第五章-多目标规划

第五章多目标规划多目标线性规划问题多目标规划问题的非劣解和非劣解集求解多目标规划的目标线性加权法层次分析法目标规划多目标规划的例子(1)产品ABC条件利润（万元/吨）941目标函数，最大化耗用原料（吨/吨）425耗用原料不超过38吨排放污染（m3/吨）213排放污染不超过25m3销售价格（万元/吨）301020销售总额不低于100万元产量（吨）111总产量不低于12吨利润最大化的线性规划模型为：maxz=9x1+4x2+x3s.t.4x1+2x2+5x3≤38 耗用原料约束2x1+x2+3x3≤25 排放污染约束30x1+10x2+20x3≥100 销售总额约束x1+x2+x3≥12 产量约束x1,x2,x3≥0最优解如下表：产品条件最优解利润（万元/吨）目标函数，最大化总利润83万元耗用原料（吨/吨）耗用原料不超过38吨耗用原料38吨排放污染（m3/吨）排放污染不超过25m3排放污染19m3销售价格（万元/吨）销售总额不低于100万元销售总额260万元产量（吨）总产量不低于12吨总产量12吨如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解也将发生变化。变化情况如下表：：多目标规划的例子(2)允许排放的污染(m3)产品A产量（吨）产品B产量（吨）产品C产量（吨）最大利润（万元）25750831975083186607817570731648068153906314210058131110531201204811没有可行解多目标规划的例子(3)25242322211918171615141312允许排放的污染（m3）8378736863585348最大利润（万元）允许排放的污染和最大利润之间的关系排放污染最小和利润最大两个目标可以同时实现的区域利润最大化和排放污染最小化双目标问题的图示两个目标的规划问题的劣解和非劣解第一个目标第一个目标z1Az1Bz2Az2BNMPP’AB劣解劣解非劣解(Pareto解)非劣解(Pareto解)非劣解集(Pareto解集)两个目标都可能实现的区域第一个目标取定一个值z1A，作为约束条件，优化第二个目标，得到第二个目标的最优值Z2A，得到A点。……用同样的方法得到B点。依次进行，得到两个目标之间关系的曲线AB和相应的区域。区域内部的点N和M称为“劣解”，劣解的两个目标同时可以改进。曲线AB上的点称为“非劣解”或“Pareto”解，非劣解的两个目标不可能同时改进。设多目标规划的可行域为，设其中的一个可行解X*∈，它的K个目标值分别 f1(X*)，f2(X*)，……，fk(X*)如果对于任意的可行解X∈，都至少有一个目标i，使得 fi(X)>fi(X*)则称X*为这个多目标规划的一个Pareto解（也称为非劣解、有效解）。如果一个多目标规划问题有一个以上的Pareto解，这些Pareto解组成的集合称为Pareto解集。多目标规划问题的非劣解和非劣解集f1(X)f2(X)f(x)xPareto集x1x2x4x5x3图中x1、x5为劣解，x2、x3、x4为Pareto解劣解劣解Pareto解集的图解多目标线性规划的Pareto解集(1)设两个目标的线性规划为minz1=c11x1+c12x2minz2=c21x1+c22x2s.t.a11x1+a12x2≤b1a21x1+a22x2≤b2x1,x2≥0设以z1为单目标的线性规划最优解为B，以z2为单目标的线性规划最优解为D。可行域内部（不包括边界）的可行解都是劣解。OABEDCz1z2Fz1z2OABEDCz1z2z1F对于多目标规划可行域中的点，根据两个目标函数的法线方向，可以确定两个目标同时可以改进的方向。这是一个锥体，锥体内的方向称为多目标规划的优化方向集合。目标函数z1改善的方向目标函数z1和z2同时改善的方向z2目标函数z2改善的方向OABEDCF当一个可行解的优化方向集合和可行域的交集为非空时，两个目标z1，z2可以同时改善，即这样的可行解是劣解。优化方向集合和可行域的交集为空集时，两个目标函数不可能同时改善。这样的可行解是多目标规划的Pareto解。图中的可行解B,C,D是多目标规划的Pareto解。Pareto解集为折线BCD。多目标线性规划的Pareto解集(2)用单纯形表求解多目标线性规划Pareto解集双目标线性规划问题为maxz1=3x1+2x2maxz2=-x1+2x2s.t.x1+x2≤62x1+x2≤10x1+2x2≤10x1，x2≥0标准化问题为minz1=-3x1-2x2minz2=x1-2x2s.t.x1+x2+x3=62x1+x2+x4=10x1+2x2+x5=10x1,x2,x3,x4,x5≥0多目标线性规划问题的图解。6543210123456z2z1OABCD多目标规划的图形目标z1的最优解目标z2的最优解多目标规划的Pareto解集x3=0x4=0x5=0x2=0x1=0maxz1=3x1+2x2maxz2=-x1+2x2s.t.x1+x2≤62x1+x2≤10x1+2x2≤10x1，x2≥01010600RHS1002100x50101200x40011100x30002-110z20002301z1x5x4x3x2x1z2z1多目标线性规划单纯形表(1)如果非基变量在两个目标中的检验数都大于0，当前的基础可行解是劣解。这个非基变量进基，两个目标都会改善。如果任何一个非基变量在两个目标中的检验数不同时大于0，这个基础可行解是Pareto解，任何一个非基变量进基，一个目标将会改善，而另一个目标将会变差。1010600RHS1002100x50101200x40011100x30002-110z20002301z1x5x4x3x2x1z2z1当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,0,6,10,10),z1=0,z2=0是劣解，对应于图中的O点。x1进基，x4离基，z1会改善，z2将会变差，进到劣解A。x2进基，x5离基，z1，z2可以同时改善，进到Pareto解D。多目标线性规划单纯形表(2)5515-15RHS1-1/203/2000x501/201/2100x10-1/211/2000x301/205/2010z20-3/201/2001z1x5x4x3x2x1z2z1当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(5,0,1,0,5),z1=15,z2=-5是劣解。对应于A点。x2进基，x3离基，z1，z2同时改善，进到Pareto解B。x4进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，回到劣解O。多目标线性规划单纯形表(3)2420-16RHS11-30000x501-10100x10-121000x203-50010z20-1-10001z1x5x4x3x2x1z2z1当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,0,2),z1=16,z2=0是Pareto解。对应于B点。x3进基，x2离基，两个目标同时会变差，回到劣解A。x4进基，x5离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解C。多目标线性规划单纯形表(4)224-6-14RHS11-30000x4-1020100x110-11000x2-3040010z210-40001z1x5x4x3x2x1z2z1当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0),z1=14,z2=6是Pareto解。对应于C点。x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。x5进基，x4离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解B。多目标线性规划单纯形表(5)515-8-10RHS-1/21003/200x4-1/20101/200x31/20011/200x2-1000-210z2-1000201z1x5x4x3x2x1z2z1当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(0,5,1,5,0),z1=10,z2=8是Pareto解。对应于D点。x1进基，x3离基，z1会改善，z2会变差，回到Pareto解C。x5进基，x2离基，z1会变差，z2会变差，将回到劣解O。已搜索到这个多目标规划的所有Pareto解B点，C点，D点。多目标线性规划单纯形表(6)maxz1=3x1+2x2maxz2=-x1+2x2s.t.x1+x2≤62x1+x2≤10x1+2x2≤10x1，x2≥0目标函数线性加权：z=

