高中数学同步讲义（人教A版选择性必修三）第02讲 6.2.1排列+6.2.2排列数（学生版）

第02讲6.2.1排列+6.2.2排列数课程标准学习目标①了解排列的意义。②掌握常见的排列处理方法。③会用排列的相关方法解决简单的排列问题。④理解与掌握排列数公式⑤熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解。⑥能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题1.通过本节课学习，要求在掌握排列的意义基础上，能解决简单的排列问题；2能准确判断排列问题；3.能准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题；知识点01：排列（1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）从5位同学中选3位排成一列，共有多少种不同的排法？【答案】60种【详解】从5位同学中选3位排成一列，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，所以不同排法的种数是（种）.知识点02：排列数与排列数公式（1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.（2）排列数公式①（连乘形式）：，，②（阶乘形式），，（3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示.（4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示.【即学即练2】（2023上·高二课时练习）将6本不同的书排成一排，有多少种不同的排法？【答案】720【详解】将6本不同的书排成一排，一共有种不同的排法.【即学即练3】（2021·高二课时练习）证明，并用它来化简．【答案】证明见详解；【详解】证明，即证.【即学即练4】（2023·江苏·高二专题练习）解方程：.【答案】【详解】由题设，则，所以，可得或，又且，则且，所以.题型01排列的定义【典例1】1（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考阶段练习）下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合【典例2】（2023·高二课时练习）给出下列问题：①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？以上问题中，属于排列问题的是．（写出所有满足要求的问题序号）【典例3】（2023·高二课时练习）下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④

B．①②

C．③④

D．①③④【变式1】（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互打电话．【变式2】（2022·高二课时练习）下列问题是排列问题吗？(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2)某班40名学生在假期相互写信；(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？题型02排列的列举问题【典例1】（2023·高二课时练习）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有种机票．【典例2】（2023上·高二课时练习）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列．【典例3】（2023·高二课时练习）请列出下列排列：(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列：(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.题型03排列数的计算、化简与证明【典例1】（2023下·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）可表示为（）A． B．C． D．【典例2】（多选）（2023上·河南·高二校联考阶段练习）下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）求不等式的解集．【变式1】（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）可表示为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）.【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）解不等式：题型04全排列问题【典例1】（2023上·高二课时练习）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（

）A．3种 B．4种C．6种 D．12种【典例2】（2023下·江苏镇江·高二校考期末）将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（

）A．12种 B．24种 C．18种 D．48种【典例3】（2023·上海闵行·统考一模）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为．【变式1】（2023下·云南曲靖·高二校考期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（

）A．24种 B．23种 C．12种 D．11种【变式2】（2023下·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）5月12日在鸡西实验中学报告厅开展了以“预防灾害风险，守护美好家园”为主题的消防安全知识专题讲座，还要到3个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为（

）A．3 B． C．9 D．6【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有种放法.题型05元素（位置）有限制条件的排列问题【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【典例2】（2023上·湖南邵阳·高三统考期中）某班派遣五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有种.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有种．【典例4】（2023上·陕西汉中·高二校联考阶段练习）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）(1)若必须在内，有多少种排法？(2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？【变式1】（2023上·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（

）A．360 B．480 C．600 D．720【变式2】（2023上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试）电视台连续播放6个广告，其中包含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首位必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.【变式3】（2023上·高二单元测试）老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有种．【变式4】（2023上·高二课时练习）从7名运动员中选4名组成接力队参加4×100米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的排法有多少种？题型06相邻问题的排列问题【典例1】（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【典例2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（

）A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种【典例3】（2023·广东韶关·统考一模）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有种不同的排法（用具体数字作答）.【变式1】（2023·广西·模拟预测）一排有6个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（

）A．10种 B．12种 C．72种 D．144种【变式2】（2023·江苏·统考三模）某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（

）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【变式3】（2023下·重庆南岸·高二校考期中）每年5月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生活的美好见证.某班同学集体合影后有4位同学邀请两位老师合影留念.若6人站成一排，两位老师站在中间位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方法有种.（用数字作答）题型07不相邻排列问题【典例1】（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（

