余弦定理教学设计

教材分析本节内容是必修5（人教A版）第一章第一节第二课时的内容，在三角形正弦、余弦、正弦定理等三角知识之后，这一节内容，是对余弦知识的进一步扩展，同时也是三角知识的应用，是对初中解直角三角形内容的直接延伸，是解决实际生活中三角形问题的有力工具之一，是在学生已经学习过三角形的相关概念、以及三角知识等基础上，对三角知识的进一步深化，是求解任意三角形的进一步扩充，对进一步学习任意三角形的求解、培养学生应用意识等能力十分重要。学情分析学生学习本节内容之前，已经掌握如何解直角三角形，并学习了平面几何、三角函数、三角恒等变换、向量等知识，有一定的观察和分析能力。并且在学习了余弦定理之后，对三角形边角有进一步认识，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。但高一学生还缺乏从现实生活中发现和提出问题的意识，以及利用数学解决实际生活问题的能力，加之三角函数学习时间较长，与向量知识衔接不紧密。因此，在此过程中应循循善诱，引导学生发现与思考。教学目标知识与能力：掌握余弦定理的内容以及余弦定理的证明，能熟练运用余弦定理解决三角形问题。过程与方法：学生从已有的知识出发,通过探究在任意三角形中两边与其夹角与第三边的关系，得到余弦定理。情感态度与价值观：通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识，利用余弦定理解决生活中的三角形问题，体会数学知识在实际生活中的应用。教学重难点重点：余弦定理的内容与证明；余弦定理的简单应用难点：余弦定理的猜想提出过程；余弦定理的证明教学过程复习引入：回顾正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即asinA正弦定理常用于解决什么样的三角形问题？生：（1）已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角（AAS,ASA）（2）已知两边和一边所对的角，可以求出另外两角和另外一边（SSA）（设计意图：带学生回顾正弦定理的内容以及应用，为余弦定理的讲解做准备）提出问题：已知三角形两边及其夹角，如何求第三边？（SAS）即在

△ABC中，已知边a,b，夹角C，求边c。生：思考用正弦定理或其他已学知识解决问题。师：这类问题用正弦定理是可以解决的，不过解决步骤有点麻烦，今天我们就来学习一个可以迅速解决这类问题的定理。（设计意图：引出余弦定理，提高学生学习本节内容的兴趣）解决问题（教师提示辅助线，剩余解题过程学生可独立完成）：类比任意角三角形的正弦定理的证明，将求任意三角形边角关系转化到直角三角形中。解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，∴AD=bsinA,CD=bcosC∴BD=BC-BD=a-bcosC在Rt△ABC中，由勾股定理知c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2去括号化简可以得到c2=a2+b2-2abcosC（设计意图：培养学生从进行类比的思想，体会数学知识之间的衔接，体会几何证明过程，且这种证明方法学生容易接受）师：这里我们得到了一个很有意思的等式：c2=a2+b2-2abcosC，这就是我们今天要学习的余弦定理，三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍。即c2=a2+b2-2abcosC，a2=c2+b2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB（设计意图：介绍规范的定理表达，对称的公式方便学生的记忆和理解以及观察余弦定理的规律）例题：已知在

△ABC中，a=5,b=8，cosC=31010，求边生：解：c2=a2+b2-2abcosC=25+64-2*5*8*31010（设计意图：检测学生对定理的简单应用，加深学生对定理的理解和记忆）课堂小结师：这节课我们学习了什么？生：余弦定理师：余弦定理的内容?生：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍。（设计意图：巩固学生对余弦定理的理解和记忆）板书设计余弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即asinA常用于AAS,ASA,SSA在

△ABC中，已知边a,b，夹角C，如何求边c？解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，∴AD=bsinA,CD=bcosC∴BD=BC-BD=a-bcosC在Rt△ABC中，由勾股定理知c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2c2=a2+b2-2abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍。即c2=a2+b2-2abcosC，a2=c2+b2-2bcco