浙江省杭州市第十五中教育集团2023-2024学年下学期九年级3月阶段性评估数学试题

杭州市第十五中教育集团2023学年第二学期初三3月阶段性评估一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）的结果是A． B． C． D．2．（3分）的值为A． B． C． D．3．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形4．（3分）2024年春节期间，杭州东站一天的客流量为2500000人次．将2500000用科学记数法表示应为A． B． C． D．5．（3分）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是A． B． C． D．6．（3分）如图，点是的劣弧上一点，，则的度数为A． B． C． D．1507．（3分）若点，，，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．8．（3分）图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图象，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和甲 D．丙和乙9．（3分）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长A． B． C． D．10．（3分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则下列结论：①②③④其中正确的结论是A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）化简：．12．（3分）一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球．其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是．13．（3分）若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．14．（3分）如图，是圆锥的高，是底面半径，如果圆锥底面周长为，，那么圆锥的高为．15．（3分）已知关于，的方程组，则．16．（3分）如图，中，，，点为的中点，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，当时，的度数为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程：小清：去分母，得：，解得：，检验：当时，，分式方程的解为．小北：去分母，得：，解得：，检验：当时，，分式方程无解．请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．18．（6分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题：（1）求这次调查获取的样本容量；（2）求这次调查获取的样本数据的众数和中位数；（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．19．（8分）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．20．（8分）如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自处测得建筑物顶部的仰角，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自处测得建筑物顶部的仰角．已知测角仪的高度是，（1）若，，，计算出该建筑物的高度．（2）若，，，计算出该建筑物的高度（用含的代数式表示）21．（10分）如图，中，，，为边上一点，．（1）求证：；（2）如果，求的长．22．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．23．（12分）已知：在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．（1）求的值；（2）过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图象交于点，与轴交于点．①当点是线段的中点时，求的值；②当时，直接写出的取值范围．24．（12分）如图1，为锐角三角形的外接圆，点在上，交于点，点在上，满足，交于点，，连结，．设．（1）用含的代数式表示；（2）求证：；（3）如图2，为的直径．①当的长为2时，求的长；②当时，求的值．

杭州市第十五中教育集团2023学年第二学期初三3月阶段性评估参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）的结果是A． B． C． D．【分析】根据负整数指数幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了负整数指数幂的计算，负整数指数幂等于正整数指数次幂的倒数，熟记性质是解题的关键．2．（3分）的值为A． B． C． D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．3．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形【分析】根据中心对称图形的概念和各图的性质求解．【解答】解：、、中，既是轴对称图形，又是中心对称图形；、只是轴对称图形．故选：．【点评】掌握中心对称与轴对称的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）2024年春节期间，杭州东站一天的客流量为2500000人次．将2500000用科学记数法表示应为A． B． C． D．【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．【解答】解：根据题意：．故选：．【点评】把一个数写成的形式，叫做科学记数法，其中，因此不能写成而应写成．5．（3分）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是A． B． C． D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形，故选：．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．6．（3分）如图，点是的劣弧上一点，，则的度数为A． B． C． D．150【分析】如图作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形性质求出即可．【解答】解：如图做圆周角，使在优弧上，，，、、、四点共圆，，，故选：．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．7．（3分）若点，，，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将、、三点的坐标代入反比例函数的解析式，分别求得，，的值，然后再来比较它们的大小．【解答】解：点，，，，，在反比例函数的图象上，，，；又，；故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．经过反比例函数的某点一定在该函数的图象上．8．（3分）图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图象，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和甲 D．丙和乙【分析】由图象可直接得出结论．【解答】解：由题意得，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快．甲用时最小，故甲最先到达终点．故选：．【点评】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．9．（3分）如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长A． B． C． D．【分析】过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长．【解答】解：过作于，四边形是正方形，，平分交于点，，正方形的边长为1，，，，，，故选：．【点评】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．10．（3分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则下列结论：①②③④其中正确的结论的个数是A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④．【解答】解：抛物线的顶点在第一象限，，，所以①正确；，点坐标为，点坐标为，代入得，，所以②正确；，，，，设，，，，，，，所以③正确；，，，所以④正确；故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）化简：．【分析】直接利用同分母分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．12．（3分）一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球．其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是．【分析】利用红球的个数球的总个数可得红球的概率．【解答】解：一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个黄球，1个蓝球，2个红球，摸到红球的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．13．（3分）若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．【分析】根据配方法的步骤把变形为，得出．，则．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，熟记公式结构，完全平方公式：．14．（3分）如图，是圆锥的高，是底面半径，如果圆锥底面周长为，，那么圆锥的高为．【分析】根据底面周长为，求出为4，在中，根据，即可求出答案．【解答】解：底面周长为，，在中，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握圆的周长公式和解直角三角形是关键．15．（3分）已知关于，的方程组，则1．【解答】解：方程组，∴①-②，得∴x-y=1故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．16．（3分）如图，中，，，点为的中点，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，当时，的度数为．【分析】设交于点，由折叠可知，，根据三角形内角和定理得，进而得到，由得到，求解即可得到答案．【解答】解：当时，如图，设交于点，则，根据折叠的性质可得，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程：小清：去分母，得：，解得：，检验：当时，，分式方程的解为．小北：去分母，得：，解得：，检验：当时，，分式方程无解．请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．【分析】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案．【解答】解：小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下：，去分母，得：，解得：，检验：当时，，分式方程的解为．【点评】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．18．（6分）在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题：（1）求这次调查获取的样本容量；（2）求这次调查获取的样本数据的众数和中位数；（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以求得这次调查获取的样本容量；（2）根据条形统计图中的数据可以得到这次调查获取的样本数据的众数，中位数，平均数；（3）根据条形统计图中的数据可以得到该校本学期计划购买课外书的总花费．【解答】解：（1）样本容量是：；（2）由统计图可得，这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50；（3）（元．答：该校本学期计划购买课外书的总花费大约是50500元．故答案为：40．【点评】本题考查众数、中位数、加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（8分）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求的长．【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知，且；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形的对边平行且相等，即四边形是平行四边形；（2）如图，过点作于点，构造含30度角的直角和直角．通过解直角和在直角中运用勾股定理来求线段的长度．【解答】证明：（1）在中，，且．是的中点，．又，，，四边形是平行四边形；（2）解：如图，过点作于点．在中，，，，．，，，．在中，，则．在中，根据勾股定理知．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．（8分）如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自处测得建筑物顶部的仰角，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自处测得建筑物顶部的仰角．已知测角仪的高度是，（1）若，，，计算出该建筑物的高度．（2）若，，，计算出该建筑物的高度（用含的代数式表示）【解答】解：（1）设，则由题意可知，．在中，，即，，，解得，．（2）设则∴∴∴∴答：该建筑物的高度为．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据得出的值是解决问题的关键．21．（10分）如图，中，，，为边上一点，．（1）求证：；（2）如果，求的长．【分析】（1）由题意得到两边对应比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】（1）证明：在中，，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，，．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．22．（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．【分析】（1）由△得到关于的不等式，解之得到哦的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知，还原方程，利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）由题意知，△，解得：，又，即，则且；（2）由（1）知，则方程为，即，解得或．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．23．（12分）已知：在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．（1）求的值；（2）过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图象交于点，与轴交于点．①当点是线段的中点时，求的值；②当时，直