空间杆系分析

关于空间杆系分析12§6-1空间桁架结构有限元分析（桁架单元）

由于两端铰接，不能承受力矩，假定每个节点三个自由度，在整体参考系有：

为方便研究，在单元上取一个局部参考系，以为原点，由点指向点为轴的正向。在局部参考系中有：一、桁架单元刚度矩阵第2页,共32页，2024年2月25日，星期天3在单元中假定：

利用节点处的位移连续性条件可以解出和，代回原式有：其中单元长度为：第3页,共32页，2024年2月25日，星期天4其中为单元截面积，为单元材料杨氏模量。

需要指出，以上单元刚度是基于局部参考系得到的，由于不同的单元，其局部参考系的方位各不相同。因而，局部参考系中的单元节点位移向量的方向也各不相同，局部参考系中的刚度矩阵不具有可累加性。

这就要求我们将局部参考系下的单元刚度矩阵变换到整体参考系中。第4页,共32页，2024年2月25日，星期天5二、坐标变换矩阵局部参考系与整体参考系中单元节点位移向量的变换关系为：写成矩阵形式为：简记为：其中：第5页,共32页，2024年2月25日，星期天6单元弹性应变能在整体参考系中的表达式为：单元弹性应变能在局部参考系中的表达式为：将：代入上式有：将该式与整体参考系中的单元弹性应变能对比可知：第6页,共32页，2024年2月25日，星期天7三、等效单元体力载荷向量桁架单元的等效体力载荷向量可以简单地表示为：其中：为单元形心坐标，可以由下式给出：第7页,共32页，2024年2月25日，星期天8四、单元应力计算第8页,共32页，2024年2月25日，星期天9§6-2平面刚架（框架）结构有限元分析一、平面刚架单元受力分析与变形分解

该单元可以承受和方向的力以及绕轴方向的力矩。

在整体参考系中单元节点位移向量为：

为方便研究，在单元上取一个局部参考系，以为原点，由点指向点为轴的正象。第9页,共32页，2024年2月25日，星期天10

在局部参考系中单元所受载荷可以分解为：1）轴向拉压，主要引起单元的轴向变形。2）横向载荷及绕平面法向的弯矩，主要引起单元的弯曲。

为研究方便，我们在做刚架结构有限元分析时，也将单元变形分解为轴向变形与弯曲变形两部分，分别进行研究。在小变形条件下，可以认为单元的轴向变形与弯曲变形是相互独立的并符合迭加原理。因此，我们可以分别计算两种基本变形的刚度，在进行迭加。刚架结构的有限元分析在研究弯曲变形时采用了材料力学梁的基本假定，因此，有时也将刚架单元称为梁单元。第10页,共32页，2024年2月25日，星期天111）单元轴向变形刚度矩阵

与轴向变形相关的节点位移分量有和，假定在轴向载荷作用下单元内单元内任意点的位移为：与轴向变形对应的刚度矩阵为：

二、平面刚架单元两种基本变形的的刚度矩阵第11页,共32页，2024年2月25日，星期天122）单元弯曲变形刚度

与弯曲变形相关的节点位移分量有、、和。假定在轴向载荷作用下单元内单元内任意点的挠度为：中性层上的根据节点处的位移连续性条件有：解出，代回挠度函数经整理可得：在点：在点：小变性、中心平面、第12页,共32页，2024年2月25日，星期天13挠度函数为：其中：单元中性层外任意点沿局部参考系方向得位移可以表示为：第13页,共32页，2024年2月25日，星期天14单元中性层外任意点沿局部参考系方向得应变可以表示为：其中：在局部参考系中单元刚度矩阵可以表示为其中：——绕轴截面弯曲惯性矩第14页,共32页，2024年2月25日，星期天15将轴向变形与弯曲变形的刚度迭加，可以得到平面刚架单元的刚度矩阵。第15页,共32页，2024年2月25日，星期天16§6-3空间刚架（框架）结构有限元分析一、空间刚架单元受力分析与变形分解

