2024届辽宁省各地高二数学第一学期期末统考试题含解析

2024届辽宁省各地高二数学第一学期期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.椭圆土+匕=1的焦点为Fi,F2,点P在椭圆上，若|PFi|=4,则NF1PF2的余弦值为

92

11

A.—B.一一

22

C.BD.一虫

22

2.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线必=_8y,已知水利人员在某个时刻测得水面宽|AB|=8m,则此时

C.4mD.2m

3.经过A(-2,0),4(-5,3)两点直线的倾斜角是()

A.45B.135

C.90D.60

4.已知随机变量孑N(3,/),尸(]«4)=0.76,则尸仁42)的值为O

A.0.24B.0.26

C.0.68D.0.76

5.等轴双曲线渐近线是()

A.y=±xB.y=±A/2%

C.y=±A/3XD.y=±2A/2X

6.已知等比数列｛4｝的前〃项和为，，首项为生,公比为4,则在=()

A.2B.q

C.2qD.l+4

7.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件”至少2次出现正面”的对立事件是()

A.只有2次出现反面B.至多2次出现正面

C.有2次或3次出现正面D.有2次或3次出现反面

8.在正三棱锥A—BCD中，ZBAC=ZBAD=ZCAD=90°,且A3=AC=A£>=1,M,N分别为BC,A。的中

点，则直线AM和CN夹角的余弦值为()

A行R而

A.---D.-----

55

「屈nV5

U.-----U,--

55

9.直线y=—x+1的斜率为()

A.135°B.45°

C.lD.-l

22

10.双曲线言―卷=1的两个焦点为片，F2,双曲线上一点P到8的距离为8,则点P到工的距离为。

A.2或12B.2或18

C.18D.2

11.若直线/：y=尤+m与圆C:(x—iy+(y—1)2=4只有一个公共点，则机的值为()

A.&B.+V2

C.2&D.±2y/2

12.设4,02分别为具有公共焦点e与工椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足产£・。鸟=0,

则炉S的值为

(a2)~

A.1B.1

C.2D.不确定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设数列｛4｝满足01+3%+…+（2”-1）。”=2“，则即=

14.若xe[2,5]和xe｛x|x<l或九>4｝都是假命题，则'的范围是

15.点尸是棱长为1的正方体A3C0-A151C1O1的底面Ai5iGZ>i上一点，则PA-PG的取值范围是—.

16.关于曲线。：炉―封+丁二人给出下列三个结论：

①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；

②曲线。恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线C上任意一点到原点的距离都不大于20.

其中，正确结论的序号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在多面体A5CE尸中，ABC和ACE均为等边三角形，。是AC的中点，EF//BD

（2）若平面ABC,平面ACE,求二面角A—5C—E余弦值.

18.（12分）已知圆C的圆心在直线y=2x+4上，且经过点以（0,2）和N（2,4）

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点P（LO）的直线/与圆C交于A,8两点，且|AB|=2百，求直线/的方程

22

19.（12分）已知椭圆C:与+==1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳,B，过右焦点工作直线/交。于

ab

4%12）,5（程%），其中M〉0,%<0,A朗的周长为4行，。的离心率为日.

（1）求C的方程；

（2）已知月的重心为G,设和的面积比为;I,求实数2的取值范围.

20.(12分)已知数列｛。“｝满足％=2,an+i=2an-n+l(neN*).

（1）证明：数列｛%一科是等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式;

⑵数列也｝满足：=2a_2〃（〃eN*），求数列也｝的前"项和S,.

21.（12分）在2016珠海航展志愿服务开始前，团珠海市委调查了北京师范大学珠海分校某班50名志愿者参加志愿

服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据如下表：（单位：人）

参加志愿服务礼仪培训未参加志愿服务礼仪培训

参加赛会应急救援培训88

未参加赛会应急救援培训430

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率;

（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的8名同学中，有5名男同学A-A2,A3,A4,A5,3

名女同学3i，B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A।被选中且8।未被选中的概率.

22

22.（10分）已知双曲线C：二—与=1（。＞0力〉0）的渐近线方程为氐±2〉=0,且过点（2夜，石）

ab

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线/交双曲线于A3两点，求弦长

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

22_______

【解题分析】根据题意，椭圆的标准方程为:+]=1,其中。=9=3,6=05（lc=后与=近，

则有I尸匹|=24，若a=3,贝！||「乃|+|尸尸2|=2。=6,又由|P尸i|=4,贝!J|PF2|=6-|PFI|=2,

则cos4尸P1尸2=42+2?—（2⑺=_,

2x4x22

故选B

2、D

【解题分析】代入计算即可.

