中考数学拉分压轴题专题15 阴影部分面积处理技巧（含答案与解析全国通用）

第第页专题15阴影部分面积处理技巧求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件.④相似与同高不同底三角形结合法.1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的顶点在轴的正半轴上，已知点、、，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分图形的面积为___________．【答案】【分析】先判断出，根据勾股定理可得的长，根据绕点A顺时针旋转得到，可得图中阴影部分面积，再根据扇形面积公式即可求出结果．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴．∴，∵绕点A顺时针旋转得到，∴图中阴影部分面积．故答案为：．【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，坐标与图形变化-旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．2．如图，在正方形ABCD中，AB=12．以点B为圆心，BA长为半径在正方形内部作，点E为上一点，连接BE分别以点B，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交于点F，交BE于点G，则图中阴影部分的周长为______．【答案】【分析】连接BF，EF，根据作法可得MN为BE的垂直平分线，从而得到△BEF为等边三角形，再求出弧EF的长，再根据阴影部分的周长为，即可求解．【详解】解：如图，连接BF，EF，根据题意得：BF=BE=AB=12，根据作法得：MN为BE的垂直平分线，∴BF=EF，BG=EG=6，∴BE=BF=EF，，∴△BEF为等边三角形，∴∠EBF=60°，∴弧EF的长为，∴阴影部分的周长为．故答案为：【我思故我在】本题主要考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，尺规作图，熟练掌握弧长公式，等边三角形的判定和性质，作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键．3．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）【答案】【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S阴影=S扇形BOP==π．故答案为：π．【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．4．如图1，是一枚残缺的古代钱币．图2是其几何示意图，正方形的边长是1cm，的直径为2cm，且正方形的中心和圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则钱币残缺部分（即图2中阴影部分）的面积是___________．【答案】【分析】根据圆的性质进行求解即可；【详解】解：如图，延长正方形的四边得到圆O的内接正方形EFGH，∴∵该圆直径为2，则半径为1∴S阴影=故答案为：【我思故我在】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并正确求解是解题的关键．5．如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【分析】连接．根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积．又易证≌，即得出四边形的面积等于的面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接，如图，，点为的中点，，，，，．又，≌，四边形的面积等于的面积，．故答案为：．【我思故我在】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答．6．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以点O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）【答案】【分析】根据题意，首先证明根据计算即可．【详解】解：OB＝4，∴△OBD是等边三角形故答案为∶．【我思故我在】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键．7．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】120【分析】连接先证明四边形是平行四边形，得到，根据EO∥BG，得到，从而得到，由此求解即可．【详解】解：如图所示，连接∵平行四边形中，对角线、相交于点，∴是边的中点，又∵是边的中点，∴是的中位线，∴EO∥BG，．又∵，∴，∴四边形是平行四边形．∴，又∵EO∥BG，∴，∴．

