第01讲一元二次方程（4个知识点4类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）

第01讲一元二次方程（4个知识点+4类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.一元二次方程的概念；2.一元二次方程的一般形式；3.一元二次方程的解；1.掌握一元二次方程的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式；3.掌握一元二次方程的解；知识点1：一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。【即学即练1】1．（2023上·浙江·七年级专题练习）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（

）A．2 B． C．2或 D．0【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案．【详解】解：由题意得：，解得，故选：B．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．知识点2：一元二次方程的一般形式：一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。【即学即练2】2．（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（

）A．2，1 B．3， C．3，1 D．，【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和二次项系数即可．【详解】解：，所以二次项系数和一次项系数分别为3，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是、、为常数，，②找各项系数带着前面的符号．知识点3：一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【即学即练3】3．（2022下·浙江·八年级开学考试）己知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（

）A．0 B．1 C．3 D．不确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案．【详解】把代入得：，相加得：，，∵，∴，故选：A．知识点4：一元二次方程的重要结论：（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若ab+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则ab+c=0。题型01一元二次方程的定义1．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可一一判定．【详解】解：A、是一元一次方程，故该选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D、是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D．2．（2024·四川凉山·统考模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误；B、形式是一元二次方程，但二次项系数没有标注不等于0，选项错误；C、符合一元二次方程定义．正确．D、含有分式，属于分式方程，选项错误．故选：C．3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为．【答案】6【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于的一元二次方程，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出．【详解】解：关于的一元二次方程的常数项是，则，解得：，，的值为6，故答案为：6．4．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案．【详解】解：方程是关于x的一元二次方程，，解得，故解得，故答案为：．5．（2023上·广西河池·九年级统考期中）已知关于x的方程(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？【答案】(1)(2)【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．（1）根据一元一次方程的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】（1）解：∵是一元一次方程，∴，解得．即时，此方程是一元一次方程；（2）∵是一元二次方程，∴，解得．即时，此方程是一元二次方程．题型02一元二次方程的一般形式1．（2024上·山东聊城·九年级校考期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．【详解】解：由方程可得：，则有；故选：B．2．（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）将化成的形式，则，，c的值分别为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．将一元二次方程化为一般形式即可得出答案．【详解】解：将化为一般形式为：，∴，，，故D选项符合题意．故选：D．3．（2024上·上海闵行·八年级统考期末）若关于的一元二次方程的常数项为，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】由得，∵常数项为，∴且，解得：，故答案为：．4．（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）将方程化为一般式，其结果是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．在去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．一元二次方程的一般形式是，先去括号，然后通过移项、合并同类项即可将原方程转化为一般式．【详解】解：去括号得，，移项、合并同类项得，，故答案为：．5．（2023上·九年级课时练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答．【详解】（1）解：化为一般形式是，二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3．（2）解：化为一般形式是，二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是．（3）解：化为一般形式是，二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是．（4）解：化为一般形式是，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题型03一元二次方程的解1．（2023上·江苏·九年级专题练习）关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（）A．1，2 B．1， C．，2 D．，【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把，，，代入代入，整理后即可得出答案．【详解】解：①把代入得：，整理得：，②把代入得：，整理得：，③把代入得：，整理得：，④把代入得：，整理得：，所以方程的根是1和，故选：B．2．（2024·福建南平·统考一模）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（

）A．0 B．1或 C． D．1【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程即可求得a的值，本题得以解决．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0，∴，解得，，故选：B．3．（2024上·山东潍坊·九年级统考期末）是方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解．【详解】解：由题意得：∴∴故答案为：4．（2024上·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）若是关于的一元二次方程的解，则的值是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由方程的解得到，代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解，∴，∴，∴，故答案为：．5．（2023上·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值．【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据是方程的一个根得出，将化简为，最后将整体代入进行计算即可，根据题意得出是解此题的关键．【详解】解：是方程的一个根，，，．题型04一元二次方程的解的估算1．（2023上·山西太原·九年级统考期中）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下：11.11.21.31.40.290.76由此可估算方程的一个根的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．【详解】由表可知，当时，，当时，，∴方程的一个根的范围是．故选：C．2．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）根据下表中的对应值，判断下列数中与方程的一个解最接近的是（）－－－A．0 B．1 C．1.5 D．2【答案】C【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．【详解】解：∵，∴，根据表格得：当时，，当时，，∵，∴方程的一个解最接近．故选：C．【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．3．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）根据下表：x…456135…5确定方程的解的取值范围是．【答案】或【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可．【详解】解：由表格得：时，，时，；时，，时，，可得方程的解取值范围是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键．4．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断．1.21.31.41.50.360.75【答案】1.31.4【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，即：．故答案为：1.3，1.4．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．5．（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）阅读与思考：下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）【答案】（1），，，，（2）【分析】（1）第一步:代入及,可求出的的值,进而可得出;第二步:根据及时,的值，进而可得出；（2）由的结论,可得出的值约为.【详解】解：（1）第一步:当时,，当时,,∴；第二步:当时,，当时,，∴.故答案为：，，，；（2）通过以上探索,的值约为.【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.A夯实基础1．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据：“只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，进行判断即可．【详解】解：A、，是二元一次方程，不符合题意；B、，含有2个未知数，不符合题意；C、，不是整式方程，不符合题意；D、，是一元二次方程，符合题意；故选D．2．（2024上·河南焦作·九年级统考期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（

）A．3或 B．3 C． D．9【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解．【详解】解：将代入方程得：，解得：，∵，∴，故选：C．3．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解成为解题的关键．将代入得到关于k的方程求解即可．【详解】解：将代入可得：，即，解得：．故答案为．4．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）若m是方程的一个根，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，即，∴．故答案为：．5．（2024下·全国·八年级假期作业）把一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】，二次项系数为3，一次项系数为24，常数项为1【详解】将方程两边去分母、去括号、移项、合并同类项，使方程右边为零，左边按x的降幂形式排列．去分母，得．去括号，得．移项、合并同类项，得．此方程的二次项系数为3，一次项系数为24，常数项为1．6．（2023上·全国·九年级专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．B能力提升1．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，将代入方程求解，即可解题．【详解】解：一元二次方程有一个根为，将代入方程得：，解得：，故选：D．2．（2024上·陕西西安·九年级统考期末）已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入关于x的方程，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【详解】解：∵是关于x的方程的一个根，∴，解得．故选：D．3．（2024上·江苏无锡·九年级统考期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为．【答案】2025【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵方程的一个解是，∴，∴，∴．故答案为：20254．（2024·辽宁抚顺·统考一模）若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入得到：，解关于的方程得，，然后根据一元二次方程的定义可确定的值．【详解】解：把代入，得，解得，，而即．所以．故答案为：5．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知m是方程的根，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值．由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，∴，∴．6．（2024下·全国·八年级假期作业）已知关于x的方程．(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？【答案】(1)(2)【详解】解：（1）由题意，得解得．（2）由题意，得，∴．C综合素养1．（2024上·山东聊城·九年级统考期末）若n（）是关于x的方程的根，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】D【分析】本题考查方程的解的定义，因式分解．把n代入方程中，得到，结合即可求解．【详解】∵n是关于x的方程的根，