1z1+2z20≤1,2≤1

1+2＝1由图解可以看出，加权以后的单目标问题的最优解必定是多目标规划的一个Pareto解。54321012345z2z1

1z1+2z2求解多目标线性规划的线性加权法多目标的线性加权转化为单目标规划问题一、多目标规划转化为单目标规划问题1、评价函数法 F(X)=U{f1(X)，f2(X)，…，fK(X)}将多目标规划问题转化为单目标规划问题。最简单的评价函数是线性加权。线性加权法 F(X)=

1f1(X)+2f2(X)+……+KfK(X)其中0≤1，

2，…，

K≤1，称为目标权重。面积(m2）单价（元/m2）朝向地段楼层住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层例1：住房选择（决策空间是离散的）确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进行归一化处理。最理想的值为1，最不理想的值为0，将各决策方案的实际目标值转化为0～1之间的值。面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层最好200(1.0)3000(1.0)南(1.0)甲(1.0)三层(1.0)最差75(0.0)6000(0.0)北(0.0)丁(0.0)一层(0.0)实际指标A2004800南丙四层B1805500西甲七层C1504000东乙三层归一化A1.00.4001.00.40.9B0.840.1670.41.00.6C0.600.6670.70.71.0确定各目标的权重设目标重要性由大到小依次为：单价—面积—地段—朝向—楼层确定目标权重