∴．∵，∴等腰中边上的高为，∴．∵是边的中点，∴．∴阴影部分的面积为120．故答案为：120．【我思故我在】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关面积计算、不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．【答案】24﹣64π【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解．【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，∴DE＝DC＝4，∵cos∠ADE，∴∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴S扇形EDC4π，∵AE6，∴BE＝AB﹣AE＝46，∴S四边形DCBE24﹣6，∴阴影部分的面积＝24﹣64π，故答案为：24﹣64π．【我思故我在】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是______．【答案】9【分析】分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM，则可得，，又，分别表示出△AFD和△AHD的面积，即可求得答案．【详解】解：如图，分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM，∵D是BC中点，∴DN∥AC，且，DM∥AB，且，∵∠BAC＝90°，∴DN⊥AB，DM⊥AC，在正方形ABEF和正方形ACGH中，AF=AB，AH=AC，∴，，又∵在Rt△ABC中，∴．故答案为9【我思故我在】本题考查阴影部分面积的求法，准确作出辅助线，列出面积计算公式进行转化是解题的关键．10．如图，在OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，以OB为半径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分面积为_____（结果保留π）．【答案】+4【分析】连接OD，首先证得△BOD是等边三角形，然后解直角三角形求得OB，再利用扇形面积求法以及等边三角形面积求法得出答案．【详解】解：连接OD，∵OB＝OD，∠B＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°﹣60°＝30°，在△OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，∴OB＝OC＝×4＝4，∴S阴影＝S扇形DOE+S△BOD，＝＝+4，故答案为：+4．【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形、扇形面积求法以及等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．11．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积等于．故答案为：【我思故我在】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．12．如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．若是的切线，，，则阴影部分的面积是______．【答案】【分析】连接OE，由图形可知：S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．【详解】解：如图，连接OE，∵O是AB的中点，∴OB=AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB•tanA=，∵E是BC的中点，∴BE=BC=，S△OBE=×OB•BE=，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OB=OD，OE=OE，∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），∴S△ODE=S△OBE=，∴S四边形OBED=，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴S扇形OBD=，∴S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD=．【我思故我在】本题主要考查了圆的综合性质，切线的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键．13．如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=6，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为_________．【答案】-9【分析】连接OD，交BC于E，根据对折得出BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，求出△DOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，求出CE=OE=3，再分别求出扇形AOD和△COD的面积即可．【详解】解：连接OD，交BC于E，∵沿BC对折O和D重合，OD=6，∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，∴∠BEO=90°，△DOB是等边三角形，∴∠DOB=∠DBO=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，∵∠OEC=90°，∴CE=OE=3，∴阴影部分的面积=S扇形AOD-S△COD==π-9，故答案为：π-9．【我思故我在】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.14．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是_____．【答案】【分析】求出半圆半径、OC、CD，根据，得到，根据即可求解．【详解】如图，连接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4，∠AOB=60°∵，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，OA=OD=4，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，，∵，∴，∴．故答案为：．【我思故我在】本题考查了不规则图形面积的求法、解直角三角形、平行线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据根据，得到，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．15．如图，在扇形OBA中，，，点C，D分别是线段OB和AB的中点，连接CD，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】连接OD，BD，先证明为等边三角形，由三线合一可知，由锐角三角函数的知识求出CD、CE的长，然后根据求解即可．【详解】解：连接OD，BD，如解图所示．在扇形OBA中，∵，点D为的中点，∴．∵，∴为等边三角形．又∵C为线段OB的中点，∴，．所以在中，，∴．∵，，∴，即，∴在中，，∴，∵，∴．故答案为：．【我思故我在】本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，弧、弦、圆心角的关系，以及扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．16．如图，在Rt△ABC中．，，，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点E，交AB于点G，点D为CE的中点，以D为圆心，DE为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】【分析】根据可以观察图形可知，分别计算出两个扇形面积和两个三角形面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接BE，∵BC=BE，且∠C=60°，∴为等边三角形，同理可得也为等边三角形，=，==，∵、为等边三角形，∴∠CBE=∠CDF=60°，则∠GBE=90°-60°=30°，∠EDF=180°-60°=120°，=，=，则=．【我思故我在】本题考查了不规则图形面积的计算，其中涉及到扇形面积求解、三角形面积求解，要在熟练掌握各种图形面积计算公式的前提下，灵活运用割补法求不规则图形的面积．17．如图，AB为半径的直径，且AB=6，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B+S扇形ABA′，则S阴影部分=S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解即可．【详解】∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，

∴S半圆AB=S半圆A′B，∠ABA′=45°，∴S阴影部分+S半圆AB=S半圆A′B+S扇形ABA′，∴S阴影部分=S扇形ABA′=，故答案为：．【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，解题的关键关键是熟练掌握扇形面积公式．18．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为_______．（结果保留）【答案】【分析】根据已知条件和旋转的性质得出扇形B′OB和扇形C′OC的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC=60°，是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO≌△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，∴