第01讲图形的旋转（知识解读达标检测）

第01讲图形的旋转【题型1生活中的旋转现象】【题型2利用旋转的性质求角度】【题型3利用旋转的性质求线段长度】【题型4旋转对称图形】【题型5作图旋转变换】考点1：旋转的概念把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点.注意:（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。【题型1生活中的旋转现象】【典例1】（2023秋•扶余市期末）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．属于旋转的有③④⑤⑥共4个．故选：C．【变式11】（2023秋•秀屿区校级期中）下列属于旋转运动的是（）A．小明向北走了10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到10楼 D．小萌在荡秋千【答案】D【解答】解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．故选：D．【变式12】（2022秋•安次区校级期中）按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．【变式13】（2022秋•利川市期末）下面A、B、C、D四个图形中的哪个图案可以通过旋转图案①得到（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据旋转的性质，图案①顺时针旋转90°得到B，故选B．考点2：旋转的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。注意：（1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键.（2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础.（3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。【题型2利用旋转的性质求角度】【典例2】（2023秋•哈密市期末）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠C＝50°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（）A．80° B．50° C．40° D．10°【答案】B【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝90°，∴∠BAC＝40°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAD＝50°，∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，∴旋转角为∠BAD，∴旋转角的度数为50°，故选：B．【变式21】（2023秋•江北区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（）A．60° B．75° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，∴∠BAE＝30°，∠C＝∠C'＝45°，又∵AB′⊥BC，∴∠EAC＝45°，∴∠BAC＝75°，故选：B．【变式22】（2023秋•巴南区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝30°，则∠ADC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，∴∠ACE＝90°，AC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠E＝45°，∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+30°＝75°，故选：D．【变式23】（2023秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（）A．30° B．40° C．70° D．110°【答案】B【解答】解：∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．故选：B．【题型3利用旋转的性质求线段长度】【典例3】（2023秋•武威期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，∴AB＝＝10，由旋转的性质得：BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4．【变式31】（2023秋•防城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AA'，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根据勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故选：A．【变式32】（2023秋•德宏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（）A．4 B．6 C． D．【答案】C【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝2，∴AC＝＝，由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∴CC'＝＝．故选：C．【变式33】（2023秋•浦北县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（）A． B．6 C． D．【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°，∵BD＝DC＝3，∴AD⊥BC，∴AD＝＝3∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，故选：C．【变式34】（2023秋•柳州期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝5，∴BE＝5．故答案为：5．考点3：旋转作图（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等.【题型4旋转对称图形】【典例4】（2023秋•宣化区期末）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（）和原图案重合．A．72° B．60° C．36° D．18°【答案】A【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5＝72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，故选：A．【变式41】（2023秋•廉江市期末）国旗上的每个五角星经过旋转后能与自身重合，则至少需要旋转的度数为（）A．360° B．72° C．60° D．45°【答案】B【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选：B．【变式42】（2022秋•滦南县期末）如图，该图形绕着点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为（）A．36° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解答】解：由题意，＝72°，故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为72°，故选：C．【变式43】（2022秋•昭化区期末）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、360°÷3＝120°，所以，绕某个点旋转120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；B、360°÷12＝30°，30°×4＝120°，所以，绕某个点旋转4个30°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；C、360°÷6＝60°，60°×2＝120°，所以，绕某个点旋转2个60°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；D、360°÷5＝72°，所以，绕某个点旋转120°后不能与自身重合，故本选项符合题意．故选：D．【题型5作图旋转变换】【典例5】、（2023秋•西宁期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．【答案】（1）见解答．（2）见解答．（3）（﹣1，3）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C即为所求．（3）点B的对应点B2的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【变式51】（2023秋•忠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）．（1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1；（2）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1），画图见解答．（2）．【解答】解：（1）点A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1）．