1+2+3+4+5=1，1>1>2>3>4>5>0计算各方案的评价指标F(X)=4fi(X)，评价指标最高的为最优决策。例如，设五个目标的权重分别为：面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层目标权重0.250.30.150.20.1面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层评价值目标权重0.250.30.150.20.1住房A1.00.4001.00.40.90.690住房B0.840.1670.41.00.60.580住房C0.600.6670.70.71.00.695*住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层根据评价值，选择住房C是最优决策。线性加权法的缺点是各目标的权重完全由主观确定，而权重的选取对决策结果起着十分关键的作用。优点方便直观，简单易行可以利用丰富的单目标决策方法和软件缺点权重的确定完全靠决策者主观判断对不同量纲的目标，合成以后的目标实际意义不明线性加权法的优缺点层次分析法（AHP）层次分析法是由T.L.Saaty提出的一种确定多目标决策中各目标的权重的方法，不仅在多目标决策中有重要作用，在管理以外的其它学科也有许多应用。在多目标决策中，各目标的权重对分析结果具有重要影响，但权重的确定比较困难。层次分析法的基础是目标的分层和对同一层次的各目标的重要性进行两两比较，使确定各目标的权重的任务具有可操作性。矩阵的特征向量和特征根设A是n×n非奇异的矩阵，如果存在一个实数0和一个n×1的非零向量V，满足AV=V，则称V为矩阵A的特征向量，为矩阵A的一个特征根。由线性代数可知，方程组AV=V即(A-I)V=0有非零解的条件是系数行列式|A-I|=0。其中I为单位矩阵。例如展开行列式 (-4-)(3-)+10=0，2＋－2＝0求解二次方程，得到矩阵的特征根

1＝1，2＝－2对于高阶矩阵，用行列式计算特征根需要求解高次方程，计算比较复杂，可以采用叠代法。 矩阵特征根的计算判断矩阵特征向量和特征根的叠代算法任取一个初始n×1向量计算已经收敛。因此判断矩阵的特征向量并且

max=1特征向量为求特征向量和特征根的近似方法将每一列相加，得到：特征向量为归一化层次分析法原理显然，n个物体归一化重量之和等于1。如果已知这n个物体总量两两比较的值，能否求出它们（归一化）的重量？设n个物体，重量分别为w1，w2，…，wn，总重量为将每一个物体的重量除以n个物体的总重量称为这个物体的“归一化”重量。设n个物体重量的两两比较矩阵如下例如，四个物体的重量为w1=2,w2=1,w3=3,w4=4（公斤）它们的总重量W=10公斤四个物体两两比较的判断矩阵为这个矩阵具有以下特点：对角线上的元素 aii=1 （i=1,2,…,n）以对角线对称的元素互为倒数 aij=1/aji （i,j=1,2,…,n）各物体之间的相对重量比值是一致的 aij=aik/ajk （i,j=1,2,…,n）n个物体归一化的重量组成的向量是判断矩阵的一个特征向量，对应的最大特征根

max=n。因此，只要给出判断矩阵，就可以求出n个物体的归一化重量。同样，在多目标决策中，如果能给出各目标重要性两两比较的判断矩阵，就可以求出这些目标（归一化）的相对重要性。设目标C由n个元素A1，A2，…，An组成，对这n个元素相对于目标C的重要性作两两比较，构成以下判断矩阵：CA1A2…AnA1a11a12…a1nA2a21a22…a2n……………Anan1an2…annaij含义1元素i和元素j同等重要3元素i比元素j稍微重要5元素i比元素j明显重要7元素i比元素j强烈重要9元素i比元素j绝对重要其中aij=1,2,3,4,5,6,7,8,9以及1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9。这些数字的含义为：数值2、4、6、8的意义介于以上表格相邻两行的含义之间与物体的重量之比不同，目标的重要性判断矩阵可能是不一致（Inconsistency）的。即可能出现A1比A2重要，A2比A3重要，A3又比A1重要这样的判断。如果不一致性在一定的范围以内，判断矩阵还是有效的，不一致性超出一定的范围，判断矩阵的有效性就有问题。线性代数可以证明，判断矩阵的不一致性可以由矩阵的最大特征根