【题目详解】设8点的坐标为(4,y),由抛物线方程f=-8y得'=t=—2,则此时刻拱桥的最高点到水面的

—8

距离为2米.

故选：D

3、B

【解题分析】求出直线的斜率后可得倾斜角

3

【题目详解】经过4—2,0),3(—5,3)两点的直线的斜率为kAB=—=—1,

-5+2

设该直线的倾斜角为a,贝！Jtana=—1,

又0鞍？a180，所以a=135°.

故选：B

4、A

【解题分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.

【题目详解】因随机变自N(3,/),。(。<4)=0.76,有P(f<4)=P(”4)=0.76,由正态分布的对称性得：

W2)=P(空4)=1-P(J<4)=1-0.76=0.24,

所以。(J<2)的值为0.24.

故选：A

5、A

【解题分析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.

b

【题目详解】因为。=》，若双曲线的焦点在X轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为y=±-x=±x；

a

若双曲线的焦点在丁轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为y^+-x=+x.

b

综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为y=±X.

故选：A.

6、D

a1+

【解题分析】根据—=」一生=1+4求解即可.

qax

【题目详解】因为｛4｝等比数列，。户0,

所以生=]+q.

^<1

故选：D

7、D

【解题分析】根据对立事件的定义即可得出结果.

【题目详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，

“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，

对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”

故选：D

8、B

【解题分析】由题意可得A3,AC,AD两两垂直，所以以A为原点，A3,ACA。所在的直线分别为x，%z轴，建立

空间直角坐标系，利用空间向量求解

【题目详解】因为44C=NS4Z)=NC4D=9O。，

所以A3,AC,AD两两垂直，

所以以A为原点，A5,所在的直线分别为％%z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

因为AB=AC=AD=1,

所以A(O,O,O),B(1,O,O),C(O,1.0),0(0,0,1),

因为M,N分别为5C,AO的中点，

所以呜M，N[O,O,J,

所以AM=6,g,o]CN=〔0,-1,3,

设直线A拉和CN所成的角为e,则

所以直线AM和CN夹角的余弦值为巫,

5

故选：B

■A_l

>x

9、D

【解题分析】由斜截式直接看出直线斜率.

【题目详解】由题意得：直线斜率为-1,

故选：D

10、C

【解题分析】利用双曲线的定义求|尸耳|.

【题目详解】解：由双曲线定义可知：||「闾一8|=2a=10

解得|P闾=18或—2（舍）.•.点P到工的距离为18,

故选：C.

11、D

【解题分析】利用圆心到直线/的距离等于半径列方程，化简求得加的值.

【题目详解】圆。的圆心为（LL）,半径为2,

直线/:x—y+m=0与圆C只有一个公共点，所以直线/与圆C相切，

11-1+mlIml

所以J~1=丫=2=加=±2垃.

V2V2

故选：D

12、C

【解题分析】根据题意，设它们共同的焦距为2c、椭圆的长轴长2a、双曲线的实轴长为2.，由椭圆和双曲线的定义

及勾弦定理建立关于a、c、m的方程，联解可得d+机2=2C2,再根据离心率的定义求解

【题目详解】由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长2a,双曲线的实轴长为2%，

设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得IPFiL|P尸2|=2m①

由椭圆的定义甲尸I|+|PF2|=2"②

又•.,尸耳.理=0,

APFl±PF2,可得/FIPF2=90°,

故|PgP+|PF2|2=4C2③,

222

①平方+②平方，得甲吊|+|PF2Ma+2m@

11

将④代入③，化简得层+加2=2。2,即7

=2'

7+m2

11c

可得F+F=2,

e\e2

e；+/11

所以;2

(e©)6e2

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13、-----

2n-l

2

【解题分析】先由题意得〃22时，4+3/+L+(2〃-3)Q〃T=2(〃—1),再作差得为=-----,

2n-l

验证”=1时也满足

【题目详解】ai+3a2+...+(2n-Y)an-2nQ)

二当〃=1时，％=2；

二当“22时，+3a2+L+(2"—3)a“_i=2("一1)②

2

①一②得=2,4=-------，当〃=1也成立.