该单元可以承受三个方向的力以及绕三个轴的力矩。

在整体参考系中单元节点位移向量为：

为方便研究，在单元上取一个局部参考系，以为原点，由点指向点为轴。以截面的两个惯性主轴分别为局部参考系的轴和轴。第16页,共32页，2024年2月25日，星期天171)在轴向载荷的作用下，将产生轴向拉压变形，与之相关的节点位移分量为：2)在绕轴向载荷（扭矩）的作用下，将产生扭转变形，与之相关的节点位移分量为：3)在向载荷及绕轴力矩的作用下，将产生平面内的弯曲变形，与之相关的节点位移分量为：4)在向载荷及绕轴力矩的作用下，将产生平面内的弯曲变形，与之相关的节点位移分量为：第17页,共32页，2024年2月25日，星期天18二、空间刚架单元四种基本变形的刚度矩阵1）单元轴向变形刚度矩阵

与轴向变形相关的节点位移分量有和，假定在轴向载荷作用下单元内单元内任意点的位移为：与轴向变形对应的刚度矩阵为：

第18页,共32页，2024年2月25日，星期天192）绕单元轴向扭转变形刚度矩阵

与扭转变形相关的节点位移分量有和，假定在轴向载荷作用下单元内单元内任意点的扭转角为：在单元中假定：在点：在点：解出和代回插值函数有：

对于圆形截面有：其几何矩阵为：第19页,共32页，2024年2月25日，星期天20与轴向变形对应的刚度矩阵为：

根据应力应变关系可以得到则扭转变形刚度矩阵为：令：——圆形截面的扭转惯性矩。说明：对于非圆截面前面的应变位移关系及扭转惯性矩算式不成立，但刚度矩阵是普遍适用的，只是扭转惯性矩需要用其它方法获得，如：近似公式计算、实验等。第20页,共32页，2024年2月25日，星期天213）单元平面内弯曲变形刚度矩阵

与弯曲变形相关的节点位移分量有、、和。假定在横向载荷和弯矩作用下单元内单元内任意点的挠度为：根据节点处的位移连续性条件有：解出，代回挠度函数经整理可得：在点：在点：第21页,共32页，2024年2月25日，星期天22挠度函数为：其中：单元中性层外任意点沿局部参考系方向得位移可以表示为：第22页,共32页，2024年2月25日，星期天23单元中性层外任意点沿局部参考系方向得应变可以表示为：其中：在局部参考系中单元刚度矩阵可以表示为其中：——绕轴截面惯性矩第23页,共32页，2024年2月25日，星期天244）单元平面内弯曲变形刚度矩阵

与弯曲变形相关的节点位移分量有、、和。假定在单元内单元内任意点的挠度为：根据节点处的位移连续性条件有：在点：在点：其中：——绕轴截面惯性矩对应的单元刚度矩阵为：其他过程与平面内的弯曲相同，不再第24页,共32页，2024年2月25日，星期天25对称空间刚架单元在局部参考系中的单元刚度矩阵为：第25页,共32页，2024年2月25日，星期天26三、空间刚架单元刚度矩阵的变换关系整体参考系1）空间刚架单元的节点位移向量局部参考系2）空间刚架单元的节点位移向量的变换关系——坐标变换矩阵，具体形式如下：第26页,共32页，2024年2月25日，星期天27其中：——局部参考系轴关于整体参考系的方向余弦——局部参考系轴关于整体参考系的方向余弦——局部参考系轴关于整体参考系的方向余弦

因为空间刚架单元的局部参考系有三个坐标轴，根据单元的两个节点只能确定其中一个坐标轴的方向，为确定其它两个坐标轴的方向，还需要因入一个辅助量，可以是一个节点或一个参考方向。第27页,共32页，2024年2月25日，星期天28四、空间刚架单元局部参考系确定方法（参考点法）

所谓参考点法，是在单元截面主轴平面内找一个辅助点（称参考点），用以帮助确定单元局部参考系。首先由点到点作一个向量

其中：取的方向为局部参考系轴的方向，轴与整体参考系的三个方向余弦为：第28页,共32页，2024年2月25日，星期天29再由点到点作一个向量

其中：显然的方向垂直于和，以局部参考系轴的方向。由向量差乘规则可知：令：或写成行列式形式：第29页,共32页，2024年2月25日，星期天30这样，局部参考系轴的三个方向余弦可以表示为：显然的方向垂直于和，以局部参考系轴的方向。由向量差乘规则可知：令：或写成行列式形式：第30页,共32页，2024年2月25日，星期天31这样，局部参考系