）种．A．144 B．72 C．36 D．24【典例2】（2023上·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（

）A．40 B．36 C．56 D．48【典例3】（多选）（2023下·高二单元测试）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（

）A． B． C． D．【变式1】（多选）（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（

）A． B． C．84 D．【变式2】（2023上·全国·高三专题练习），，，，五名学生按任意次序站成一排，其中和不相邻，则不同的排法种数为（

）A．72 B．36 C．18 D．64【变式3】（2023下·海南·高二校考期中）琼中中学一条校道路边有7盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3盏路灯，但要求点亮的3盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（

）种A．5 B．10 C．15 D．20【变式4】（2023·云南曲靖·校考三模）老师排练节目需要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2个女生不相邻的排法为.题型08相邻（不相邻）排列综合问题【典例1】（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【典例2】（2023下·山西晋中·高二校考期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：(1)5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？(2)5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？【典例3】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：(1)A，B两人不排在一起，有几种排法？(2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？(3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？【变式1】（2023上·高二课时练习）4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．(1)男生和女生均相邻；(2)男生均相邻；(3)女生均不相邻；(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；(5)至少有两个女生相邻．【变式2】（2023下·北京东城·高二景山学校校考期中）名男生和名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目．(1)若这名女生不能相邻，有多少种不同的排法？(2)甲乙必须相邻，有多少种不同的排法？(3)若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？【变式3】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.(1)男生､女生各站在一起；(2)男生必须站在一起；(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？题型09数字排列问题【典例1】（2023下·上海普陀·高二校考期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有个．（用数字作答）【典例2】（2023上·高二课时练习）用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？【典例3】（2023下·广东肇庆·高二统考期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）(2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示）【变式1】（2023上·高二课时练习）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？【变式2】（2023上·高二课时练习）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？题型10排列的综合应用【典例1】（2023·全国·模拟预测）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54种 B．72种 C．96种 D．120种【典例2】（2023上·上海·高二校考阶段练习）分别求下列情形的方法数：（用数字作答）(1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍；(2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；(3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．【典例3】（2023上·高二课时练习）3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：(1)甲不在最左边，乙不在最右边；(2)男生必须排在一起；(3)男生和女生相间排列；(4)在甲､乙两人中间必须有3人.【变式1】（2023·四川凉山·统考一模）五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（

）A．12种 B．24种 C．48种 D．96种【变式2】（2023上·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则：(1)可以组成多少个偶数？(2)可以组成多少个比13123大的数？【变式3】（2023上·高二课时练习）（1）配制某种染色剂，需要加入种有机染料、种无机染料和种添加剂，其中有机染料的添加顺序不可以相邻．为研究所有不同的添加顺序对染色效果的影响，总共要试验多少次？（2）某展览馆计划展出幅不同的画，其中水彩画幅、油画幅、国画幅．现排成一排陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端．问：有多少种不同的陈列方式？A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·北京通州·高二统考期中）计算：（

）A．30 B．60 C．90 D．1202．（2023下·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）等于（）A．107 B．323C．320 D．3483．（2023下·广东江门·高二校考期中）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（

）A．120 B．86 C．72 D．604．（2023·四川乐山·统考一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（

）4A．70 B．120 C．140 D．1445．（2023·全国·模拟预测）甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（

）A．27种 B．72种 C．36种 D．54种6．（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（

）A．84 B．108 C．132 D．1447．（2023上·甘肃白银·高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）甲､乙､丙､丁等7人站成一排，其中甲､乙相邻，丁与甲､乙､丙都不相邻的站法共有（

）A．576种 B．448种 C．288种 D．224种8．（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列则第85个数字为（

）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310二、多选题9．（2023上·高二课时练习）(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．－10．（2023下·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（

）A．若A、B两人站在一起有48种方法B．若A、B不相邻共有12种方法C．若A在B左边有60种排法D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法三、填空题11．（2023上·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种.12．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有