高中数学同步讲义（人教A版选择性必修三）第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质（教师版）

第04讲6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质课程标准学习目标①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。④理解二项式系数的性质。⑤会用赋值法求展开式系数的和。1.要求能运用二项式定理求解二项展开式；2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数；3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题；4.能理解二项式系数的性质；5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.知识点01：知识链接（1）（2）知识点02：二项式定理及相关概念（1）二项式定理一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.（2）二项展开式公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）.（2）.（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（

）A．第3项 B．第4项C．第5项 D．第3项和第4项【答案】B【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是．【答案】【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于，所以，则，则展开式的通项为（其中且），令，解得，所以展开式中的系数为．故答案为：．（4）二项式定理的三种常见变形①②③知识点03：二项展开式的通项二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.知识点04：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.④各二项式系数和：；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【详解】，，∴，解得，∴该展开式各项的二项式系数和为.故选：D【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【答案】15【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，所以，所以，所以二项式为，所以第项展开式为，若求常数项，则令，所以，所以，即常数项为15.故答案为：15.题型01求型的展开式【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】二项式，.故选：B【典例2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式．【答案】【详解】由二项式定理，得，所以的二项展开式是．【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）解：由.（2）解：由.【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式．【答案】【详解】在二项式定理中令，可得．【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．【答案】【详解】题型02二项展开式的逆用【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【详解】原式=.故选：C.【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）.【答案】【详解】原式.故答案为：.【典例3】（2023上·高二课时练习）化简．【答案】．【详解】原式【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设，则．【答案】1【详解】因为故答案为：【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为．【答案】【详解】由，可得则，即，解得．故答案为：.【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）的值是.【答案】【详解】由已知可得，.故答案为：.题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【详解】展开式的通项为，所以，常数项为，故选：B.【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）的展开式中的系数是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【详解】由题意原式中的系数；故选：B.【典例3】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式的展开式中的第3项为（

