次方根的性质

归纳：n次方根的运算性质为

(1)(&)"=a

(2)n为奇数，底=a

n为偶数，^J7=\a\=［a，a-Q

-a,a<0

【例2］求下列各式的值

(1)(1)Q)«-10y(3)玳3-兀口(4)J(a-b¥(a>b)

解：⑴玳-8)3=-8;

(2)7^i3f=|-iq=10；

(3)y(3*=3一九|=兀-3；

(4)=^i-b\=a-b.

［随堂练习］

1.求出下列各式的值

⑴而歹(2对(3”(D(3)］(3」-33(a>l)

解：(1)，2>=-2；(2)=3a-3

(3)私3a—3尸=3。—3|=3a-3

【例3】：求值：

(1)J5+2、后+<7-473-,6-4、/1;

(2)273XVT5XV12

分析：(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

解：

9

(1乂5+2«+77-473-y!6-4。

22

=7(V3)+2V''3«V2+(72)+亚-2x2招+(4--百-2x2、叵+陋丫

=J((&+伪)2+"(2一扬2_42—@2

=14+⑸+12-51-12-⑸

=x/3+v'2+2-^-(2-<12)

=2、/1

注意：此题开方后先带E绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。

(2)273xVL5xV12

=2xjWx，X滓^

=2x疗瓦

=2X6|33-1L-22-3

V22

=2x3=6

［随堂练习］

2.若JQ2—2Q+1=Q-1,求〃的取值范围。

解：。21

3・计算^7+玳3—2)4_玳2—/)3

解：-9+/

第一R

1、分数指数幕

规定：(1)、正数的正分数指数鬲的意义为：

m

an=qam(a〉O,m,neN*)

正数的负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同.

m［

即：«"=—(«>O,m,«eiV*)

an

(2),0的正分数指数鬲等于0,0的负分数指数鬲无意义.

2、分数指数塞的运算性质

整数指数幕的运算性质，对于分数指数幕同样适用，即：

(1)ar-as=ar+s(〃>。，八seQ)

(2)(ar)s=ars(a>。，八s£Q)

(3)(aby=arbr(a>Qb>0,reQ)

10

3、无理指数幕

思考：若。>0,P是一个无理数，则4。该如何理解？

自主学习：学生阅读教材第62页中的相关内容

归纳得出：。的不足近似值，从由小于。的方向逼近一，户的过剩近似值从大于

0的方向逼近虎。所以，当也不足近似值从小于&的方向逼近时，5衣的近似值

从小于5"的方向逼近5户.

当F的过剩似值从大于F的方向逼近"时，5"的近似值从大于5度的方向逼近

51,(如课本图所示)所以，5#是一个确定的实数.

总结：一般来说，无理数指数幕M(a〉0，0是一个无理数)是一个确定的实数，有理数

指数幕的性质同样适用于无理数指数幕.这样幕的性质就推广到了实数范围

ar-as=ar+\a>Q,r&R,seR)

(arX=ars(a>Q,r&R,s&R)

(a-b)'=arbr(a〉0,rwR)

练习：

［轻松过关］

1、下列式子中计算正确的是(D)

A。)=%24BG)=X，CX3•x2=x6J=9a4

2下列式子中计算正确的有(A)

(1)aJ_J=J-a；(2)ylyl^/a=a"(3)+b~^=a+a1

A0B1C2D3

3、(/2>.(/2)3的值是(B)

A2B2'®€272D8

4、下列说法正确的是(C)

A5应无意义B5"〉25C5141<5^<5142D5^<5

5、用计算器算10Q-101414=0.0128;(保留4个有效数字)

1

6、已知小+°F=3，则a+cT=7;

7、计算尸(加萨户:91002的值

111

解：原式=户10T

［适度拓展］

3

8、化简：jQ+e-)-4+jG_0-3)+4(e=2.718)

11

3

解：原式二/一0—3|+/+4=26

9.已知Q+Q-1=3,求JQ3+〃-3的值

解原式二3J2，提不：a3+a~3=(a+a~1\a2-a-a~x)

［综合提高］

10.已知：a=2j7,b=5F,

34

求—必_上的值

「3_14£三

骨歹-6ak+9庐公+3官

33_1432

22

解:由a^b--6a^b~+9b~=-3b~)，

3532

又l<a<b,：.a~<。<3於，从而得i<3必，

310310

..原式二於一9庐b9/b2

23-3r―5-3r

3b3-a~bla~+3Z?^3/?W-Q”/+3分

310

(a5-9b~)b2

103=_62=_(5、Q)2=_50.