max表示，当判断矩阵完全一致时，max＝n，不完全一致时，max>n，max越大说明不一致性越严重。单层次分析法的步骤：构造组成目标各元素的重要性两两比较判断矩阵求解判断矩阵的最大特征根和相应的特征向量判断矩阵的一致性检验（ConsistencyTest）如果通过一致性检验，得到的特征向量就是各元素的权重n12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49n1112131415R.I.1.521.541.561.581.59层次分析法步骤2、计算平均随机一致性指标R.I.（RandomIndex）。这个指标是随机产生的不同维数的判断矩阵的特征根的平均值1、计算一致性指标C.I.（ConsistencyIndex）3、计算一致性比例C.R.（ConsistencyRatio）当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。理想的住房A单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5舒适B2经济B1便利B3建立目标的层次结构对目标A经济B1舒适B2便利B3经济B1137舒适B21/313便利B31/71/31单层分析：层次B对目标A的两两判断矩阵理想的住房A舒适B2经济B1便利B3计算B-A判断矩阵的特征向量和特征根一致性检验层次C对目标B1的两两判断矩阵经济B1单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5经济单价面积楼层地段朝向单价11517面积11517楼层1/51/511/53地段11519朝向1/71/71/31/91

max=5.1212C.I.=0.0303R.I.=1.12C.R.=0.02<0.1层次C对目标B2的两两判断矩阵舒适B2单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5舒适单价面积楼层地段朝向单价11/71/31/51/3面积71515楼层31/511/35地段51315朝向31/51/51/51

max=5.60C.I.=0.15R.I.=1.12C.R.=0.13>0.1层次C对目标B3的两两判断矩阵便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5便利单价面积楼层地段朝向单价111/31/71面积111/31/71楼层3311/53地段77517朝向111/31/71

max=5.087C.I.=0.022R.I.=1.12C.R.=0.019<0.1理想的住房A舒适B2经济B1便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C50.6540.2580.0880.2810.2810.0730.567….….…..每一层因素对上一层因素的权重B对A的权重经济(B1)舒适(B2)便利(B3)C对A的总权重权重排序0.6540.2580.088C对B的权重单价(C1)0.2810.0400.0730.201三面积(C2)0.2810.3790.0730.288二楼层(C3)0.0860.1900.2140.124四地段(C4)0.3180.2990.5670.335一朝向(C5)0.0320.0920.0730.051五计算各底层因素对总目标的权重项目总权重楼房A楼房B楼房C单价C10.2010.40.1670.667面积C20.2881.00.840.6楼层C30.1240.90.61.0地段C40.3350.40.10.7朝向C50.0511.00.40.7总评分0.6650.4040.701计算各决策方案的评分目标规划（GoalProgramming）线性规划是一种应用非常广泛的优化模型，但它也有以下明显的缺点：1、只能求解单目标问题；2、把约束条件和目标函数作为完全不同的概念来处理，而在实际问题中，目标函数和约束条件往往是可以互换的，并没有严格的区别。3、约束条件是刚性的，即可行解必须在可行域中。在一些实际问题中，约束条件是可以突破的，约束条件的右边常数并不是变量上限或下限，而是一个希望能够最接近的目标。4、如果约束条件互不相容，则线性规划无可行解。针对线性规划的以上缺陷，A.Charnes和W.Cooper提出了目标规划（GoalProgramming），这是一种求解多目标线性规划的方法。目标规划分为无优先级的目标规划和有优先级的目标规划。目标规划的图解设线性规划问题为maxz=2x1+3x2s.t.x1-x2≤1x1+x2≥2x2≤3x1，x2≥001234321-1由图解可知，线性规划的最优解为：x1=4，x2=3maxz=17minz=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4s.t.2x1+3x2+n1-p1

=12(1)x1-x2 +n2-p2

=1(2)x1+x2 +n3-p3

=2(3)x2 +n4-p4

=3(4)x1,x2,n1,p1，n2,p2,n3,p3,n4,p4≥0相应的目标规划问题为其中p1、p2、p3、p4称为正偏差变量，n1、n2、n3、n4称为负偏差变量。一般形式表示为：012344321-1p3=3n4=12x1+3x2=12(1)x2=3(4)x1-x2=1(2)x1+x2=2(3)n1=4n2=2p3=1n4=1用LINDO求解以上问题，得到目标规划的最优解为：x1=3，x2=2p1=0,p2=0,p3=3,p4=0n1=0,n2=0,n3=0,n4=1

minz=4minz=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4s.t.2x1+3x2+n1-p1

