等差数列及其前n项和+讲义 高三数学二轮复习

等差数列及其前n项和

1.等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差

数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为q-a,i=d(常数)(〃€%",n>2).

(2)等差中项

若三个数A,〃成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且有A=*.

2

2.等差数列的有关公式

(1)等差数列的通项公式

如果等差数列｛q｝的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是q=q+(〃-1)4.

(2)等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛%｝的公差为d,其前〃项和5„=nat=幽詈2.

3.等差数列的常用性质

已知｛%｝为等差数列，4为公差，5.为该数列的前八项和.

(1)通项公式的推广：an-am+(n-m)d(n,mwN*).

(2)在等差数列｛。〃｝中，当=p+q时，。加+0=〃p+4。小几,p,qeN").

特别地，若m+〃=2f,贝!j。加+。〃=24。〃，n,teN").

(3)%,以+m，%+2加，…仍是等差数列，公差为md(k,meN").

(4)S〃,S2n-Sn9S3“一S2”，…也成等差数列，公差为n2d.

(5)若｛〃“｝,｛%｝是等差数歹U,则｛p%+物J也是等差数列.

(6)若｛〃“｝是等差数列，则｛%q｝也成等差数列,其首项与｛4｝首项相同,公差是｛可｝公差的1L

n2

（7）若项数为偶数2〃，则§2“=〃（《+%）=〃（%+4+1）；S偶一S^=〃4；—=-^-.

S偶〃“+i

q„

（8）若项数为奇数2〃-1,则§21=（2〃-1）4；S奇一5偶二为；^=—.

S偶n-\

（9）在等差数列仅“｝中，若4>0,d<0,则满足F"20的项数加使得S,取得最大值S”；若4<0,">0,

则满足1%"°A的项数m使得5„取得最小值5,,,.

4.等差数列的前n项和公式与函数的关系

S“=,+（a「g〃.数列｛%｝是等差数列OS,,=A/+8〃（A8为常数）.

5.等差数列的前n项和的最值

在等差数列｛见｝中，4>0,d<0,则S“存在最大值；若q<0,d>（）,则S“存在最小值.

考点一等差数列的基本运算

1、记S“为等差数列｛4,｝的前”项和.已知邑=0，%=5，则（）

2C=1non

A.an=2n-5B.atl=3z?-10C.Sfl=2n-SnD.Slt~^~^

2、记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若3s3=S2+S「q=2,则%=（）

A.-12B.-10C.10D.12

3、记S〃为等差数列｛《J的前〃项和.若%+6=24,S6=48,则｛%｝的公差为（）

A.1B.2C.4D.8

4、在等差数列｛〃〃｝中，q=0,公差dwO,若。m=4+%+…+%,则用的值为.

5、记S“为等差数列｛q｝的前"项和，若430,%=3q,则呼=.

6、北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石）,

环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多

9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不

含天心石)()

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

考点二等差数列的判定与证明

1、若数列｛〃“｝的前〃项和为S,,,且满足q+25£_尸0(〃22),

(1)求证：｛g｝成等差数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式.

2、己知数列｛〃〃｝满足：4=6,“一6c*+9=0,鹿wN♦且〃22,

求证：｛」一｝为等差数列.

%一3

3、己知数列｛〃"｝满足q=1,且对任意非负整数相，均有：am+n+am_n+m-n-\=^(t?,,,,+aln)

(1)求％,a2；

(2)求证：数列｛%”-《“｝是等差数列，并求出的通项公式.

n+,n

4、已知数列｛4｝满足:a,=2,a„+l=3an+3-2,设2=巴齐.

求证：数列｛2｝为等差数列，并求｛a,,｝的通项公式.

5、已知数列｛凡｝满足=一%|),4=2,令么=」^.

an-l

(1)求证：数列｛4｝是等差数列；

(2)求数列伍,｝的通项公式.

6、若数列｛4｝的前〃项和为5,,且满足£,(5“一4,)+24=0(〃22),a,=2,

(1)求证：｛1｝成等差数列：

3”

(2)求数列｛a,J的通项公式.

7、（拓展提升）设数列q,%，，4，中的每一项都不为0,

求证：｛”“｝是等差数列的充分必要条件是：对V〃eN*都有」一+—匚++」—=」-

4a2a2a3a„an¥｝aAa,^

考点三等差数列的性质与应用

1、设S“，7；分别是等差数列｛%｝,依｝的前"项和，若为=2&，则去=（）

A.2B,3C.4D.6

2、若5”是等差数列｛〃〃｝的前〃项和，且为+%+《9=6,则即）=，兀=.

3、设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若邑=9,§6=36,则%+%+%等于（）

A.63B.45C.36D.27

4、己知S,是等差数列伍“｝的前”项和，若q=-2016,黑一就=6,则$2021=.

5、在等差数列｛%｝中，4=29,SIO=S2O,则数列｛4｝的前〃项和S”的最大值为（)

A.S15B.S16C.九或九D.S17

6、在等差数列｛a“｝中，若4=—5,4=-9,则%=()

A.-12B.-13C.12D.13

7、(多选)已知无穷等差数列｛”,｝的前〃项和为S“，S6<S7,且S7>Sg,则()

A.在数列