2〃一1

2

即4=

2/2-1

2

故答案为：-―-

2n—1

14、［1,2)

【解题分析】先由无«2,5］和{九|九<1或尤>4}都是假命题，求出x的范围，取交集即可.

【题目详解】若xe［2,5］为假命题，则有xe{x|x<2或%>5}

若尤＜1或x＞4}是假命题，则xe{x11WxW4}

所以尤的范围是1W尤＜2

即x的范围是［1,2)

胡答案：［1,2)

15、［-0］

【解题分析】建立空间直角坐标系，设出点尸的坐标为(x,y,z),则由题意可得OWxWLOWyWl,z=l,计算

PA•PC；=x2-x,利用二次函数的性质求得它的值域即可

【题目详解】解：以点。为原点，以ZM所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，以05所在的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示；

则点A(1,0,0),Ci(0,1,1),

设点尸的坐标为(X,y9z),由题意可得OWxWLz=l；

PA=(l-x,-y，-1),PC1=(-x,1-y，0),

22

PA,PC］=-x(1-x)-y(1-j)+0=x-x+j-~~21

由二次函数的性质可得，当x=y=；时，尸建^^^取得最小值为一)；

当x=0或1,且y=0或1时，PA•PC1取得最大值为0,

则PA・PG的取值范围是［-g,0］

故答案为：［-7，0］

2

cy

【题目点拨】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目

16、①③

【解题分析】设P（a，6）为曲线上任意一点，判断Q（—。，―»、M（a-b）.N（—。力）是否满足曲线方程即可判断①;

2.2

求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用孙4三”即可得必+y2V8,即可判断③；即可得解.

【题目详解】设尸（凡切为曲线上任意一点，则/一仍+廿=4，

设点P关于原点、X轴、y轴的对称点分别为。（―区―»、M（a-byN（-a,b）,

因为（一。）一（一a）（—/?）+（—/?）=fl2—ab+b2=4；

a2—a（—b）+（-b）~=a2+ab+bH4；（—a）-（一a）b+/?=ci+ab+丰4；

所以点Q在曲线。上，点V、点N不在曲线。上，

所以曲线。关于原点对称，但不关于％轴、y轴对称，故①正确；

当X=O时，y=±2；当y=0,x=±2.

此夕卜，当x=2时，y=2；当x=-2时，y=-2.

故曲线过整点（0,2）,（0,-2）,（2,2）,（-2,-2）,（2,0）,（-2,0）,故②错误;

22

又一+/—2移=（无一丁?20,所以孙V“恒成立,

2,2

由V—孙+/=4可得―+丁=4+砂<4+土方匚，当且仅当工=，时等号成立，

所以1+>2<8,所以曲线上任一点到原点的距离于（2应，故③正确.

故答案为：①③.

【题目点拨】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析

⑵为

5

【解题分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到AC，/»、ACLDE,即可得到AC,平面8。石，再根据

EFHBD,即可得证；

（2）由面面垂直的性质得到DEL平面ABC,建立如图所示空间直角坐标系，设A3=2,即可得到点3,C,E的

坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【小问1详解】

证明：连接OE

因为A5=5C,且。为AC的中点，所以AC，3Z）

因为AE=EC,且。为AC的中点，所以ACLOE

因为BDu平面由加，DEu平面3DE,且BDcDE=D，所以AC,平面3£见

因为EF//BD,所以班'u平面也汨，所以AC，所

【小问2详解】

解：由（1）可知。ELAC

因为平面ABC_L平面ACE,平面ABCTffiACE=AC,DEu平面ACE,所以。E_L平面ABC,所以OC,

DB,OE两两垂直

以。为原点，分别以DC，DB，£>E的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z

设AB=2.则B(0,60),C(l,0,0),£(0,0,73).从而3C=(1,—6,0),CE=(-1,0,A/3)

设平面BCE的法向量为n=（%,y,z）,

n-BC=x-43y=0,

则令元二出,得〃=(G/,1)

nCE=-x+A/3Z=0,

平面ABC的一个法向量为m=（0,0,1）

设二面角A—BC—E为夕，由图可知。为锐角,

rr

n"

f1_A/5

则0=|COS^H,=阚

cosn75=T

22

18、(1)X+(J-4)=4

(2)九=1或15x+8y—15=0

【解题分析】（1）点“（0,2）和N（2,4）的中垂线经过圆心，两直线联立方程得圆心坐标，再利用两点间距离公式求

解半径.

(2)已知弦长，求解直线方程，分类讨论斜率是否存在.