=12(1)x1-x2+n2-p2

=1(2)x1+x2+n3-p3=2(3)x2+n4-p4

=3(4)x1,x2,ni,pi≥0产品A产品B产品C条件利润（万元/吨）941总利润最大化耗用原料（吨/吨）425耗用原料总量不超过38吨排放污染（m3/吨）213排放污染总量不超过26m3销售价格（万元/吨）301020销售总额不低于100万元总产量（吨）111总产量不低于18吨如果以利润为目标函数，线性规划模型为：maxz=9x1+4x2+x3s.t.4x1+2x2+5x3≤38 （1）原料总量约束2x1+x2+3x3≤26 （2）排放污染约束30x1+10x2+20x3≥100 （3）销售总额约束x1+x2+x3≥18 （4）总产量约束x1,x2,x3≥0目标产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）94177p1n1耗用原料（吨/吨）42538p2n2排放污染（m3/吨）21326p3n3销售价格（万元/吨）301020100p4n4总产量（吨）11118p5n5如果将利润、耗用原料等五个因素作为目标，确定各目标的理想值以及偏差变量如下：如果目标大于理想值，正偏差变量大于0，小于理想值，负偏差变量大于0。因此，对第i个目标，有如果各目标无优先级，要使所有的目标总偏差最小，即目标规划的模型为：对于每一个目标，正偏差变量和负偏差变量在系数矩阵中的列向量是两个相同的单位向量，是线性相关的，不可能同时出现在基矩阵中，因此，以上问题的任何一个基础可行解，同一个目标的正负偏差变量，不可能两个同时大于0。这一结果的实际意义也是很清楚的：任何一个目标，不可能既大于理想值，又小于理想值。产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达到的目标值利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808用单纯形法，得到目标规划的最优解、各目标的值以及偏差变量的值最优解目标值偏差变量目标规划的特点可以求解多目标问题。克服了线性规划只能求解单目标的缺点。用目标（Goal）的概念取代了线性规划中的“约束条件”，用偏离各目标的总偏差最小取代了线性规划中的目标函数，消除了线性规划中目标函数和约束条件的对立。各目标值既可以正偏差，也可以负偏差，克服了线性规划约束条件的刚性。目标规划总是有可行解的。克服了线性规划无解的问题。目标有优先级的目标规划在上面的例子中，利润、耗用原料、排放污染、销售额、总产量等五个目标是一视同仁的，最优解是使偏离五个目标的总偏差之和最小。在实际问题中，这些目标往往是有轻重缓急的。产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达到的目标值利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808确定五个目标的优先级Pi（Pi=1，2，3，4，5），数字越小优先级越高目标产品A产品B产品C优先级Pi目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）941177p1n1耗用原料（吨/吨）425538p2n2排放污染（m3/吨）213326p3n3销售价格（万元/吨）3010202100p4n4总产量（吨）111418p5n5目标有优先级的目标规划解法有：加权法字典序法目标产品A产品B产品C优先级权重理想值正偏差负偏差利润（万元/吨）94111000077p1n1耗用原料（吨/吨）4255138p2n2排放污染（m3/吨）213310026p3n3销售价格（万元/吨）30102021000100p4n4总产量（吨）11141018p5n5目标具有优先级的目标规划解法—加权法产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）0100RHSpini无优先级利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）119.250RHSpini有优先级1利润（万元）7777005耗用原料（吨）3838003排放污染（m3）19.252606.752销售价格（万元）192.510092.504总产量（吨）19.25181.250字典序优化（Lexico-optimization）字典序法的原则是：首先不顾其它目标，对优先级最高的目标进行优化，得到使第一级目标最优的决策变量的值以及第一级目标函数的值；然后在不使第一级目标变差的前提下，优化第二级目标；用同样的原则，按优先级从高到低，依次优化各级目标，直至所有目标都优化完毕。