空间向量-2023上海市高三数学一模汇编【教师版】

2023一模汇编【空间向量】

一、填空题

1.【青浦9】已知空间三点A(T,3,1),8(2,4,0),C(0,2,4),则以A3、AC为一组邻边的平行四边形

的面积大小为.【答案】2闻

【解析】依题意,Aβ=(3,1,-1),AC=(1,-1,3),IAB∣=∣ACI=√ΓT

ABAC1I--------；---------2廊

cosZBAC=-------------=——nsinZBAC=√1-cos2ZBAC=——

IABIlACl1111

所以以AB、AC为一组邻边的平行四边形的面积S=IABHACISinZBAC=2回

2.【长宁9］若OA=(I,-2,0),08=(2,1,0),OC=(Ll,3),则三棱锥O—ABC的体积为.

【答案】I

2

【解析】根据己知可得：OA∙O8=lχ2-2x1=0，即QAJ

22

又囱+Ry=yβ,∣OB∣=√2+1=√5，故AQ4B的面积S=gx√^Xj^=I

10C∙n∣3

不妨取平面046的一个法向量”=(0,0,1),则点C到平面。钻的距离及=∖^i=,=3

H1

故三棱锥。一43C的体积V=LSX/∕=Jχ9χ3=2

3322

3.【静安11】在空间直角坐标系。-型中，点P(7,4,6)关于坐标平面XOy的对称点p，在第卦

限；若点。的坐标为(8,-1,5),则向量PQ与向量PP，夹角的余弦值是.【答案】五:

12_73

【提示】户。=(1,-5,-1),PP,=(0,0,-12)所以COS(尸Q,PP)

√27×12-9

4.【嘉定11】在空间直角坐标系中，点A(l,0,0),点8(5,-4,3),点C(2,0,1),则AB在CA方向上的投

影向量的坐标为.【答案】

【解析】依题意：AB=(4,T,3),C4=(—1,0,—1),所以AB在C4方向上的投影向量为

(AB∙CA)l-×CA=y(-l,0,-l)=∣

∣AB∣cosAB,CA)X=■

"FTS码

二、解答题

5.【崇明17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分

如图，长方体ABC。一A4GA中，AB=BC=0,AC与底面ABC。所成的角为45。.

（1）求四棱锥A-ABC。的体积；

（2）求异面直线AB与用2所成角的大小.

4

【答案】（1）一；（2）arccos.

36

【分析】（1）先求得长方体ABC。一A∣BC∣R的高AA的值，进而求得四棱锥A-ABCO的体积;

（2）先作出异面直线/B与片A所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决.

【解析】（1）因为4A_L平面ABCr）,所以NAe4是AC与底面ABCD所成的角为45°

AB=BC=C.∙.AC=2=Λ>A=2,...................................................4分

114

所以匕-ABCD=力=g∙2∙2=37分

（2）联结BD，BDHBR:.NΛ,8。是力出与耳R所成的角.....3分

在ΔAR。中，Λ1B=4Z）=√6,BD=2,

向“∕ΛonAB2+BD2-AD2√6S

所以CoSZAlBO=-2i------------------i——=——,...........................................6分

N2Aβ∙BD6

所以异面直线AB与片R所成角的大小为arccosY5.................................7分

6

6.【金山17］如图，在四棱锥产一ABC。中，已知1%，底面ABC。，底面ABe。是正方形，PA^AB.

(1)求证：直线Bo，平面PAC；

(2)求直线PC与平面PQ所成的角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)aresinɪ.

3

【分析】(1)由线面垂直的判定定理即可证明；

(2)以A为坐标原点，分别以ARA。、AP为XYZ轴,

建立空间直角坐标系.分别求出直线PC的方向向量与平面PBD的法向量，由线面角的向量公式代入即可

求解.

【解析】(1)证明：因为PA_L平面ABCr>，且5。U平面A8C。，所以B4_L6。.......2分

在正方形ABCD中，ACYBD.……4分

而PAnAC=A,……5分

故Br)，平面PAC；……6分

(2)如图，以A为坐标原点，分别以AB、AD.AP为1、V、Z轴，建立空间直角坐标系.

设AB=I,则3(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,l),C(1,1,O),

从而PB=(1,0,T),PD=(O,1,-1),PC=(1,1,-1),……8分

设平面PBr)的法向量为n=(x,y,z)>

PBn=Gx-z=0x=z.、

则■="=‹,=,令Z=I,贝加=(1,1,1),……10分

PDH=Oy-z=0.yZ

1D「I∖PCn∖1

设直线PC与平面PBD所成的角为氏贝IJSmae=Icos<PC∕>∣=网方=Q,...12

分

故尸C与平面PB。的所成角大小为arcsin,.……14分

3

7.【徐汇17](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在直三棱柱ABC-446中，AB=AC=2,M=4,ABlAC,BE,A4交Aa于点

E,。为CG的中点.