小问1详解】

点”(0,2)和N(2,4)的中点为(1,3),%加=1,所以中垂线的耳=T，利用点斜式得方程为％+V一4=0,联立方

程,'c得圆心坐标为(0,4),火=后方=2所以圆C的标准方程为无2+(y—4)2=4.

x+y-4=0、)

【小问2详解】

当过点P(1,0)的直线/斜率不存在时，直线方程为x=l,此时弦长|4目=26，符合题意.

当过点P(l,0)的直线/斜率存在时，设直线方程为y=依尤-1),化简得kx-y-k=0,弦心距d=«一(百『=1，

|左乂0—4一用15

所以d=J_1=1,解得左=一所以直线方程为15x+8y-15=0.综上所述直线方程为％=1或

ViTF8

15x+8y—15=0.

19、(1)—+y2=1

2

(6-06+0、

(2)112,12J

【解题分析】(1)已知焦点弦三角形的周长，以及离心率求椭圆方程，待定系数直接求解即可.

(2)第一步设点设直线，第二步联立方程韦达定理，第三步条件转化，利用三角形等面积法，列方程，第四步利用韦

达定理进行转化，计算即可.

【小问1详解】

因为A34的周长为4夜，。的离心率为日，

所以4a=40，，所以a=0，c=l,

a2

又〃=a2—c1=],

y2

所以椭圆C的方程为土+y2=i.

2

【小问2详解】

方法一：月(—1,0),居=(1,0),

BF[G的面积为SBFG=SB0F[+SGOF]+SGOB=SB0F[+,S40F1+§SAOB

111/\1/c\

：-+%(M—%)=§(%_2y2)，

A5£的面积为SABFi=%-%，

…—X-2%得X之R3/i—2

则IE①

^l-.x=ty+l,与椭圆C方程联立，消去y得“2+2)/+2K-1=0,

-2t-1

由韦达定理得-%+%=/=不，乂%=/7?・

LI乙LI乙

令％=相丁2，②

m<0

_j-za(m+lY-4/

则,(加可得1------L

mt2+2

2—1

I吵K

当f=0时，(2)=0

m

2

(m+1)-4z、

当踪0时，m=一5e(-4,0)

1+产

所以T<('"+1)K0,又加<0

m

解得-3-20<m<-3+26③

由①②③得一3—2后〈昵二2<—3+2应，解得仁与<夭<9±《1.

32-11212

(6-V26+0)

所以实数彳的取值范围是一^，一^.

I1212J

方法二：同方法一可得

3耳G的面积为S%G=；(%—2%)，

一A54的面积为S

ABFX=%一%，

A-2

…—M-2y2,得3%=2一=1+^^,①

则EH

A-i1-A

%%

设/:x=O+l,与椭圆C方程联立,消去y得(/+2)/+25一1=0,

-2t-1

由韦达定理得V]+乂=产+2’%%―/+2

2?

所以义+及="+%~=

%%%%15^

因为teR,所以-6〈星+区＜一2

%%

解得-3—2^/2<—<—3+2^/2②

%

由①②解得上正＜2＜如正

1212

6—^/26+^2

所以实数彳的取值范围是

77+2

2。、⑴证明见解析，―人⑵S〃=2-

【解题分析】(1)将给定等式变形4+1-(〃+1)=2(4-“)，计算6-1即可判断数列类型，再求出其通项而得解;

⑵利用⑴的结论求出数列｛〃｝的通项，然后利用错位相减法求解即得.

【题目详解】⑴因数列｛凡｝满足q=2,an+i=2an-n+l,

则4+i—5+1)=2(a”—”)，而q-l=l,于是数列｛氏一4是首项为1,公比为2的等比数列，q-〃=12'T,即

an=2"T+n,

n

所以数列｛4—科是等比数列，an=2-'+n,〃eN*

nn

(2)由⑴知％=

2(2,1-l+n)-2n2.

"+N++-

〃22223T

皿10123n-1n

则5s”=*+/三+H----------1--------

2〃2〃+i

于是得工5=1+±+±+।1"=2口一（2力〃=i1八=i〃+2$=2.3

rl

jzfnr2n222232〃2什[12"+[2〃2"+]2"+】，22〃

1—

2

所以数列{>}的前〃项和S”=2-等

22

21、(1)—；(2)—・

515

【解题分析】(1)根据表中数据知未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有30人，故至少参加上述一