9b~-a~

二、指数函数及其性质

定义：一般地，函数y=优（。>0且a。1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的

当0<a<1时，函数的图象为：

12

图象特征函数性质

a>10<a<1a>10<a<1

向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在X轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点(0,1)a°=l

自左向右，自左向右，

增函数减函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

在第一象限内的图在第一象限内的图

x>0,ax>1x>0,ax<1

象纵坐标都大于1象纵坐标都小于1

在第二象限内的图在第二象限内的图

x<0,ax<1x<0ax>1

象纵坐标都小于1象纵坐标都大于1f

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(工)在1㈤上,/(公=优(。>0且OH1)值域是"(a)J(b)］或"3),/3)］；

(2)若xw0,则/(x)w1"(x)取遍所有正数当且仅当xeR;

(3)对于指数函数/(%)=优(。>0且。)，总有/⑴=a;

(4)当a>1时，若/v%，则f(xj</(%2)；

练习：

1、函数f(x)=(：广的定义域和值域分别是多少？xeR,y〉0

2、当xe［-LU时屈数f(x)=3x—2的值域是多少？(-g，1)

13

§2.2对数函数

对数与对数运算

对数：一般地，若优=NQ〉0,且。w1),那么数x叫做以a为底N的对数，记

作x=log“N

a叫做对数的底数,N叫做真数.

2、对数式与指数式的互化

在对数的概念中，要注意：

(1)底数的限制。＞0,且“1

(2)优=N=3N=x

指数式0对数式

幕底数一。一对数底数

指数-X-对数

幕一N-真数

恒等式：小”=N

负数和零没有对数。

Logal=0;logaa=l

两类对数：

①以10为底的对数称为常用对数,log］。N常记为lgN.

②以无理数e=Z71828…为底的对数称为自然对数，log,N常记为InN.

例：求下列各式中X的值

2、

x=*2

(1)log64(2)logx8=6(3)IglOO=x(4)-Ine=x

分析：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.

_2_2,,_21

解：(1)x=(64)=(43)^=4，=4~~=—

1111_

(2).=8,所以(%6户=(81=(23户=21=。

(3)10*=100=102,于是％=2

(4)由一Ine?=无，得一x=lne2,即=e?,所以x=—2

对数的运算

运算性质：

,果。〉0，且awl,〃〉0,N〉0,那么：

@log“(M・N)=logflM+logflN;

M

2log“犷=log”/-bg〃N；

14

3log。Mn-nlog”M(ne7?).

换底公式

log01=bgJ(tz>0,且awl；c>0,且cwl;Z?>0).

logca

证明：设,所以x因为x所以

ax=blogca=logcb,logca=xlogca;

x

X=logca/logca=logcb/logca=logab

换底公式推论

1n

()log,b=—loga^;

m

(2)logab=—^--.

log；,a

对数函数的图象

(i)y=log2x

(2)y=logi%

2

(3)y=iog3%

(4)y=iog]X

3

图象特征函数性质

a>10<a<1a>10<a<1

函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0,+8）

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R

函数图象都过定点（1,1）r=i

自左向右看，自左向右看，

增函数减函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

第一象限的图象第一象限的图象

x>1,logx>00<x<1,logx>0

纵坐标都大于0纵坐标都大于0a

第二象限的图象第二象限的图象

0<x<1,logx<0x>1,logq%<。

纵坐标都小于0纵坐标都小于0a

15

§2.3幕函数

定义：一般地，形如y=心（％£R）的函数称为鬲孙函数，其中％是自变量，a是常

数.

1_1

如y=%2,y=炉,y=x-4等都是幕函数，幕函数与指数函数，对数函数一样，都是

基本初等函数.

五种基本黑函数：

1

3

y=xy=/y=x2y=x-1

-By=x

定义域RRR(X1A：>0}{x1xw0}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限在第I象限

单调增减性单调递增单调递增单调递增单调递增单调递减

定点(1.1)(1,1)(1.1)(1.1)(1,1)

幕函数性质：

（1）所有的幕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：P=1）;

（2）X>0时，幕函数的图象都通过原点，并且在［0,+8］上,是增函数（从左

往右看，函数图象逐渐上升）.

特别地，当X>1,时，X£（0,l）,丁二好的图象都在,二彳图象的下方，

形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当Navi时，XW（0,1）,y=f的图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，

a越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

16

(3)av0时，幕函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x

慢慢地变大时，图象在％轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

例题：

证明幕函数="在［0,+8］上是增函数

证：任取X19X2£[0,+OO),且巧V42则

/(%)-/(冗2)二内-厄

_Xr-x2

五十口

因-%2V。，+J^2>0

所以/(占)</(%2),即/(%)=6在[0,+◎上是增函数.

17

第三章函数的应用

§3.1函数与方程

零点定义：对于函数y=/(x)(xeD),把使于(x)=0成立的实数X