(1)求证：BE_L平面AgC;

(2)求直线与。与平面ASC所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)arcsin15∙

15

【分，「】(1)先证明A4∣LAC,从而可得AC_L平面A44B,进而可得ACLBE,再由线面垂直的

判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面48。的一个法向量，利用向量法求解即可

【解析】(1)因为三棱柱ABC-A4G为直三棱柱，所以AA，平面ABC,所以A41,AC.

因为AC_LAS,ABA41=A,所以AC_L平面AABIB.

因为BEU平面AAI48,所以ACj_8E.

因为BE±ABt,AC∖ABl^A,所以，平面AB1Ci

(2)由(1)知AB,AC,AA两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-*.

则A(0,0,0),B1(2,0,4),0(0,2,2),B(2,0,0),

设E(0,0,α),则做=(2,0,4),BE=[-2,0,a),

因为A4_LBE,所以4O-4=0,即α=l.

所以平面ABC的一个法向量为8E=(-2,0,l),XB1£)=(-2,2,-2)

TT

设直线用。与平面ABC所成角的大小为6(0<9≤,)，

.但RBE∙B∣D而

则πιlsinaθ=cosθ—∏=,

(2)BE∣∣BιZ)15

因此，直线与。与平面ABC所成角的大小为arcsinM5.

8.【黄浦18］（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分.

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ΛBCD为菱形，且Q4，平面ΛBCD,又棱R4=A5=2,E为

棱CD的中点，ZABC=ωo.

（1）求证：直线AE_L平面E4B；（2）求直线他与平面PCD所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）直线他与平面PeD所成角的正切值为亚.

3

【解析】（1）因为底面ABeD为菱形，JiZABC=60°.

所以ΔΛ8C,ΔACO是等边三角形,又点E是CD的中点，所以AEd.8,

又因为AB//CD,所以.........3分

由R4J_平面ABC。，AEU平面MCD,可得R4,AE,..................4分

又P4与45相交，所以Afj_平面P4B；..................6分

(1)因为P4J_平面ABcD,CD平面/WCD,所以R4_LCD,又A£_LCD,可知CD_L平面Rlɛ,

又因为CDU平面PC。，所以平面Pa）J_平面R4E.……8分

连PE,过A作4尸J_PE,垂足为尸，可知4尸，平面PCD,

所以44£尸就是AE与平面PCD所成的角.......................10分

ApOO/3

又PA=AB=2,AE=ʌ/ɜ,所以tan/AEF=tanZ.AEP=----=-J==-------，

AE63

所以直线AE与平面PcD所成角的正切值为述................14分

3

（法二）以A为坐标原点，AB,A£,AP分别为x,%z轴建立空间直角坐标系。-xyz,

LUUU—UlU—UUU

可得P(0,0,2),3(2,0,0),E(0,√3,0),OE=(0,√3,0),EP=(0,-√3,2),DC

设〃=（X,y,l）是平面PeC）的一个法向量，AE与平面所成角为.…8分

rLiuiIx=0

H∙DC=2X=02√3＞故;=(0,亚,1)，……10分

由,rUir,可得“

π∙EP=-√3y÷2=0y=^-3

3

ɪUlW

n∙AE22

所以Sine=

晒ɪL12分

可得tand=2=竺……13分,故直线AE与平面PcD所成角的正切值为辿....14分

√333

（法三：用体积法求点A到平面PCQ的距离，然后再求所求线面角的正弦值和正切值）

9.【静安19］（本题满分16分，其中第1小题满分8分，第2小题满分8分）

如图所示，在矩形ABC。中，AB=4.AD=2.E是Cr）的中点，。为AE的中点，以AE为折

痕将AM）E向上折起，使。点折到P点，且尸C=P3.

（1）求证：PO上面/LBCE；

（2）求AC与面PAB所成角。的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

15

【分析】（1）取BC的中点/，连OF,PF,证明OR_L3C,BCSF,得到BCI面PoF从

而证明BCLPO,然后可得POl面ABCE；

（2）作OG//BC交AB于G,则OGLOF,然后以点。为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量

求解即可.

【解析】（1）由题意，可得∕%=FE,OA^OE,则Po_LAE,

取BC的中点F,连OF,PF，可得"〃AB,所以QFLBC,

因为PB=PC,BClPF,且尸尸OF=F,所以BCI平面POf,

又因为PoU平面尸。尸，所以BC_LP0,

又由BC与AE相交直线，所以PO工平面ABCE；

(2)作OG//5C交AB于G,则OG，。尸

如图建立空间直角坐标系，则

A(I,T,0),5(1,3,0),C(-1,3,0),P(0,0√2)

=>AC=(-2,4,0),ΛP=(-1,1,√2),AB=(0,4,0),

n∙AP=-%+y+V∑z=O

设平面QAB的法向量为"=（x,y,z）,贝卜

n∙AB=4y=O

取〃=(√Σ,O,1),所以AC与面∕¾5所成角。的正弦值Sine=CoS（",A。

2√5∙√3

10.【虹口19](本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分)

如图，在三棱柱ABC-ABG中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面44。°为菱形，点人

在底面上的投影为AC的中点£>,且AB=2.