min{(n1+p1)，(n2+p2)，(n3+p3)，(n4+p4)}s.t.2x1+2x2+n1-p1=20 优先级1x1+x2+n2-p2=20 优先级2x1+n3-p3=5 优先级3x2+n4-p4=3 优先级4x1，x2，n1，n2，n3，n4，p1，p2，p3，p4≥0字典序优化的图解法min{(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)}s.t.2x1+2x2+n1-p1=16 (1)x1+x2+n2-p2=4 (2)x1+n3-p3=2 (3)x2+n4-p4=3 (4)x1，x2，ni，pi≥0024688642x1x22x1+2x2=16x1+x2=4x1=2x2=3p1n1p2n2p3n3p4n4第一优先级最优解第二优先级最优解第三优先级最优解第四优先级最优解min{(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)}s.t.2x1+2x2+n1-p1=16 优先级P1x1+x2+n2-p2=4 优先级P2x1+n3-p3=2 优先级P3x2+n4-p4=3 优先级P4x1，x2，ni，pi≥0具有目标优先级的目标规划单纯形表324160000RHS-1110n4-1101n3-1111n2-1122n1-1-1P4-1-1P3-1-1P2-1-1P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2HS-1110n4-110[1]n3-1111n2-1122n1-2010P4-2001P3-2011P2-2022P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1消去基变量n1,n2,n3,n4在目标函数中的系数对第一优先级目标P1优化。x1进基，n3离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素3221230212RHS-1110n4-1101x11-1-11[1]0n22-2-1120n1-2010P4-1-100P31-1-2010P22-2-2020P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1第一优先级目标P1未达到最优解。x2进基，n2离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素12281008RHS-11-11[1]-100n4-1101x11-1-1110x2002-2-1100n1-20-111-100P4-1-100P300-1-100P2002-2-2000P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1第一优先级目标P1未达到最优解。p2进基，n4离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素12360016RHS-11-111-100p2-1101x1-11000210x22-2[2]-200-1100n1-1-1000000P4-1-100P3-11-110-200P22-22-200-2000P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1第一优先级目标P1未达到最优解。p3进基，n1离基，2为主元。消去主元所在列的其它元素45330340RHS00001-1-1/21/200p21-100-1/21/201x1-11000210x21-11-100-1/21/200p3-1-1000000P41-10-2-1/21/200P300000-2-1/21/200P2000000-1-100P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1第一级目标P1已达到最优解。对第二级目标优化。n1进基可以减小P2的值，但由于n1在P1中的检验数为负数，n1进基将使P1增加，n1不进基。第二级优化终止。45330340RHS00001-1-1/21/200p21-100-1/21/201x1-11000210x2[1]-11-100-1/21/200p3-1-1000000P41-10-21/2-1/200P300000-2-1/21/200P2000000-1-100P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1对第三级目标优化，p4进基可以减小P3的值，同时不影响P1和P2的值。p4进基，p3离基。42633040RHS00001-1-1/21/200p200-1/21/20001x1001-102-1/21/210x2[1]-11-100-1/21/200p3001/2-1/200-1/21/200P400-2-10000P300000-2-1/21/200P2000000-1-100P1p4n4p3n3p2n2p1n1x2x1第三级目标P1已达到最优解。对第四级目标优化，n1进基可以减小P4的值，但会使P1增加。p3进基可以减小P4的值，但会使P3增加。因此已达到全局最优解。最优解为（x1，x2，p2，p3）=（2，6，4，3），其余偏差变量为0。目标P1、P3达到理想值，P2正偏离理想值4，P4正偏离理想值3。024688642x1x2p1n1p2n2p3n3p4n4叠代过程如下：P1优化过程： x1进基，n3离基x2进基，n2离基p3进基，n1离基P2无法进一步优化P3优化过程： p4进基，p3离基P4无法进一步优化p2进基，n4离基得到最优解（x1,x2,p2,p3）=（2,6,4,3）P1已获得最优解LINDO中的目标规划命令—GLEX和PreemptiveGoal打开命令窗口（CommandWindows）在LINDO命令符“：”下输入“HELPGLEX”或打开命令窗口（CommandWindows）利用LINDO的帮助/索引使用LINDO的帮助目标规划的帮助文本TheGLEXcommandforLexico-optimizationallowstheusertospecifyanorderedlistofobjectives.GLEXbegins