如图，△A1B1C1即为所求．（2）△A1B1C1的面积为＝﹣1﹣1＝．【变式52】（2023秋•凉州区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，0），C（5，1）．（1）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应，作出△A1B1C1；（2）作出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；（3）请求出△A2B2C2的面积．【答案】（1）作图见解答过程；（2）作图见解答过程；（3）7.5．【解答】解：（1）△A1B1C1如图1所示，；（2）△A2B2C2如图2所示；（3）△A2B2C2的面积为：4×4﹣×3×3﹣×1×4﹣×1×4＝7.5．【变式53】（2023秋•任城区期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，0），B（2，4），C（4，2）．（1）把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并直接写出对应点连线段BB2的长度2．【答案】（1）作图见解析部分；（2）作图见解析部分，2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．线段BB2的长度＝＝2．故答案为：2．一．选择题（共10小题）1．（2023秋•五华区期末）以下生活现象中，属于旋转变换得是（）A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．坐在火车上睡觉 D．地下水位线逐年下降【答案】A【解答】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；故选：A．2．（2023春•杞县期末）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（）A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移 C．顺时针旋转90°，向左平移 D．逆时针旋转90°，向左平移【答案】A【解答】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．故选：A．3．（2023春•沅江市期末）如图△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，那么下列说法错误的是（）A．BC平分∠ABE B．AB＝BD C．AC∥BE D．AC＝DE【答案】C【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转，旋转角是∠ABC，∴BA的对应边为BD，BC的对应边为BE，∴BD＝BA，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC，所以A，B，D选项正确，C选项不正确．故选：C．4．（2023•封开县一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．40°【答案】D【解答】解：∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，∴∠AOD＝∠BOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠BOC＝100°﹣30°﹣30°＝40°，故选：D．5．（2023秋•中山区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝80°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，故选：C．6．（2023秋•浑江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点D与点B是对应点，点E与点C是对应点），连接CE，则∠CED的度数是（）A．45° B．30° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵△ADE可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，∴△ADE≌△ABC，∴AE＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，∴△CAE为等腰直角三角形，则∠CEA＝45°．∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠BCA＝30°，∴∠DEA＝∠BCA＝30°．∴∠CED＝∠CEA﹣∠DEA＝45°﹣30°＝15°．故选：D．7．（2023秋•承德县期末）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．8．（2023秋•乌拉特前旗校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30° B．60° C．90° D．150°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故选：B．9．（2022秋•温州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将△ABC绕点A旋转至△ADE，使AD⊥BC，DE交边AC于点F，则AF的长是（）A．4 B． C．5 D．6【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵将△ABC绕点A旋转至△ADE，∴∠E＝∠C，∠DAE＝∠BAC＝90°，DE＝BC＝10，∵AD⊥BC，∴AE∥BC，∴∠EAC＝∠C，∴∠E＝∠EAC，∴AF＝EF，∵∠E+∠D＝∠DAF+∠EAF＝90°，∴∠D＝∠DAF，∴AF＝DF，∴AF＝，故选：C．10．（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．B． C．D．【答案】C【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；C、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）11．（2023秋•崇明区期末）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点B（填“A”“B”“C”或“D”）【答案】见试题解答内容【解答】解：如图连接HF，EN，作线段HF，EN的垂直平分线，交点就是旋转中心．故答案为点B．12．（2023秋•镇雄县期末）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝30°，∠C＝90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于120°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，将Rt△ABC绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上时，旋转的最小角是∠BAB1；∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝60°；∴∠BAB1＝180°﹣60°＝120°13．（2023秋•伊犁州期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵直角△ABC中，AC＝，∠B＝60°，∴AB＝＝＝1，BC＝＝＝2，又∵AD＝AB，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝1，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．故答案为：1．14．（2023春•万源市校级期末）如图，△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，已知AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE＝1.5．【答案】1.5．【解答】解：∵△ABC以点C为旋转中心，旋转后得到△EDC，∴DE＝AB＝1.5；故答案为：1.5．15．（2017•孝感模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为4．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥AB于H，∵在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝4，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∴A1H＝A1B＝2，∴S△A1BA＝×4×2＝4，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝4．故答案为：4．三．解答题（共4小题）16．（2023秋•铁岭县期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中A1的坐标为（3，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．17．（2023秋•潮州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．【答案】（1）见解析；（2）21°．【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，∴AD＝A