(1)求证：BDLCC1.

(2)求点C到侧面AAI面B的距离;

(3)在线段Ag上是否存在点E,使得直线OE与侧面A4,8∕所成角的

正弦值为理？若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由.

7

【答案】(1)见解析；(2)独2;(3)A目=34q=1

72

【解析】(1)由点4在底面ABC上的投影为AC的中点O,知A。，平面ABC,又Br)U平面ABc

故AOLBD……2分

因ΔABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，故ACLBD

而AfD,ACU平面ACG",ADCAC=。,故BD1平面ACGΛ1;

由CGU平面ACG4,得BZ)ICG.……4分

(2)由点AQIAC,。为AC的中点，侧面A4,C∣C

为菱形，知AC=AA=Ae.由ΔABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2,

可得DB=DA=DC=收,DA,=而由(1)知直线。8,E>C,OA两两垂直，故以点。

为坐标原点，直线。民OC。A分别为％，XZ轴，建立空间直角坐标系；则相关点的坐标为:

D(0,0,0),A(0,-√2,0),β(√2,0,0),C(0,√2,0),A(0,0,√6).……6分

设平面AAqB的一个法向量为n=(χ,y,z),则

nAB-(x,y,z)■(Λ∕2,y∕2,0)-y∕2(x+y)-0,《x+y=O,ɪ

n∙AAl=(X,y,z)∙(O,0,7^)=0(y+VJZ)=O,(y+ʌ/ɜz=O;

得〃=(√5,-6,l)..........8分又AC=(0,20,0),故点C到平面AAB0的距离为

ACn(0,2√2,0)∙(√3,-√3,l)2√62√42

d=IO分

∖n∖∣(√3,-√3,1)∣

（3）假设满足条件的点E存在，并设4£=①44=九48=①（0,正,0）（/1€［0,1］）,则

DE=Π41+ΛtE=(0,0,√6)+∕l∙(√2,√2,0)=(√2∕l,√2∕l,√6).12分

于是‘由直线OE与侧面AAB由所成角的正弦值为q’可得

IQE∙"∣(√22,√2Λ,√6)(√3,-√3,l)√6

乎=∣cos<DE,n>|=14分

|。EH“一√2Λ√2Λ√6)∣∙∣(√3,-^,1)-√4Λ2+6∙√7'

解得义2=5.又；le[0,l],故2=g.

因此存在满足条件的点E,且IAEI=JA@=I.16分

11.【宝山19］（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

如图，棱长为2的正方体ABCD-AMGA中，知、N、P分别是CR、ClC,A∣A的中点.

M

（1）证明：M,N、A-B四点共面;

（2）求异面直线尸Q与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）；小Ib'Il

（3）求三棱锥P-MNB的体积.

0I

/D

【答案】（1）证明见解析；（2）arccos—；（3）-

103

【个i；i1⑴由己知可证明AiB∕/CD1和MN//A1B,即可证明MN//AiB,进而得出结果;

（2）MNHCDx,所以/PRC即等于异面直线PR与MN所成角，在VPDC中，求出各边长，用余弦定

理即可求出；（3）根据已知可得，四边形MNAB为梯形，SVMNB=；SVMA,B，则L.MMB=%-MA,B，根

据等体积法可知匕一MAS=V”-PA1B，求出Vp-MAiB，即可解出.D,

【答案】法一：（几何法）（1）证明：易知MN〃〃C，又2分小

从而MN〃A∣B,所以M,N,B,A∣四点共面;4分

D

（2）由MN知，NPDC（或其补角）即为异面直线PR与MN所成角，…6分

由正方体棱长为2,则可求得在APQC中，PD}=√5,PC=3,D1C=2√2

Oi

小

5+8-9ʌ/iθ

分

由余弦定理得CosZPDlC=——尸——L=—9

2×√5×2√210

故异面直线尸Z)I与Λ∕N所成角的大小为arccos------；..................10分

10

(3)易证QP〃BM月.8Nu面MNbDFU面MNB,得RP〃面MN3,...11分

从而Vp_MNB~VDLMNB,..............12分

又SΔMN4=gxlxl=；,......................13分

易证BC上面MN2，点B到面MNA的距离d=BC=2,......................14分

故%-MNB=VB-M町=；,<,2=；,......................15分

所以三棱锥P—MNB的体积为』.......