）A．160 B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C．【典例4】（2023上·高二课时练习）的展开式的第3项的系数为；常数项为．【答案】【详解】由二项式展开式的通项为，可得展开式中第3项为，所以第3项的系数为，令，可得，所以展开式的常数项为.故答案为：；.【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为.(用数字作答)【答案】60【详解】二项式的展开式的通项公式，由，得，则，所以二项式的展开式中常数项为60.故答案为：60【变式2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）的展开式中含的项的系数是．（用数字作答）【答案】【详解】因为的展开通项公式为，令，得，所以其中含的项的系数为.故答案为：.【变式3】（2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）二项式展开式中的含项的系数为．【答案】-40【详解】二项式展开式的通项为，令，则.故答案为：.【变式4】（2023下·江苏镇江·高二统考期中）在展开式中，项的系数为.【答案】【详解】由题意，多项式，根据组合数的运算，展开式中的系数为，又由.故答案为：.题型04三项展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023下·河北邢台·高二统考期末）展开式中的常数项为（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【详解】因为，所以展开式中的常数项即分子展开式中的系数，即.故选：C【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】【详解】由于，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为：【典例3】（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为．【答案】-160【详解】变形为，故通项公式得，其中的通项公式为，故通项公式为，其中，，令，解得，故.故答案为：-160【变式1】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为.【答案】【详解】因为在的展开式中，记项的系数为，所以项的系数，即，由，可得，即，所以.故答案为：.【变式2】（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）展开式中，项的系数为.【答案】【详解】，∵的指数是3，∴得到，∵的指数是2，得到，∴项的系数为.故答案为：【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）的展开式中项的系数为．【答案】【详解】的展开式中，构成项只能是一个、一个、3个相乘，故此项为．故答案为：.题型05几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【详解】的展开式通项为，故的展开式中的系数为，故选：B.【典例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为（用数字作答）.【答案】【详解】令可得二项式的所有项系数和为，所以.二项式的展开式的通项公式为，，1，…，8，所以的展开式中，的系数为.故答案为：【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）的展开式中含的项的系数为.【答案】960【详解】的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为：.故答案为：960.【典例4】（2023·天津·高三专题练习）若的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为．【答案】【详解】令，得，解得，进而可得的展开式为，令，得，令，得，故的系数为．故答案为：【变式1】（2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】【详解】的展开式的通项（，1，2，…，8）．当时，其展开式的常数项为；当时，其展开式中的系数为，则的展开式中常数项为．故答案为：【变式2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知，若其展开式中各项的系数和为81，则．【答案】【详解】由展开式中各项的系数和为，令，可得，解得.故答案为：.【变式3】（2023·江苏·统考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含的项的系数为.【答案】32【详解】记令，则，即，则的展开式中含的项为.故答案为：32【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为．【答案】720【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，则有，所以展开式中的项为：，则展开式中的系数为：720.故答案为：720.题型06二项式系数最大项问题【典例1】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C【典例2】（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则.【答案】【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以为偶数且，可得.故答案为：.【典例3】（2023上·高二课时练习）（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；（2）的二项式系数的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【详解】（1）二项式展开式的通项为（且），所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，依题意可得，所以；（2）二项式展开式的一共项，则第项和第项二项式系数相等同时取得最大值，又展开式的通项为（且）所以第项的二项式系数为，第项二项式系数为，即的二项式系数的最大值是.【变式1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】C【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，即，由二项式系数性质可得；因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.故选：C【变式2】（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为.【答案】/【详解】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以，所以.故答案为：【变式3】（2023上·高二课时练习）若的展开式中，的系数是x的系数的7倍，求n的值及二项式系数的最大值．【答案】，最大值为70.【详解】因为展开式的第项的通项公式为，所以的系数为，的系数为，因为的系数等于x的系数的7倍，所以，解得.所以二项式系数的最大值为.题型07系数最大（小）项问题【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：A【典例2】（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为．【答案】【详解】设系数最大的项为，则，解得，因为且为整数，所以，此时最大的项为.故答案为：【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为.【答案】【详解】设展开式的第项的系数最大，则，解得，所以系数最大的项为第或第项，所以系数最大的项为：，.故答案为：【典例4】（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若，求的值；（2）在的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项；【答案】（1）；（2）①②第6项和第7项【详解】解：（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．②设第项系数的绝对值最大，则，所以解得故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.【变式1】（2023·河南安阳·统考二模）的展开式中各项系数的最大值为（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【详解】该二项式的通项公式为，由，可得．因为，所以展开式中各项系数的最大值为．故选：D【变式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式的展开式中，系数最大的项为．【答案】【详解】展开式通项公式为，且为整数.要想系数最大，则为偶数，其中，，，，显然系数最大项为.故答案为：【变式3】（2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.(1)求n的值；(2)系数最大的项．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是，则，即，解得(舍)或，所以n的值为6.（2）的展开式的通项为，令，解得，又，，展开式中系数最大的项为第项，且．【变式4】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）（1）若，求的值；（2）在的展开式中，①求二项式系数最大的项；②系数的绝对值最大的项是第几项？【答案】（1）；（2）①；②第6项和第7项【详解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．②设第项系数的绝对值最大，则所以解得故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．题型08赋值法解决系数和问题【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知（），且的二项展开式中，____．(1)求的值；(2)①求二项展开式的中间项；②求的值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)①；②．【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，则有，化简可得，求得或（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有，化简可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二项展开式的中间项为．②二项式展开式的通项公式为，所以、、、、为正数，、、、为负数．在中，令．再令，可得，∴．【典例2】（2023下·山东济南·高二校考阶段练习）已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)625【详解】（1）由，令得，所以．（2）在中，令得①，令得②,所以．【典例3】（2023上·高二课时练习）设．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，令，得，则；令，得，则，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根据展开式的通项公式知，，为负，，为正；令，所以．【典例4】（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【详解】（1）令，则，所以.，当时，可得.（2）令，得，令，得，所以.（3）因为，两边对求导得，令，得.【变式1】（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）令，则，①（2）令，则，②令，则，，；（3），即为含项的系数，为，则.【变式2】（2023上·高二单元测试）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【答案】(1)800；(2)；(3)0.【详解】（1）在展开式中，含的项为，所以.（2）令，当时，，当时，，所以.（3）.因为，所以，故【变式3】（2023下·河北保定·高二校考阶段练习）设设十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）令，则①（2）令，则②，①②可得：；（3）因为的和为二项式的展开式的各个项的系数和，所以令，则．【变式4】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)18【详解】（1）解：由，令，可得；令，可得，所以，所以.（2）解：因为，两边同时求导数，可得，令，则.题型09有关整除或求余问题【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）设，且，若能被7整除，则（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【详解】，因为能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故选：C.【典例2】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）被8除的余数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【详解】其中是8的整数倍，故被8除的余数为3.故选：B【典例3】（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【详解】因为，所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四，故选：B．【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设的小数部分为x，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由，得的整数部分为4，则，所以，即，故.故选:B【变式2】（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为．【答案】6【详解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余数为6，故答案为：6【变式3】（2023上·高二课时练习）用二项式定理证明能被8整除．【答案】见解析【详解】证明：能被8整除.所以能被8整除.题型10利用二项式定理近似计算【典例1】（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【详解】，故选：C.【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）估算的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【详解】原式+．故选：A．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【详解】.故选：C【变式2】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是．【答案】1.34【详解】故答案为：A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中含的项是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．故选：C.2．（2023上·湖北黄冈·高三校联考期中）若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，可知，所以二项式为，其展开式的通项为，令，即，所以常数项为，故选：B.3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．20 C． D．15【答案】A【详解】的第项为，令，则，所以的展开式中，含项为，系数为.故选：A4．（2023下·山东滨州·高二统考期中）若的展开式中的系数为40，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【详解】的展开式的项为,因为的展开式中的系数为40，所以，解得.故选:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）若，则（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【详解】令，得，令，得，所以，故选：D6．（2023下·四川资阳·高二统考期末）展开式中，系数最大的项是（

）A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项【答案】D【详解】因为的展开式的通项为，，所以展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.故选：D.7．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末），则（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【详解】由二项式的展开式的通项为，所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数，令，可得，令，可得，所以.故选：B.8．（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：A二、多选题9．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期末）下列说法正确的是（

）A．已知，则可能取值为6B．已知，则可能取值为7C．在的二项式展开式中，常数项是84D．在的二项式展开式中，常数项是【答案】BC【详解】对于选项A和选项B，因为，故，或，得，故A错误，B正确；对于选项C和选项D，根据二项展开式的通项公式，令，解得，∴，故C正确、D错误.故选：BC.10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】令可得，A正确.，其展开式的第三项是，所以，B不正确.令可得，所以，D不正确.令可得，与相减可得，C正确.故选：AC三、填空题11．（2024上·全国·高三专题练习）若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为．【答案】【详解】，令得，∴，依题意，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．故答案为：12．（2024上·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是年.【答案】丙午【详解】因为，所以年以后地支为“午”.因为，又因为除以10余数为3