离散型随机变量的分布列

关于离散型随机变量的分布列

1.随机变量:(1)随机变量是将随机试验的结果数量化,通过随机变量将随机试验的结果和实数之间建立了一个对应关系,这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,f(x)的自变量x是实数,而在随机变量概念中,随机变量X的自变量是试验的结果.(2)若X为一随机变量,则η=aX+b(a,b是常数)也是随机变量.第2页,共22页，2024年2月25日，星期天设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,…,xi,…,xn,X取每个值的概

率为P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n)则称

为随机变量X的分布列.(1)两个性质:①_______;②____________________.(2)由定义可知求一个随机变量分布列的步骤:①设出随机变量X,并

确定X的所有可能取值,以及每个值的意义;②计算X取每个值的概

率;③写出X的分布列(一般列表).2.离散型随机变量的分布列:(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内

各个取值的概率之和.第3页,共22页，2024年2月25日，星期天3.两点分布:第4页,共22页，2024年2月25日，星期天3.两点分布:若随机变量X的分布列为

则称X的分布列为两点分布列;如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).易知E(X)=p,DX=p(1-p).第5页,共22页，2024年2月25日，星期天4.超几何分布:第6页,共22页，2024年2月25日，星期天一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,

则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=

,k=0,1,2,…,m,其中m=min

{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列

为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则

称随机变量X服从超几何分布.4.超几何分布:这里应注意抽取产品时,采用的是不放回抽样.第7页,共22页，2024年2月25日，星期天5第8页,共22页，2024年2月25日，星期天6.二项分布:

在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件

A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的

概率为P(X=k)=

pk(1-p)n-k,其中k=0,1,2,3,…,n.第9页,共22页，2024年2月25日，星期天例1

(1)下列表中能成为随机变量X的分布列的是(

)(A)

(B)

(D)

(C)

(2)设随机变量X的分布列为P(X=k)= (k=1,2,3),c为常数,则P(0.5<X<2.5)=

.第10页,共22页，2024年2月25日，星期天 例2设离散型随机变量X的分布列为:

求(1)2X+1的分布列;(2)|X-1|的分布列.第11页,共22页，2024年2月25日，星期天 例3袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求:(1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.第12页,共22页，2024年2月25日，星期天【解析】(1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又

由于每次取到黑球的概率均为

,3次取球可以看成3次独立重复试验,则X~B(3,

).∴P(X=0)=

(

)0×(

)3=

;P(X=1)=

(

)1×(

)2=

;P(X=2)=

(

)2×(

)1=

;P(X=3)=

(

)3×(

)0=

.因此,X的分布列为:第13页,共22页，2024年2月25日，星期天(2)不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:因此,Y的分布列为:P(Y=0)= = ;P(Y=1)= = ;P(Y=2)= = .第14页,共22页，2024年2月25日，星期天

1.随机变量是将随机试验的结果数量化,通过随机变量将随机试验的结果和实数之间建立了一个对应关系;这里应注意能根据给定的具体问题,判断出随机变量的取值情况,及取每个值的意义.2.由离散型随机变量分布列的定义可知求一个随机变量分布列的步骤:①设出随机变量X,并确定X的所有可能取值,以及取每个值的意义;②计算X取每个值的概率;③写出X的分布列(一般列表).其中第二步的关键是根据两个计数原理,排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.第15页,共22页，2024年2月25日，星期天3.在求离散型随机变量概率分布时,需充分运用分布列的性质,一是可以减少运算量;二是可验证所求的分布列是否正确.4.理解并掌握好超几何分布的问题情景和解决方法,特别是其对应的抽样是不放回抽样.5.对于二项分布应注意以下几方面:(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生;(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.第16页,共22页，2024年2月25日，星期天1.(2011年湖南卷)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.第17页,共22页，2024年2月25日，星期天1.(2011年湖南卷)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;【解析】(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)

+P(“当天商品销售量为1件”)=

+

=

.第18页,共22页，2024年2月25日，星期天1.(2011年湖南卷)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.第19页,共22页，2024年2月25日，星期天(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=

=

;P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为2件”)+P(“当天商品销售量为3件”)=

+

+

=

.故X的分布列为:

X的数学期望为E(X)=2×

+3×

=

.第20页,共22页，2024年2月25日，星期天例一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以X表示取出的三只球中的最小号码,写出随机变量X的分布列.【解析】随机变量X的可能取值为1,2,3.当X=1时,即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号

为2